2. Аксіоматична теорія геометрії Лобачевського.

а) Аксіома Лобачевського. Означення і властивості паралельних і розбіжних прямих в геометрії Лобачевського.

Аксіоматика геометрії Лобачевського складається з аксіом абсолютної геометрії та аксіоми Лобачевського

Аксіома Лобачевського. Існують принаймні одна пряма і одна точка поза нею такі, що в площині, яку вони визначають, через точку проходить принаймні дві прямі, що не перетинають пряму .

Аксіоматичні теорії евклідової геометрії та геометрії Лобачевського мають спільну частину – абсолютну геометрію.

Теорема. Через будь-яку точку, яка не належить довільній даній прямій, проходить принаймні дві прямі, що не перетинають дану пряму.

Теорема. Через точку, яка не належить даній прямій можна провести безліч прямих, що не перетинають дану пряму.

Далі будемо вважати всі прямі напрямленими. Тобто якщо використано символ для прямої, то це означає, що на ній точка передує точці . При цьому будемо вважати, що всі необхідні нам точки прямої лежать між точками та . Прямі та різні, або, інакше, два різні напрями на прямій, що проходить через точки та , визначаються різними порядками та цих точок.

Означення. Пряма називається паралельною прямій , якщо:

1) ці прямі не перетинаються;

2) для будь-яких точок і кожен внутрішній промінь кута перетинає промінь . Позначають .

Теорема (ознака паралельності). Якщо прямі та не мають спільних точок і існують такі точки і , що кожен внутрішній промінь кута перетинає промінь , то .

Теорема (існування паралельних прямих). Нехай дано пряму і точку , яка не лежить на ній. Тоді в площині, яку вони визначають, існує і лише одна пряма , яка проходить через точку і паралельна прямій .

Наслідок. Нехай , , і . Нехай також пари точок та симетричні в осьовій симетрії відносно прямої . Тоді пряма , яка буде симетричною прямій , паралельна прямій .

Остання теорема і наслідок з неї дають можливість сформулювати наступну теорему.

Теорема. Через точку, яка не належить заданій прямій, в даному на цій прямій напрямку можна провести тільки одну пряму, паралельну заданій. Через точку, яка не належить заданій прямій, можна провести дві прямі, паралельні заданій, але в різних напрямках.

Властивості відношення паралельності прямих:

1) (симетричність) якщо , то і .

2) (транзитивність) якщо і , то .

Означення. Нехай , , і . Кут називається кутом паралельності, що відповідає відрізку , який називають відрізком паралельності (або стрілкою).

Теорема. Будь-який гострий кут може бути кутом паралельності. Або, інакше, яким би не був гострий кут, існує єдина пряма, яка перпендикулярна одній стороні кута і паралельна другій.

Лобачевський довів, що між множиною всіх гострих кутів і множиною додатних дійсних чисел існує бієктивна відповідність і знайшов її явний вигляд, який називають тепер функцією Лобачевського (або основною формулою Лобачевського) і позначають . Вона має вигляд

або ,

де називається константою Лобачевського або радіусом кривини. З рівностей , випливає, що зі збільшенням відрізка паралельності відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда стає все більшою, і, навпаки, в достатньо малому околі площини Лобачевського виконується геометрія Евкліда (або, геометрія Евкліда є граничним випадком геометрії Лобачевського).

Теорема. Нехай і . Якщо точка рухається по прямій в сторону паралельності, то її відстань до прямої прямує до нуля. Якщо ж точка рухається по прямій в протилежному напрямку, то її відстань до прямої необмежено збільшується.

Доведення складається з двох частин. Спочатку доводиться, що при умові , де - нове положення точки виконується , а потім – що може стати менша за будь-яке як завгодно мале додатне дійсне число .

Наслідок. Будь-яка пара паралельних прямих може за допомогою руху накладена на іншу пару паралельних прямих.

Означення. Дві різні прямі називаються розбіжними, якщо вони не перетинаються і не паралельні.

Теорема. Розбіжні прямі існують.

Наприклад, розбіжними є два перпендикуляри до однієї прямої.

Теорема (ознаки розбіжності прямих). Дві різні прямі є розбіжними тоді і тільки тоді, коли при перетині цих прямих третьою утворюються або рівні відповідні кути, або рівні навхрест лежачі кути, або внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює .

б) Основні факти геометрії Лобачевського.

Оскільки аксіома Лобачевського є запереченням аксіоми паралельності Евкліда, то побудувавши заперечення еквівалентів 5 постулату Евкліда, ми отримаємо твердження, справедливі в геометрії Лобачевського. Наведемо кілька таких тверджень.

Теорема. Перпендикуляр і похила, проведені до однієї прямої в одній площині, не завжди перетинаються.

Доведення. Припустимо супротивне, тобто нехай в площині Лобачевського виконується твердження Лежандра. Але його наслідком є аксіома паралельності Евкліда, що неможливо в аксіоматичній теорії Лобачевського.

Теорема. Існують трикутники, навколо яких не можна описати коло.

Доведення. Аналогічно методом від супротивного, використовуючи еквівалентність твердження Ф. Бойяї та аксіоми паралельності Евкліда.

На практичному занятті буде побудовано трикутник, що задовольняє теоремі, тобто трикутник, навколо якого не можна описати коло.

Теорема. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника менша за .

Доведення. За теоремою абсолютної геометрії в кожному трикутнику сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника не більша (менша або дорівнює) . Якщо припустити, що існує хоча б один трикутник, в якому сума внутрішніх кутів дорівнює , то як наслідок отримаємо, що сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює . Це твердження є еквівалентним аксіомі паралельності Евкліда, що і говорить про те, що наше припущення невірне. Отже, сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника менша за .

Наслідок. Сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника менша за .

Теорема. Сума внутрішніх кутів трикутника є непостійною величиною.

Доведення. Методом від супротивного проведенням трансверсалі.

, , - транверсаль. , як суміжні. Тоді з припущення , . Тоді , а з іншого боку за попередньою теоремою.

Означення. Еквідистантою називається множина точок, рівновіддалених від даної прямої.

Теорема. Еквідистанта є кривою.

Доведення. Розглянемо на еквідистанті 3 різні точки і припустимо, що вони колінеарні. Опустимо з них перпендикуляри на дану пряму і позначимо основи перпендикулярів через відповідно. Отримані чотирикутники , і є чотирикутниками Саккері. Кути при верхній основі чотирикутника Саккері повинні бути рівними. Отже, і як суміжні. Ці рівності дають , звідки сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює , що неможливо в геометрії Лобачевського.

Теорема. Дві розбіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр, по обидві сторони від якого вони необмежено віддаляються одна від одної.

Теорема (четверта ознака рівності трикутників). Якщо три кути одного трикутника рівні відповідним кутім іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Наслідок. Не існують не конгруентні подібні трикутники. На площині Лобачевського немає відношення подібності фігур.

Теорема. Кут при верхній основі чотирикутника Саккері гострий.

Теорема. Середня лінія трикутника має довжину, меншу за половину довжини основи.

Теорема. Сторона правильного шестикутника більша за радіус описаного кола.