Тема 2. Аксіоматичні теорії натуральних, цілих і раціональних чисел.

Мета. Ознайомитись з аксіоматичною побудовою числових систем, з основними принципами розширення множини.

План.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел.

3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел.

4. Означення перерізу на множині раціональних чисел.

Ключові поняття: натуральне число, аксіоми Пеано, числові системи, розширення множини, переріз на множині.

1. Аксіоматика Пеано системи натуральних чисел і наслідки з неї.

Вперше питання про створення аксіом арифметики поставив Лобачевський. Існують різні аксіоматики системи натуральних чисел. Ми розглянемо аксіоматику, створену італійським математиком Пеано. Неозначуваними поняттями в ній є: об’єкти «одиниця», «натуральне число» та відношення «безпосередньо слідує за». Список аксіом складається з чотирьох аксіом:

. Одиниця – натуральне число.

. Для кожного натурального числа існує єдине натуральне число , яке безпосередньо слідує за .

. Для кожного натурального числа , відмінного від одиниці, існує єдине натуральне число таке, що число безпосередньо слідує за .

(аксіома індукції). Якщо будь-яка підмножина М натуральних чисел містить одиницю і з припущення що М містить натуральне число випливає, що М містить натуральне число , то М є множиною всіх натуральних чисел.

Зауваження. Остання аксіома є обґрунтуванням методу доведення істинності тверджень, сформульованих для натуральних чисел – методу математичної індукції.

Умовимось позначати: одиницю символом 1, натуральне число (що безпосередньо слідує за 1) символом 2, – символом 3, – символом і т.д. Розглянемо початки аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Означення. Сумою натурального числа і одиниці будемо називати натуральне число , яке безпосередньо слідує за . Сумою натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, обґрунтувати, що . Дійсно, запишемо таку послідовність рівностей.

.

Теорема. Додавання натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Зауваження. Доведення властивостей слід проводити саме в тій послідовності, яка запропонована в формулюванні. Для доведення властивостей додавання суттєве значення має аксіома індукції.

Означення. Добутком натурального числа і одиниці будемо називати саме натуральне число . Добутком натурального числа і натурального числа (що безпосередньо слідує за ) називається натуральне число .

Доведемо, що .

Дійсно, .

Теорема. Множення натуральних чисел пов’язане із додаванням дистрибутивним законом. Множення натуральних чисел асоціативне і комутативне.

Означення. Натуральне число називається більшим за натуральне число , якщо існує таке натуральне число , що . Позначають . При цьому число називають меншим за число і пишуть .

Це відношення між натуральними числами має такі властивості:

1. ;

2. якщо і , то .

3. для будь-яких двох натуральних чисел і має місце лише одне з трьох співвідношень: , , .

При доведенні останньої властивості теж використовується аксіома індукції.

Означення. Різницею натурального числа і натурального числа називається таке натуральне число , що .

Теорема. Різниця натурального числа і натурального числа існує і єдина тоді і тільки тоді, коли .

Той факт, що в множині натуральних чисел не завжди виконується операція віднімання, робить доцільною необхідність розширення цієї множини.

Принцип розширення полягає в наступному:

1). якщо множина А розширюється до множини В, то .

2). операція, яка виконувалась у множині А, повинна виконуватись і мати ті самі властивості у множині В.

3). операція, яка не виконувалась або не завжди виконувалась у множині А, повинна виконуватись у множині В.

4). розширення повинне бути мінімальним, тобто розширення не повинне містити відмінних від А підмножин із такими ж, що і у А, властивостями.

Першим розширенням є поповнення множини натуральних чисел нулем, який позначають символом 0. Це число уводиться за допомогою таких аксіом:

1. .

2. .

3. 0+0=0, .

4. число 0 є меншим будь-якого натурального числа.