Питання до заліку

1. Означення математичної структури, аксіоматичної теорії математичної структури, моделі системи аксіом.

2. Означення аксіоми, теореми, означення.

3. «Начала» Евкліда. Зміст, структура, недоліки. Проблема п’ятого постулату та історія її вирішення.

4. Огляд системи аксіом Вейля евклідової геометрії.

5. Огляд системи аксіом Гільберта евклідової геометрії.

6. Порівняння аксіоматичних теорій евклідової геометрії за Вейлем і за Гільбертом.

7. Сутність аксіоматичного методу побудови геометрії.

8. Вимога несуперечливості системи аксіом. Ідея доведення.

9. Вимога незалежності системи аксіом. Приклади доведення незалежності аксіом.

10. Вимога повноти системи аксіом. Приклади повних і неповних систем аксіом.

11. Перевірка несуперечливості аксіом І групи аксіоматики Гільберта на арифметичній моделі.

12. Перевірка несуперечливості аксіом ІІ групи аксіоматики Гільберта на арифметичній моделі.

13. Перевірка несуперечливості аксіоми паралельності системи аксіом Гільберта на арифметичній моделі.

14. Обґрунтування теорії вимірювання відрізків за допомогою аксіом четвертої групи.

15. Поняття абсолютної геометрії. Приклади теорем абсолютної геометрії. Теорема про зовнішній кут трикутника.

16. Еквівалентність аксіоми паралельності та п’ятого постулату Евкліда. Інші еквіваленти п’ятого постулату.

17. Відкриття Лобачевського та його значення. Неевклідова геометрія.

18. Аксіоматика геометрії Лобачевського. Її несуперечливість.

19. Теорема про існування нескінченої множини прямих, які проходять через дану точку і не перетинають дану пряму на площині Лобачевського.

20. Основні факти геометрії Лобачевского (сума кутів трикутника, описане коло, четверта ознака рівності трикутників).

21. Відрізок та кут паралельності. Функція Лобачевського та ії властивості.

22. Визначання паралельних прямих на площині Лобачевського.

23. Властивості паралельних прямих на площині Лобачевського.

24. Розбіжні прямі на площині Лобачевського.

25. Модель Пуанкаре геометрії Лобачевського.

Додаток А

Аксіоматика Вейля евклідового простору

Основні об'єкти: точка, вектор

1. Аксіоми додавання векторів

Основне відношення :

1.1. Додавання векторів комутативне.

1.2. Додавання векторів асоціативно.

1.3. Існує вектор такий, що для будь-якого виконано .

1.4. Для будь-якого існує вектор такий, що .

2. Аксіоми добутку вектора на число

Основне відношення :

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

3. Аксіома розмірності

3.1. Існує три лінійно незалежних векторів. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

– структура тривимірного векторного простору

4. Аксіоми скалярного добутку

Основне відношення :

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

– структура тривимірного векторного евклідового простору

5. Аксіоми відкладання векторів

Основне відношення : :

5.1. Для будь-якої точки і будь-якого ненульового вектора існує єдина точка така, що .

5.2. Аксіома трикутника. Для будь-яких трьох точок справедлива рівність .

- структура тривимірного точково-векторного евклідового простору

Додаток Б

Система аксіом Гильберта евклідового простору

I. Аксіоми приналежності

1.1. Для будь-яких двох різних точок існує пряма, що проходить через ці точки.

1.2. Для будь-яких двох різних точок існує не більше однієї прямої, що проходить через ці точки.

1.3. Для кожної прямої існує принаймні дві точки, які їй належать. Існує три точки, що не належать одній прямій.

1.4. Для будь-яких трьох точок, що не належать одній прямій, існує площина, що проходить через ці точки. Для кожної площини існує принаймні одна точка, що їй не належить.

1.5. Для будь-яких трьох точок, що не належать одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через ці точки.

1.6. Якщо дві точки прямої належать площині, то кожна точка цієї прямої належить площини.

1.7. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають принаймні ще одну спільну точку.

1.8. Існує чотири точки, що не належать одній площині.