2. Аксіоматичне означення цілих чисел. Множина цілих чисел як розширення множини натуральних чисел.

Означення. Нехай дано множину . Множиною цілих чисел називається множина , на якій операції порівняння, додавання, множення елементів уведені за такими правилами (аксіомами):

1.1) ,

1.2) ,

1.3) .

2) ,

3)

Наслідок. Ціле число не зміниться, якщо до кожної компоненти пари додати або, якщо можливо, відняти одне і те саме натуральне число.

В справедливості наслідку легко переконатись за допомогою першої аксіоми. З наслідку випливає, що уведену множину впорядкованих пар можна розбити на класи, в кожному з яких міститимуться всі попарно рівні (в сенсі аксіоми 1.3) пари. Отже,

Ціле число - це клас попарно рівних між собою впорядкованих пар.

Теорема. Додавання цілих чисел комутативне і асоціативне.

Теорема. Множення цілих чисел комутативне, асоціативне і дистрибутивне по відношенню до додавання.

Доведення легко проводиться на мові пар.

Означення. Різницею цілого числа і цілого числа називається таке ціле число , що .

Теорема. Різниця цілих чисел завжди існує і єдина.

Доведення випливає з формули

,

яку неважко отримати, використовуючи означення різниці.

Розглянемо цілі числа, друга компонента яких дорівнює 0, тобто множину . Легко отримати рівності:

,

,

, якщо .

Тобто, якщо ввести взаємно однозначну відповідність за правилом , то для неї виконуються вимоги ізоморфізму. З’ясувалося, що множина М ізоморфна множині , або, інакше, що множина є підмножиною множини . А це, в свою чергу, означає, що є розширенням множини і важливо відмітити, що в цьому розширенні операція віднімання чисел завжди виконується.

В силу введеної відповідності рівність можна переписати у вигляді

,

який будемо називати другою формою запису цілого числа.

Означення. Будь-яке ціле число, менше за число , називається від’ємним.

За аксіомою 1.2) отримаємо

,

тобто від’ємним є ціле число, в якому перша компонента менша за другу.

Віднявши від обох компонент від’ємного числа його першу компоненту, отримаємо , . Якщо ввести позначення , то від’ємне ціле число набуде вигляду . Це дає можливість продовжити введену відповідність на множину від’ємних чисел. Дійсно, якщо замість писати різницю (друга форма запису цілого числа), то очевидно відповідність буде взаємно однозначною і на множині від’ємних чисел. Фактично, ми ввели поняття знаку цілого числа.

Теорема. Добуток двох цілих чисел одного знаку є додатним цілим числом (натуральним числом). Добуток двох цілих чисел різних знаків є від’ємним цілим числом.

У сформульованій властивості цілих чисел легко переконатись, якщо задавати цілі числа парами.

Далі можна довести властивості нерівностей, ввести дії над нерівностями, означити операцію ділення цілих чисел і показати, що ця операція не завжди виконується в множині . Отже, знову виникає ситуація необхідності розширення множини.

3. Аксіоматичне означення раціональних чисел. Множина раціональних чисел як розширення множини цілих чисел.

Означення. Нехай дано множину цілих чисел, які будемо позначати . Множиною раціональних чисел називається множина , на якій операції порівняння, додавання, множення елементів уведені за такими правилами (аксіомами):

1.1) ,

1.2) ,

1.3) .

2) ,

3) .

Наслідок. Раціональне число не зміниться, якщо кожну компоненту пари помножити або, якщо можливо, розділити (націло) на одне і те саме відмінне від нуля ціле число.

В справедливості наслідку легко переконатись за допомогою аксіоми 1.3). З наслідку випливає, що уведену множину впорядкованих пар можна розбити на класи, в кожному з яких міститимуться всі попарно рівні (в сенсі аксіоми 1.3) пари. Отже,

Раціональне число – це клас попарно рівних між собою впорядкованих пар.

Теорема. Додавання раціональних чисел комутативне і асоціативне.

Теорема. Множення раціональних чисел комутативне, асоціативне і дистрибутивне по відношенню до додавання.

Доведення легко проводиться на мові пар.

Означення. Різницею раціонального числа і раціонального числа називається таке раціональне число , що .

Теорема. Різниця раціональних чисел завжди існує і єдина.

Доведення випливає з формули

,

яку легко отримати, використовуючи означення різниці.

Означення. Часткою від ділення раціонального числа на раціональне число називається таке раціональне число , що . При цьому число називається діленим, а число – дільником.

Теорема. Частка двох раціональних чисел завжди існує і єдина, якщо перша компонента дільника не дорівнює 0.

Доведення випливає з формули

,

яку легко отримати, використовуючи означення різниці.

Покажемо , що множина раціональних чисел є мінімальним розширенням множини цілих чисел. Розглянемо раціональні числа, друга компонента яких дорівнює 1, тобто множину . Легко отримати співвідношення:

,

,

.

,

.

,

, якщо ціле число ділиться на ціле число .

Тобто, якщо ввести взаємно однозначну відповідність за правилом , то для неї виконуються вимоги ізоморфізму. Ми отримали, що множина М ізоморфна множині , або, інакше, що множина є підмножиною множини . А це, в свою чергу, означає, що є розширенням множини і важливо відмітити, що в цьому розширенні операція ділення чисел завжди виконується.

В силу введеної відповідності рівність можна переписати у вигляді

,

який будемо називати другою формою запису раціонального числа. Отже, раціональне число – це частка двох цілих чисел при умові, що друге число не дорівнює нулю.

Означення. Будь-яке раціональне число, менше за число , називається від’ємним.

За аксіомою 1.2) отримаємо , тобто від’ємним є раціональне число, в якому компоненти мають різні знаки. Розділивши обидві компоненти від’ємного раціонального числа на його другу компоненту, отримаємо

, .

Далі можна доводити властивості нерівностей, ввести дії над нерівностями. Наведемо, для прикладу одну з цих теорем.

Теорема. При множенні обох частин вірної нерівності на від’ємне раціональне число отримується вірна нерівність

.

Доведення. За умовою , тобто за аксіомою 1.2) , . Число від’ємне, значить . Помножимо обидві частини нерівності на від’ємне ціле число . За властивостями нерівностей для цілих чисел отримаємо , з якої за аксіомою 1.1) можемо записати , а за аксіомою 3) отримаємо нерівність

,

яку і треба було довести.