Тема: фурье-анализ

Задания

Задание: Прокомментировать рисунок

Справка

График

Максимальная амплитуда колебания этой функции равна 1. Если умножить ее (функцию) на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: .

Период колебания функций и равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент . Это вызовет растяжение графика по горизонтали: .

Частота колебания обратна периоду: . Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: . Откуда: .

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как . Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:

График

Очень похоже выглядит и косинусоидальное гармоническое колебание (достаточно изменить фазу на /2:

График

Гармоника – гармоническая составляющая сигнала, представленного в виде тригонометрического ряда Фурье, например, функция косинуса:

или, по формуле косинуса суммы:

Введем элементы , - независимые от t:

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

и

Дискретизация колебания, представленного в виде функции

Формулы Эйлера: , , .

Цель преобразования Фурье – разложить временной ряд с циклической компонентой на несколько основных синусоидальных функций с определенной длиной волны. Пусть есть конечная последовательность чисел (в общем случае комплексных). Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске другой последовательности , элементы которой вычисляются по формуле (комплексный вид): . В терминологии анализа временных рядов под прямым ДПФ понимают способ представления временных зависимостей (сигналов) в виде набора гармоник. Обратное дискретное преобразование Фурье (ДПФ) заключается в поиске последовательности , элементы которой вычисляются по формуле: . В терминологии анализа временных рядов под обратным ДПФ понимают преобразование спектра во временную зависимость.

Формулы связи амплитуды, фазы, частоты и периода каждой из гармоник связаны с коэффициентами X_k формулами:

Переход от реального времени к «радианному»: .

Итак, физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник – обратным. А для осуществления данных преобразований используется БПФ.

Функции синусов и косинусов независимы (ортогональны); поэтому для спектрального разложения в общем виде

X(t)= M(X)+ a_ncosω_n +b_nsinω_n

периодограмма состоит из точек (ω_n, a_n²+b_n²) или (ω_n, (a_n²+b_n²)), -< ω_n <. Величина a_n²+b_n² - квадрат модуля - характеризует мощность соответствующей гармоники. Значения периодограммы можно интерпретировать как дисперсию (вариацию) данных на соответствующей частоте. Обычно значения периодограммы изображаются в зависимости от частот или периодов.

При анализе периодограммы нужно обращать особое внимание на ее пики. Большой пик в области некоторой частоты ω₀ указывает на то, что в спектральном разложении автокорреляционной функции присутствует соответствующая гармоническая компонента. Чем выше и резче выделен пик, тем большая часть мощности сосредоточена около частоты ω₀ и тем большую роль играет эта частота в описании соответствующего случайного процесса или временного ряда.

Алгоритм БПФ (быстрое преобразование Фурье) - это оптимизированный по скорости способ вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Алгоритм исследования циклической компоненты:

1. Строим тренд для заданного временного ряда (желательно лучший из возможных, но «простых»).

2. Находим сезонные индексы или определяем сезонную волну (например, моделируя индексы или воспользовавшись методами поиска сезонной волны по простой средней, по центральным членам ряда, по медиане)

3. «Удаляем» полученный тренд и сезонную компаненту из временного ряда, в результате получаем ряд остатков.

4. Исследуем остаточный ряд на цикличность:

• Производим над данными прямое ДПФ.

• Для построения циклической компоненты выбираем такие комплексные гармоники, квадрат модуля которых максимален.

• Над выбранными гармониками производим обратное ДПФ, тем самым «тестируя» циклическую составляющую (по полученым данным строим график и определяем насколько близка циклическая компонента к остаточным данным).

• Находим по выбранным гармоникам аналитическую формулу для циклической компоненты, ее будем использовать для прогнозирования:

, где

Примеры

Пример1. Для ряда e_t, прошедшего этапы 1-3 Алгоритма исследования циклической компоненты (см. таблицу) восстановим циклическую составляющую по четырем первым гармоникам (N=32):

t	et	Действ. часть Xd	Мнимая часть Xm	Амплитудный спектр	Фазовый спектр
1	-7,05	33,7	0,00	33,76	0,00
2	-10,44	-128,17	-101,41	163,43	-2,47
3	-14,32	-4,44	22,22	22,66	1,77
4	-16,78	-56,71	166,01	175,43	1,90
5	-16,33	-4,59	11,03	11,95	1,97
...	…	…	…	…	…

Учитывая связь гармонических коэффициентов с дйствительной и мнимой частями, получим таблицу:

k	ak	bk	(ak2+bk2)
0	1,06	-	1,06
1	-4,01	0,00	4,01
2	-0,14	-,34	0,37
3	-1,77	1,39	2,25
4	-0,14	10,38	10,38
...	…	…	…

Итак, по первым четырем гармоникам имеем восстановленный ряд

x=1,06-4,01cost-0,14сos2t-6,34sin2t-1,77cos3t+1,39sin3t-0,14cos4t+10,38sin4t

Отметим: если мощность гармоники, включаемой в модель, должна быть не менее четырех, т.е. a_k²+b_k² ≥ 4, восстановленный по фрагменту данных ряд примет вид:

x=-4,01cost-1,77cos3t+1,39sin3t-0,14cos4t+10,38sin4t

Пример2.

Для ряда (рисунок а), прошедшего этапы 1-3 Алгоритма исследования циклической компоненты, получены 256 (добавлены нули) комплекснозначные гармоники (спектры), проведена векторизация квадратов модулей полученных значений (рисунок б).

рисунок а – Ряд «остаточная компонента»

рисунок б - Периодограмма остаточного ряда, изображенного на рисунке а

В данном случае имеем две группы гармоник: низкочастотные и гармоники, имеющие более высокую частоту . Для исследования периодичности временного ряда наибольший интерес представляют последние гармоники, т.к. периоды у них равны соответственно , (7), т.е. данные спектры показывают, что исследуемый показатель зависит от дня недели. Низкочастотные составляющие можно отнести к другим компонентам временного ряда, таким как тренд или циклическая компонента. Остальные же гармоники считаем незначительными и присваиваем им значение, равное 0.

Проведено обратное преобразование Фурье, восстанавливающее значения вектора

по пяти гармоникам (рисунок в) и по интересующим и (рисунок г).

рисунок в - временной ряд, восстановленный по

рисунок г - Временной ряд, восстановленный по и