2 Зміст практичних занять

Тема 1: Загальні питання аксіоматики. Вимоги до системи аксіом.

Мета: Навчитися перевіряти виконання вимог для систем аксіом математичних структур.

Методичні рекомендації. Важливо навчитися будувати моделі систем аксіом. Зверніть увагу на той факт, що коли модель будується на скінченій множині, то перевірка аксіом може бути виконана методом повної індукції. Перевіряючи систему аксіом на незалежність, доведеться окремо перевіряти кожну аксіому на незалежність. При доведенні повноти системи аксіом треба пам’ятати, що відношення ізоморфності є відношенням еквівалентності, тобто має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Дано математичну структуру , де – множина точок, – множина прямих, – відношення приналежності таке, що виконуються аксіоми:

: для будь-яких двох різних точок існує пряма, що містить кожну з них.

: для будь-яких двох різних точок існує не більше однієї прямої, що містить кожну з них.

: на кожній прямій існує принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

Дослідити систему аксіом на несуперечність, на незалежність і повноту.

Розв’язання. Для перевірки системи аксіом на несуперечність побудуємо модель цієї системи. Визначимо основні поняття даної структури: "точка" – будь-яка з трьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з невпорядкованих пар , "належати" – як елемент множині , . Перевіримо, чи виконуються аксіоми.

: Візьмемо, наприклад, точки , для них існує пряма , якій вони належать. Для інших двох пар точок висновок такий самий.

: Для кожної з трьох можливих пар точок існує єдина пряма, якій вони належать.

: На кожній з трьох означених прямих існують по дві точки.

:Існують три точки , що одночасно не належать жодній із означених прямих .

Таким чином, побудовано модель цієї системи аксіом, а значить вона є несуперечливою.

Перевіримо аксіому на незалежність. Розглянемо систему , де аксіома : «Існує принаймні дві різні точки, для яких не існує прямої, якій обидві ці точки належать» є запереченням аксіоми . Треба перевірити систему на несуперечливість. Розглянемо наступну модель цієї системи. "Точкою" назвемо будь-яку з трьох точок евклідової площини, "прямою" – будь-яку з невпорядкованих пар , "належати" – в теоретико-множинному сенсі (елемент належить множині). Перевіримо, чи виконуються аксіоми.

: Для точок не існує прямої, якій обидві ці точки належать.

Очевидно, що і аксіоми виконуються, отже система –несуперечлива. Значить аксіома не залежить від аксіом .

Далі перевіримо незалежність аксіоми . Розглянемо систему , де : «Існують принаймні дві різних точки, для яких існують принаймні дві різні прямі, що містять ці точки». Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з трьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з впорядкованих пар , , "належати" – як елемент множині. Легко бачити, що аксіоми виконуються. Для доведення аксіоми розглянемо точки та . Для них існують дві різні прямі і , що їх містять. Отже, система – несуперечлива, а значить,. аксіома не залежить від аксіом .

Аналогічно доводиться незалежність аксіом (самостійно). Доведено незалежність заданої системи аксіом.

Дана система аксіом не буде повною, бо існують не ізоморфні моделі цієї системи. Наприклад, модель , в якій три точки та три прямі та модель , в якій чотири точки та шість прямих пов’язані відношенням приналежності в зазначеному вище сенсі, не ізоморфні.

Задача 2. Дано математичну структуру , де – множина точок, – множина прямих, – відношення приналежності таке, що виконуються аксіоми:

: для будь-яких двох різних точок існує єдина пряма, що містить кожну з них.

: на кожній прямій існує принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

: через будь-яку точку, що не належить даній прямій, проходить єдина пряма, що не перетинає дану пряму.

Дослідити систему аксіом на несуперечність, аксіому на незалежність.

Розв’язання. Визначимо поняття: "точка" – будь-яка з чотирьох точок евклідової площини, "пряма" – будь-яка з невпорядкованих пар , , "належати" – як елемент множині: , "паралельні прямі" – ті, що не мають спільних точок із точок .

Дослідження систему аксіом на несуперечність проводиться аналогічно задачі 1. Очевидно, що аксіоми , , виконуються. Доведемо аксіому . Нехай – дана пряма, а – точка, що їй не належить. Тоді серед прямих , що містять точку , лише одна пряма паралельна прямій . Так само для інших п’яти прямих.

Для перевірки аксіоми на незалежність треба дослідити систему аксіом на несуперечливість.

Задача 3. Довести, що система аксіом метричної структури залежна.

Доведення. Нагадаємо означення метрики: Метрикою (або відстанню) на довільній непорожній множині називається така дійсна функція , визначена для всіх , яка задовольняє наступним аксіомам:

.Для будь-яких (аксіома невід’ємності);

. (аксіома тотожності);

.Для будь-яких (аксіома симетрії);

.Для будь-яких (нерівність трикутника).

Доведемо, що досить прийняти лише аксіоми 2 і 4, а аксіоми 1 і 3 отримати як наслідки. Запишемо аксіому для набору , отримаємо

,

звідки, з урахуванням аксіоми

,

тобто виконується аксіома .

Далі, для набору аксіома прийме вигляд

, або ,

а для набору –

, або .

Отже, , тобто аксіома теж доведена.

Задача 4. Довести незалежність аксіоми 4.4 системи аксіом Вейля.

Розв’язання. Для доведення незалежності аксіоми 4.4 від інших аксіом системи аксіом Вейля розглянемо систему , де

: «Існують принаймні два таких ненульових вектора , що ».

Побудуємо модель. Основні поняття «точка», «вектор», «сума векторів», «добуток вектора на число» та «відкладання вектора від точки» означимо так само як і при побудові арифметичної моделі. Скалярний добуток векторів та означимо формулою

.

Очевидно, що аксіоми 4.1, 4.2, 4.3 виконуються. Для перевірки аксіоми розглянемо вектори та і знайдемо їх скалярні квадрати:

, .

Таким чином, система – несуперечлива, отже , аксіома 4.4 не залежить від інших аксіом системи Вейля.

Задача 5. Довести, не використовуючи комутативність додавання векторів, наступні твердження:

1). .

2). .

3). .

4). .

5). .

6). .

Розв’язання. Над знаками «=» будемо інколи записувати номер аксіоми або доведеного твердження

1). . З аксіоми 1.3 випливає, що .

2). , отже .

3). .

4). .

5). .

6). .

Задача 6. Довести залежність аксіоми 1.1: комутативності суми векторів від аксіом перших двох груп аксіоматики Вейля.

Розв’язання. Почнемо з лівої частини рівності і застосуємо аксіоми та доведені в попередній задачі властивостями, записуючи їх номери над знаками рівності, отримаємо

Висновок. Система аксіом Вейля залежна.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Точкою назвемо будь-яку точку площини, окрім однієї точки (точки О), прямою назвемо будь-яку пряму цієї площини, що проходить через точку О, або будь-яке коло, що проходить через точку О. Відношення «належати» розуміємо в теоретико-множинному сенсі. Дві прямі одного типу будемо називати паралельними, якщо вони не перетинаються. Показати, що наведений опис дає модель системи аксіом із задачі 2.

2. Які з наступних тверджень справедливі для вказаних множин точок і прямих і відношення належності:

1) «Точка» - довільна внутрішня точка круга на евклідовій площині, «пряма» - довільна хорда цього круга (без кінців), «належить», «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі.

2) «Точка» - довільне коло радіуса на евклідовій площині, «пряма» - довільна пара паралельних прямих, евклідова відстань між якими дорівнює , «точка належить прямій» - коло дотикається до пари паралельних прямих, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі

3) «Точка» - довільна сфера радіуса в евклідовому просторі, «пряма» - довільний круговий циліндр радіуса , «точка належить прямій» - сфера дотикається до поверхні циліндра, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі.

4) «Точка» - довільна пряма зв’язки прямих з центром О в евклідовому просторі, «пряма» - довільна площина цієї зв’язки, «точка належить прямій» - пряма зв’язки належить площині зв’язки, «перетинаються» - в теоретико-множинному сенсі. (зв’язка – множина прямих і площин, що проходять через одну точку).

Твердження:

: для будь-яких двох різних точок існує єдина пряма, якій належить кожна з точок.

: для будь-яких двох різних прямих існує єдина точка, яка належить кожній з прямих.

: кожній прямою належать принаймні дві точки.

: існує трійка точок, що не належать одній прямій.

: через будь-яку точку, що не належить цій прямій, проходить єдина пряма, що не перетинає цю пряму.

: через будь-яку точку, що не належить цій прямій, проходить дві прямі, що не перетинають цю пряму.

: існує чотири точки, ніякі три з яких не належать одній прямій