Тема 2: Аксіоматичні теорії натуральних, цілих, раціональних та дійсних чисел

Мета: Прослідкувати логічний зв'язок між першими теоремами аксіоматичних теорій числових систем і відповідними аксіомами.

Методичні рекомендації. Зверніть увагу на необхідність дотримуватись математичної строгості при доведенні перших теорем аксіоматичних теорій. Бажано вказувати номери аксіом при обґрунтуванні кроків доведення. При доведенні властивостей цілих і раціональних чисел на мові пар ефективним буде використання факту, що при такому підході ціле число і, так само, раціональне число – це цілий клас попарно рівних між собою чисел.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести, що , вважаючи, що властивості числових нерівностей вже доведено.

Розв’язання. Розглянемо очевидну для будь-якого натурального числа нерівність . За властивістю монотонності відносно множення для довільного отримаємо нерівність .

Задача 2. Теорема (Архімеда). .

Доведення. Зрозуміло, що треба розглянути лише випадок . За означенням відношення порівняння натуральних чисел в цьому випадку існує натуральне число таке, що . Візьмемо і застосуємо означення множення. Тоді . Отже, треба порівняти числа і . За попередньою теоремою , а значить при будь-якому натуральному отримаємо , звідки випливає нерівність, що доводиться.

Задача 3. Довести, що .

Доведення. Застосуємо принцип індукції по . При одержимо

.

Припустимо, що для натурального вірна імплікація

.

Для отримаємо . За індуктивним припущенням маємо наслідок . Отже, .

Задача 4. Показати, що між довільними двома різними раціональними числами існує принаймні одне раціональне число.

Вказівка. Розгляньте півсуму даних чисел.

Задача 5. Показати, що в множині раціональних чисел не існує такого перерізу, що в класі А є найбільший, а в класі В є найменший елемент.

Доведення. Нехай а - найбільший в А, в - найменший в В. Тоді а<в. Існує раціональне с таке, що а<с<в. Оскільки c>a, то с не належить до класу А, оскільки c<в, то с не належить до В. Отримали протиріччя з означенням перерізу.

Задача 6. Довести властивість різниці: .

Розв’язання. Нехай , , . Тоді

,

і

Цілі числа в правих частинах останніх двох рівностей належать одному класу, або, інакше, рівні між собою.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Впорядкувати цілі числа

.

2. Впорядкувати раціональні числа:

.

З. Порівняти цілі числа і знайти їх суму та різницю: .

4. Порівняти раціональні числа і знайти їх суму та різницю:

5. Довести властивості різниці

1). ,

2). ,

3). .

6. Довести рівності , .

7. На множині операція додавання визначена наступним чином: . Операція множення звичайна. Перевірити, чи для цих операцій виконуються аксіоми системи дійсних чисел. Виразити похідну, задану формулою , через звичайну похідну.

8. Довести наслідки з аксіом множини дійсних чисел:

1. для будь-яких має місце лише одне із співвідношень: , , .

2. для будь-яких виконується імплікація: .

3. для будь-якого виконується імплікація .

4. .