Тема: моделирование общей тенденции
Задания и комментарий
Задание: прокомментировать двухкомпонентную модель временного ряда
(0)
где 
- тренд, основная тенденция развития;
- случайная компонента.
Задание: привести примеры простейших способов выявления тенденции временного ряда.
Пример. Данные о помесячной реализации продукции в магазинах города представлены в Error: Reference source not found. Выявить тенденцию реализации данного вида продукции.
Данные о реализации
молочной продукции в магазинах города
(тыс.т)
Месяц
Год
1999
2000
2001
2002
2003
Январь
5,5
5,3
5,4
5,5
5,6
Февраль
5,3
5,1
5,2
5,3
5,3
Март
7,9
8,3
8,2
8,4
8,4
Апрель
8,2
9,0
9,3
8,9
9,2
Май
9,8
9,5
9,7
10,0
10,2
Июнь
12,5
13,0
12,9
12,5
13,0
Июль
11,8
12,2
12,5
12,4
12,6
Август
10,5
10,4
10,4
10,5
10,6
Сентябрь
8,1
8,0
8,1
8,3
8,3
Октябрь
6,5
6,6
6,8
6,6
6,6
Ноябрь
5,4
5,5
5,7
5,9
5,5
Декабрь
5,8
5,5
5,6
5,9
5,7
Итого за год
97,3
98,4
99,8
100,2
101,0
Исходные уровни ряда динамики подвержены очевидным сезонным колебаниям. Для определения общей тенденции перейдем от ежемесячных уровней к годовым уровням:
-
97,3
98,4
99,8
100,2
101,0
«Укрупненные» годовые показатели явно демонстрируют общую тенденцию роста реализации молочной продукции.
Задание: Прокомментировать рисунок
Сглаживание графиков температуры атмосферы методом скользящего среднего
Пример. Данные о производстве товара, а также результаты сглаживания простой скользящей средней (трехзвенной и шестизвенной) отражены в Error: Reference source not found. Графическое представление динамики производства, а также выявление тенденции путем сглаживания простой скользящей средней представлено на Error: Reference source not found (для удобства восприятия дискретные данные изображены в виде непрерывных линий).
Динамика производства в исходных и сглаженных данных
(в натуральных ед.)
Если исходные единицы демонстрируют колебание объемов производства, то сглаженный ряд показывает рост производства. При этом, сглаживание по шести точкам показывает стабильный рост, трехточечный сглаженный ряд имеет отдельные незначительные колебания.
Визуальное
представление динамики производства
в исходных (ряд1)
данных, сглаженных по трем (ряд2)
и по шести (ряд3)
точкам.
Для этих же данных построен прямолинейный тренд методом наименьших квадратов (см. таблицу)
Здесь
;
Согласно формулам МНК:
Таким образом, аналитический тренд (тенденция динамики производства) имеет вид:
Явный вид динамики показывает, что в каждый период происходит увеличение производства в среднем на 0,24 натуральных единицы.
Теоретические значения производства рассчитываются так:
…
Построение
прямолинейного тренда динамики
производства методом наименьших
квадратов (
,
)
Зная аналитический тренд, можно выполнять точечный прогноз, например:
и т.д.
Визуальное
представление динамики производства
в исходных (ряд1) данных и
выровненныхметодом наименьших квадратов (ряд2)
Справка
Выявление аномальности с помощью метода Ирвина.
Проверяется
гипотеза о случайном несоответствии
уровня ряда
возможностям исследуемой системы.
Критерием проверки является статистика
Ирвина:
,
,
где
,
.
Фактическое
(экспериментальное) значение
сравнивается с критическим табличным
значением
,
соответствующим уровню значимости
и n степеням свободы. Критерием
отвержения нулевой гипотезы на -уровне
значимости является условие
(критическое табличное значение).
Значения критерия
Ирвина для =0,05
2
3
10
20
30
50
100
2,8
2,3
1,5
1,3
1,2
1,1
1,0
Если значение
считается аномальным, оно устраняется
либо заменой простой средней арифметической
двух соседних уровней
,
либо соответствующим «теоретическим»
значением аппроксимирующей динамический
ряд кривой.
Наличие тенденции в исходном ряду можно выявить, например, методом Фостера-Стьюарта.
Производя сравнение каждого (начиная со второго) уровня ряда со всеми предыдущими, строим две числовые последовательности
и
:
Вычисляем вспомогательные величины:
- характеризует
изменение ряда;
- характеризует
изменение дисперсии уровней ряда.
Проверяем гипотезы
,
( - математическое
ожидание h для ряда, в
котором уровни расположены случайным
образом);
,
.
Статистики критерия
,
и
,
Гипотеза отвергается при
,
где
- табличное значение распределения
Стьюдента, соответствующее уровню
значимости и (n-2)
степеням свободы. В таком случае, на
-уровне значимости
можно утверждать о наличии в исходном
динамическом ряду тренда в среднем.
Аналогично, гипотеза
отвергается, если
,
и признается наличие тренда дисперсии
уровней ряда.
Фрагмент
табулированных значений
составляющих
статистики Фостера-Стьюарта
10
20
30
40
3,858
5,195
5,990
6,557
1,288
1,677
1,882
2,019
1,964
2,279
2,447
2,561
Моделирование
тренда
.
Метод наименьших квадратов (МНК) дает
оценки:
или
где
и
.
Адекватность модели диагностируется следующими критериями:
Математическое ожидание значений остаточного ряда равно нулю, т.е.
,
;
статистика
,
,
гипотеза о равенстве
нулю средней остаточного ряда отвергается,
если верно
,
Значения остаточного ряда случайны;
- фактическое число
поворотных точек, т.е.
,
либо
.
- критическое число
поворотных точек.
Для случайного
ряда должно выполняться строгое
неравенство (достаточное условие):
.
Значения остаточного ряда независимы, т.е.
,
;
Статистика
,
нулевая гипотеза принимается, если
,
где
,
- табличное значение статистики Стьюдента.
Значения остаточного ряда подчинены нормальному закону распределения.
Можно проверить с помощью проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.
Приближенный способ: распределено примерно по нормальному закону, если одновременно выполняются условия:
и
где 
,
,
,
Пример