8. Ознайомитись із доведенням незалежності аксіоми індукції системи аксіом множини натуральних чисел [14].

9. Побудувати ізоморфне відображення моделі Пуанкаре геометрії Лобачевського на евклідовій півплощині на модель геометрії Лобачевського в одиничному крузі. Індивідуальне завдання

1. Користуючись системою аксіом Вейля планіметрії Евкліда довести, що:

1.1. Для будь-яких трьох точок A, B, C справедливе нерівність трикутника: .

1.2. Точка B лежить між точками A і C, тоді і тільки тоді, коли .

1.3. Перша ознака рівності трикутників.

1.4. Друга ознака рівності трикутників.

1.5. Третя ознака рівності трикутників.

1.6. Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то ці трикутники рівні між собою.

1.7. Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету іншого прямокутного трикутника, то ці трикутники рівні.

1.8. Бісектриса кута є множина точок, рівновіддалених від сторін кута.

1.9. Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою.

1.10. Медіана рівнобедреного трикутника є його бісектрисою і висотою.

1.11. Зовнішній кут трикутника більший за кожен внутрішній, не суміжний з ним.

1.12. Середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині.

1.13. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.

1.14. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона.

1.15. Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці.

2. Довести, що п'ятий постулат Евкліда еквівалентний твердженню

2.1. Існує трикутник, сума внутрішніх кутів якого дорівнює двом прямим кутам.

2.2. Існує чотирикутник з чотирма прямими кутами.

2.3. Кут, під яким з точки кола видно її діаметр, дорівнює прямому куту.

2.4. Якщо прямі і , які перетинаються, не перпендикулярні, то перпендикуляр, проведений у будь-якій точці прямої , перетинає пряму .

2.5.Перпендикуляри, проведені до середин сторін будь-якого трикутника, перетинаються в одній точці.

2.6. Біля довільного трикутника можна описати коло.

2.7. Відстань від змінної точки однієї з прямих до іншої прямої обмежена.

2.8. Перпендикуляр і похила до однієї прямої перетинаються.

2.9. Існує трикутник з сумою внутрішніх кутів, рівною двом прямим кутам.

2.10. Існує два подібні і нерівні трикутники.

2.11. Існує, принаймні, один квадрат.

2.12. Існує, принаймні, один опуклий чотирикутник з сумою внутрішніх кутів рівною чотирьом прямим кутам.

2.13. Сторона правильного шестикутника, вписаного в коло, дорівнює радіусу кола.

2.14. Три точки, рівновіддалені від цієї прямої і розташовані в одній півплощині відносно неї, належать одній прямій.

2.14. Теорема Піфагора.

2.15. Середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює його половині.

3. Довести справедливість тверджень в геометрії Лобачевского

3.1. Будь-які дві паралельні прямі мають вісь симетрії.

3.2. Якщо пряма паралельна прямій , то пряма паралельна прямій (властивість симетричності відношення паралельності прямих на площині Лобачевского).

3.3. Якщо пряма лежить між паралельними прямими і і не перетинає жодну з них, то вона їм паралельна.

3.4. Нехай пряма симетрична прямій відносно прямої , а прямі і паралельні між собою. Тоді пряма паралельна як прямій так і прямий .

3.5. Якщо пряма паралельна прямій і пряма паралельна прямій , причому і - різні прямі, то пряма паралельна прямій (властивість транзитивності відношення паралельності прямих на площині Лобачевского).

3.6. У прямокутному трикутнику величина хоч би одного з його гострих кутів менше .

3.7. У прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута , більше половини гіпотенузи.

3.8. Кут, під яким видно діаметр кола з будь-якої точки цього кола, не співпадаючого з кінцями діаметру, - гострий.

3.9. У рівносторонньому трикутнику пряма, на якій лежить його середня лінія, і пряма, що містить основу трикутника, розходяться.

3.10. Середня лінія трикутника менше половини його основи.

3.11. У чотирикутнику Саккері відрізок, що сполучає середини нижнього і верхнього підстав, менше бічної сторони.

3.12. У чотирикутнику Саккері кожна пара протилежних сторін належить прямим, що розходяться.

3.13. У довільному трикутнику пряма, що містить його середню лінію розходиться з прямою, що містить сторону, що не має загальних точок з цією середньою лінією;

3.14. У усіх трикутників, що мають цей кут  при вершині A, висоти ha обмежені нерівністю: , де – кут паралельності, що відповідає відрізку .

3.15. Нехай – довільний кут, менший розгорнутого. Довести, що завжди існує така пряма , що і (пряма, паралельна сторонам ).