2. Аксіоми порядку:

1) Якщо в одному напрямку, то в протилежному напрямку.

2) В одному з двох напрямків виключає .

3) В одному з двох напрямків, якщо , а , то .

4) В одному з двох напрямків для кожної точки найдуться точки і такі, що .

5) Пряма , що лежить у площині , розбиває цю площину на дві частини (півплощини) так, що якщо і – дві точки однієї півплощини, то відрізок не перетинається з прямою , а якщо ж і належать різним півплощинам, то відрізок перетинається з прямою .

3. Аксіоми руху:

1) Кожне рух зберігає відношення приналежності.

2) Кожний рух зберігає відношення порядку на прямій.

3) Руху утворюють групу.

4) Якщо при русі півпряма , як ціле, та її початкова точка залишаються нерухомими, то всі точки півпрямої залишаються нерухомими.

5) Для кожної пари точок і існує рух , яка переставляє їх місцями , .

6) Для кожної пари променів і (півпрямих), що виходять з однієї точки, існує рух , що їх переставляє: , .

7) Нехай і – будь-які площині, і – прямі в цих площинах, і – точки на прямих і . Тоді існує і притому єдиний рух, що переводить точку в , задану півпряму прямої , що визначається точкою , - у задану півпряму прямій , що визначається точкою , задану півплощину площині , що визначається прямою , - у задану півплощину площині , що визначається прямою .

4. Аксіома неперервності:

Аксіома Дедекінда: Нехай точки прямої розбиті на два непустих класи так, що в одному із двох напрямків на прямій кожна точка першого класу передує кожній точці другого класу і обидва класу непусті. Тоді або в першому класі існує точка, наступна за всіма іншими точками першого класу, або в другому класі є точка, що передує всім іншим точкам другого класу.

5. Аксіома паралельності:

Через дану точку поза даною прямою можна провести на площині не більше однієї прямої, що не перетинає дану.

Додаток Г

Формулювання основних означень і теорем абсолютної геометрії (з книги Єфімова М.В. «Вища геометрія»)

Визначення 1. Пару точок А і В назвемо відрізком і будемо позначати . Точки, які лежать між А і В , назвемо внутрішніми точками цього відрізка, точки А і В – кінцями відрізка. Всі інші точки прямої АВ будемо називати зовнішніми точками відрізка .

Теорема 4. Які б не були дві точки А і В, існує точка С, що лежить між А і В.

Теорема 6. Між будь-якими двома точками прямої існує нескінченна множина інших її точок.

Теорема 9. Точка О прямої а розділяє всі інші точки цієї прямої на два непустих класи так, що будь-які дві точки прямої а, що належать одному класу, лежать з одного боку від точки О, а дві точки, що належать різним класам, лежать по різні сторони від точки О.

Визначення 4. Ми говоримо, що точка О прямої а разом з деякою іншою точкою А цієї прямої визначає на ній напівпряму або промінь ОА. Точки, що лежать з тієї ж сторони від точки О, що і точка А, називаються точками напівпрямої ОА, точка О – початком цієї напівпрямої.

Теорема 10. Кожна пряма а розділяє точки площини, які не належать цій прямій, на два непустих класи так, що будь-які дві точки А і В, що належать одному класу, визначають відрізок, що не перетинає пряму а, а будь-які дві точки з різних класів визначають відрізок, що перетинає пряму а.

Визначення 7. Пара напівпрямих і , що виходять з однієї і тієї ж точки О і не належать одній прямій, називається кутом. Позначають або . Напівпрямі називаються сторонами кута, а точка О – вершиною кута.

Визначення. Кажуть, що задано трикутник, якщо задані три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізка з кінцями у цих точках.

Визначення 8. Два трикутники називаються конгруентними, якщо всі їх відповідні сторони і всі відповідні кути конгруентні.

Теорема 14. (перша теорема о конгруентності трикутників). Якщо для двох трикутників і мають місце конгруентності , та то трикутник конгруентний трикутнику .

Теорема 15. (друга теорема о конгруентності трикутників). Якщо для двох трикутників і мають місце конгруентності , та то трикутник конгруентний трикутнику .

Теорема 17. Якщо в трикутнику маємо , то та .

Теорема 18. (третя теорема о конгруентності трикутників). Якщо для двох трикутників і мають місце конгруентності , та то трикутник конгруентний трикутнику .

Визначення 9. Два кута зі спільною вершиною, спільною стороною і дві інші сторони яких складають пряму лінію, називаються суміжними. Два кута зі спільною вершиною, сторони яких попарно складають прямі лінії, називаються вертикальними кутами.

Теорема 21. Вертикальні кути конгруентні між собою.

Теорема 22. Усі прямі кути конгруентні між собою.

Визначення. Точка О називається серединою відрізка АВ, якщо вона лежить на прямій АВ і задовольняє умові АО=ОВ.

Теорема 23. Кожен відрізок має єдину середину. Середина відрізка є його внутрішньою точкою.

Теорема 17 bis. В рівнобедреному трикутнику медіана основи є в той же час висотою і бісектрисою кута при вершині.

Теорема 24. Кожен кут можна розділити навпіл і притому єдиним чином.

Теорема 25. З будь-якої точки можна опустити на дану пряму один і тільки один перпендикуляр.

Теорема 26. З кожної точки прямої можна відновити до цієї прямої єдиний перпендикуляр.

Визначення 10. Якщо дані два відрізка АВ і СD и всередині відрізка АВ існує така точка М, що АМ=СD, то кажуть, що відрізок АВ більше відрізка СD та позначають АВ>СD.

Визначення 11. Якщо дані кути і та серед напівпрямих, що проходять через вершину всередині , існує напівпряма така, що , то кажуть, що більше або менше .

Теорема 27. Для двох довільних відрізків АВ и СD завжди виконується лише одне з трьох співвідношень: АВ=СD, АВ>СD, АВ<СD, причому кожне з них виключає два інших.

Теорема 30. Зовнішній кут трикутника більше будь-якого внутрішнього, не суміжного з ним.

Теорема 31. В будь-якому трикутнику принаймні два кута гості.

Теорема 32. В трикутнику більша сторона лежить навпроти більшого кута, і навпаки, більший кут лежить навпроти більшої сторони.

Теорема 33. Перпендикуляр коротший за похилу.

Теорема 34. Кожна сторона трикутника менше суми двох інших сторін та більше їх різниці.

Додаток Ґ

Система аксіом множини дійсних чисел

1. Аксіоми додавання.

- основне відношення.

1.1 .

1.2 .

1.3 - існування нуля.

1.4. - існування протилежного елемента.