Тема 4. Сучасні аксіоматичні теорії евклідової геометрії.

Мета: Порівняти аксіоматичні теорії евклідової геометрії, побудовані на базі систем аксіом Вейля та Гільберта.

План:

1. Побудова аксіоматичної теорії Вейля.

а) Наслідки з аксіом групи скалярного добутку. Означення довжини вектора, кута між векторами, ортогональних векторів. Існування ортонормованого базису.

б) Наслідки з аксіом п’ятої групи.

в) Введення прямокутної декартової системи координат. Відстань між двома точками в декартових координатах.

г) Означення основних понять в аксіоматичній теорії Вейля.

2. Побудова евклідової геометрії на базі системи аксіом Гільберта.

а) Огляд системи аксіом Гільберта евклідової геометрії.

б) Наслідки з аксіом перших трьох груп.

в) Обґрунтування теорії вимірювання відрізків за допомогою аксіом четвертої групи. Поняття абсолютної геометрії.

г) Сутність проблеми 5 постулату Евкліда. Еквівалентність аксіоми паралельності та п’ятого постулату Евкліда. Інші еквіваленти п’ятого постулату.

3. Доведення несуперечливості системи аксіом Гільберта. Арифметична модель.

Ключові поняття: евклідова геометрія, абсолютна геометрія, аксіоматична теорія Вейля, аксіоматична теорія Гільберта, довжина відрізка, величина кута, проблема 5 постулату Евкліда.

1. Побудова аксіоматичної теорії Вейля.

а) Наслідки з аксіом групи скалярного добутку.

Довжиною вектора називається квадратний корінь з його скалярного квадрату: .

Кутом між векторами та називається число , що визначається формулою .

Два вектора та називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Базис називається ортонормованим, якщо виконується умова . Існування ортонормованого базису випливає з третьої та четвертої груп аксіом Вейля.

б) Наслідки з аксіом п’ятої групи.

Теорема. Довести, що .

Дійсно, запишемо аксіому 5.2 для набору точок , отримаємо , звідки за аксіомами 1.1 та 1.3 можемо записати .

Теорема. .

Із запису аксіоми 5.2 для набору точок отримаємо . За попередньою теоремою та за аксіомою 1.4 можемо записати , що і доводить теорему.

Теорема. Якщо , то точки А та В співпадають.

Дійсно, з рівності отримаємо . За аксіомою 5.1 точки та співпадають.

в) Введення прямокутної декартової системи координат. Відстань між двома точками в декартових координатах.

Нехай – ортонормований базис. Зафіксуємо точку і розглянемо репер . Будь-якій точці М евклідового простору відповідає радіус-вектор , тобто точці відповідає впорядкована трійка чисел , і навпаки.

Таким чином, встановлюється взаємно однозначна відповідність між впорядкованими трійками дійсних чисел та точками простору. Назвемо цю відповідність декартовою системою координат.

В декартових координатах вектор, що задається точками та , має координати .

Відстанню між точками та називається довжина вектора , тобто .

В декартових координатах довжина вектора , а, отже, і відстань між точками та , обчислюється за формулою

.

г) Означення основних понять в аксіоматичній теорії Вейля

Означення. Нехай дано точку і ненульовий вектор . Прямою називається множина таких точок , що , де . Точка називається початковою, вектор – напрявляючим вектором прямої.

Очевидно, точка належить прямій, оскільки при маємо вірну векторну рівність .

Теорема. Будь-яка точка прямої може бути взята в якості початкової.

Теорема. Нехай дано точку і ненульовий вектор . Існує єдина пряма, для якої точка є початковою, а вектор – напрямним.

Наслідок. Через будь-які різні точки та проходить єдина пряма.

Теорема. Через точку , яка не належить прямій , проходить єдина пряма, паралельна прямій .