Задачі для самостійного розв’язання

Довести наступні теореми евклідової геометрії за допомогою системи аксіом Вейля:

1. Для будь-яких двох різних точок існує пряма, якій кожна з точок належить (аксіома 1.1 системи Гільберта).

2. Для будь-яких двох різних точок існує єдина пряма, якій кожна з точок належить (аксіома 1.2 системи Гільберта).

3. Паралельні прямі або не перетинаються, або співпадають.

4. Через будь-яку точку, яка не належить даній прямій, проходить лише одна пряма, що паралельна даній (твердження про єдність такої прямої є аксіомою паралельності в системі Гільберта).

5. В трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.(в двох трикутниках з двома парами рівних сторін і різними кутами між цими сторонами проти більшого кута лежить більша сторона).

6. Знайти місце теореми Піфагора в аксіоматичній теорії Вейля.

7. Зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут цього трикутника, не суміжний з ним.

8. Медіана рівнобедреного трикутника є його бісектрисою і висотою.

Тема 4: Наслідки з аксіом перших трьох груп аксіоматики Гільберта. Співвідношення між кутами і сторонами трикутника. Логічний аналіз математичних тверджень.

Мета: Ознайомитися із аксіоматичною теорією Гільберта, викладеною в книзі [8], навчитися проводити логічний аналіз означень понять та доведень теорем.

Методичні рекомендації. При ознайомленні з аксіоматичною теорією слід звернути увагу на теореми, які наведено без доведення, спробувати їх самостійно довести і оформити доведення, використовуючи математичну символіку. При проведенні логічного аналізу означень можна його результати подавати у вигляді блок-схеми. При проведенні логічного аналізу доведення теореми важливо прослідкувати шлях від аксіом системи Гільберта до тверджень, що доводяться. Номери теорем в посиланнях співпадають із номерами теорем з Додатку Г.

Зверніть увагу на теорему 30 та наслідки з неї (задачі 5-8). При доведенні теореми 26 легко допустити помилку. Одне з помилкових доведень наведено в матеріалах для самостійної роботи.

Слід також звернути увагу на те, що за допомогою аксіом перших трьох груп на множині відрізків можна ввести відношення «менше» («більше»), використовуючи лише неозначуване поняття «конгруентність», тобто без вимірювання довжин відрізків. Можна також дати означення суми та різниці відрізків.

Приклади розв’язання задач

Користуючись аксіомами 1.1-1.3 аксіоматики Гільберта довести твердження.

Задача 1. Будь-які дві різні прямі мають не більше однієї спільної точки.

Розв’язання. Скористаємось методом від супротивного. Нехай і – різні прямі, які мають дві спільні точки: , тобто та . Тоді через дві різні точки проходить дві прямі, що суперечить аксіомі 1.2.

Задача 2. (Th. 17 bis з додатку Г) В рівнобедреному трикутнику медіана основи є висотою та бісектрисою кута при вершині.

Д оведення. Розглянемо рівнобедрений трикутник , в якому проведена медіана . За умовою задачі , . За теоремою 17 , а, з теореми 14 випливає, що . З рівності цих трикутників випливає, що , тобто – бісектриса . Також з рівності суміжних кутів випливає, що кожен з них прямий, отже – висота.

Задача 3. (Th. 25) Довести, що з будь-якої точки можна опустити на пряму один і тільки один перпендикуляр.

Доведення. На прямій візьмемо точку . Через точку та точку проведемо пряму . За аксіомою 3.4. існує єдина пряма така, що . За аксіомою 3.1. існує єдина точка : . Оскільки точки і лежать в різних півплощинах, то за теоремою 10 прямі та перетинаються. Розглянемо трикутник . За побудовою , – бісектриса . Отже, – висота (за теоремою 17 bis).

Задача 4. (Th. 30) Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжний із ним.

Доведення цієї теореми наведене в теоретичній частині.

Задача 5. (Th. 32). В трикутнику більша сторона лежить навпроти більшого кута і навпаки.

Доведення. Розглянемо трикутник , в якому . За аксіомою 3.1 існує єдина точка така, що . Отриманий трикутник – рівнобедрений, а значить (за теоремою 17). З теореми 30 випливає, що , а значить і . Оскільки , то в трикутнику маємо .

Задача 6. (Th. 33) Довести, що перпендикуляр менший за похилу, які проведені до прямої з однієї точки.

Доведення. На пряму з точки опустимо перпендикуляр та похилу . Розглянемо трикутник , в якому кут прямий, а і – гострі (за теоремою 31). Оскільки , то (за теоремою 32).

Задача 7. (Th. 34) Довести, що кожна сторона трикутника менша суми та більша різниці інших його сторін.

Д оведення. Розглянемо трикутник . Доведемо, що та . З аксіоми 3.1 випливає, що існує єдина точка така, що . Утворився рівнобедрений трикутник , в якому (за теоремою 17). Очевидно, що , тоді , звідки .

Задача 8. Зробити логічний аналіз означення поняття «паралелограм».

Розв’язання. Означення поняття паралелограм відноситься до типу означень «через найближчий рід і видову ознаку». Найближчим родом для поняття паралелограм є поняття чотирикутника, для поняття чотирикутник – многокутник і так далі, поки не дійдемо до неозначуваних понять «точка», «пряма», «лежати між» (дивись блок-схему).

Задачі для самостійної роботи.

Користуючись аксіомами перших трьох груп аксіом системи Гільберта, довести твердження:

1. Перша ознака рівності трикутників.

2. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.

3. Усі прямі кути конгруентні між собою.

4. Кожен кут можна розділити навпіл, причому єдиним чином.

5. У будь-якому трикутнику принаймні два кути є гострими.

6. З кожної точки на прямій можна відновити до цієї прямої єдиний перпендикуляр.