Нечеткие временные ряды в задачах прогнозирования

Появление нечеткой логики сделало возможным нахождение решения многих проблем с нечеткой исходной информацией или «погруженных» в нечеткую среду.

Формально временной ряд определяется как функция дискретного аргумента .

Пусть универсальное множество, например, интервал числовой оси, составленный из интервалов . Нечеткое множество универсального множества определяется следующим образом:

или

здесь - функция принадлежности, , показывает степень принадлежности множеству .

После «погружения» обычного временного ряда в нечеткую среду получим нечеткую функцию аргумента в универсальном множестве со значениями в виде нечетких интервалов с функцией принадлежности , т. е.:

Это означает, что любая точка (в том числе и ) из интервала будет принадлежать множеству со степенью принадлежности с заданными числами при каждом фиксированном

Таким образом, получаем нечеткий временной ряд в виде множества нечетких множеств , Если составляющие этого ряда принимают лингвистические значения, то -нечеткая функция аргумента , значениями которой являются нечеткие словесные понятия типа “много”, “мало”, “значительно” и т. п., которыми на практике оперирует человек. Лингвистические переменные позволяют ввести в рассмотрение качественные описания и учесть неопределенность решаемой задачи, достигнуть полного описания тех факторов, которые не поддаются точному количественному описанию.

Общая схема прогнозирования по нечетким временным рядам

1. Определение универсального множества , которое представляет собой откорректированный интервал между наименьшей и наибольшей вариациями уровня ряда , где V_min,V_max - соответственно наименьшая (наибольшая) вариация, а значения и (положительные числа) дают «более удобные» значения границ интервала.

2. Деление универсального множества на несколько интервалов равной длины, включающих значения вариаций, соответствующих различным темпам изменения ряда динамики.

3. Определение соответствующих лингвистических значений переменной, т.е. определение множества нечетких множеств .

Каждому лингвистическому значению соответствует нечеткая переменная, которой по определенному правилу ставится в соответствие нечеткое множество, определяющее смысл этой переменной: ,

- нечеткие множества,

где - вариации, u_срⁱ - средние точки соответствующих интервалов, С - постоянное число, которое подбирается таким образом, чтобы обеспечить преобразование четких количественных чисел в нечеткие, т. е. их вхождение в интервал [0,1].

4. Фаззификация исходных данных, заключающаяся в преобразовании четких количественных значений в нечеткие. Эта операция позволяет в значениях функций принадлежности отразить соответствующие количественным значениям качественные представления о темпах роста.

5. Выбор параметра , соответствующего отрезку времени, предшествующему текущему периоду; вычисление матрицы нечетких отношений и прогнозирование уровня ряда на последующий период.

6. Дефаззификация полученного результата, т.е. переход от нечетких значений к четким (количественным).

Для дефаззификации результатов, полученных на 5-м шаге, предлагается формула:

где вычисленные значения функции принадлежностей для прогнозируемого года; , u_срⁱ -средние точки соответствующих интервалов.

Пример: прогноз численности населения

1-й шаг. В таблице представлена динамика численности населения за 1991-2003гг. (исходная база для “ретроспективного прогноза”) и соответствующие вариации численности населения между каждым последующим и предыдущим годами. Под термином “вариация” имеется в виду разница между фактической численностью населения текущего и предыдущего годов. Для определения универсального множества прежде всего необходимо выделить наименьшее и наибольшее значения вариаций в отрезке времени 1991-2003гг., а затем с целью получения более удобных границ интервала выбрать подходящие значения и (соответствующие положительные числа). Тогда универсальное множество можно описать в виде , где - наименьшая вариация (1995 год), V_max=93500 - наибольшая вариация (1991 год), =200, =500.

Итак, универсальное множество : =[-378000,93000]

Таблица - Динамика и соответствующие вариации численности населения за 1991-2003гг.

Годы	Числ.нас. тыс.	Вариация	Фаззификации вариаций
1991	16358,2	-
1992	16451,7	93,5	A(92)=((0,0005/u1),(0,0007/u2),(0,001/u3), (0,002/u4),(0,003/u5),(0,01/u6),(0,08/u7))
1993	16426,5	-25,2	A(93)=((0,001/u1),(0,002/u2),(0,003/u3), (0,007/u4),(0,04/u5),(0,23/u6),(0,01/u7))
1994	16334,9	-91,6	A(94)=((0,002/u1),(0,003/u2),(0,007/u3), (0,04/u4),(0,26/u5),0,01/u6),(0,004/u7))
1995	15956,7	-378	A(95)=((0,08/u1),(0,009/u2),(0,0035/u3), (0,002/u4),(0,001/u5),(0,0007/u6),(0,0005/u7))
1996	15675,8	-281	A(96)=((0,024/u1),(0,83/u2),(0,02/u3), (0,005/u4),(0,002/u5),(0,001/u6),(0,001/u7))
1997	15480,6	-195	A(97)=((0,004/u1),(0,01/u2),(0,31/u3), (0,03/u4),(0,007/u5),(0,003/u6),(0,002/u7))
1998	15188,2	-292	A(98)=((0,035/u1),(0,28/u2),(0,014/u3), (0,004/u4),(0,002/u5),(0,001/u6),(0,001/u7))
1999	14957,8	-230	A(99)=((0,007/u1),(0,045/u2),(0,2/u3), (0,01/u4),(0,004/u5),(0,002/u6),(0,001/u7))
2000	14896,1	-61,7	A(00)=((0,001/u1),(0,002/u2),(0,004/u3), (0,015/u4),(0,36/u5),(0,03/u6),(0,007/u7))
2001	14864,0	-32,1	A(01)=((0,001/u1),(0,002/u2),(0,003/u3), (0,008/u4),(0,05/u5),(0,14/u6),(0,01/u7))
2002	14862,5	-1,5	A(02)=((0,001/u1),(0,001/u2),(0,002/u3), (0,005/u4),(0,02/u5),(0,71/u6),(0,03/u7))
2003	14951,2	88,7	A(03)=((0,0005/u1),(0,0007/u2),(0,001/u3), (0,002/u4),(0,004/u5),(0,01/u6),(0,1/u7))

2-й шаг. Универсальное множество следует разделить на несколько интервалов равной длины. В данном примере универсальное множество U разделено на семь интервалов равной длины:

Учитывая тот факт, что усредненная погрешность прогнозирования метода нечетких временных рядов является наименьшей, необходимо отметить средние точки этих интервалов:

u_ср¹= -344400, u_ср²= -276400, u_ср³= -210000, u_ср⁴= -142200,

u_ср⁵= -75000, u_ср⁶= -7800, u_ср⁷= 59400

3-й шаг. Этот шаг сводится к определению множества нечетких множеств в универсальном множестве . В данном примере “вариация временного ряда” - название лингвистической переменной, которая имеет следующие лингвистические значения: A₁=(очень низкий уровень роста (ОНУР)); A₂ = (низкий уровень роста (НУР)); A₃ = (нет изменений роста (НИР)); A₄ = (средний уровень роста (СУР)); A₅ = (нормальный уровень роста (НорУР)); A₆ = (высокий уровень роста (ВУР)); A₇ = (очень высокий уровень роста (ОВУР)).

Принимая в данном примере С=0,0001, а в качестве значения переменной - средние точки соответствующих интервалов, нечеткие множества A_i (i=1,7), будут определены следующим образом:

A₁={(1/u1),(0,021/u2),(0,005/u3),(0,002/u4),

(0,001/u5),(0,0008/u6),(0,0006/u7)}

A₂ ={(0,021/u1),(1/u2),(0,022/u3),(0,005/u4),

(0,002/u5),(0,001/u6),(0,0008/u7)}

A₃ ={(0,005/u1),(0,022/u2),(1/u3),(0,021/u4),

(0,005/u5),(0,002/u6),(0,001/u7)}

A₄ ={(0,002/u1),(0,005/u2),(0,02/u3),(1/u4),

(0,021/u5),(0,005/u6),(0,002/u7)}

A₅ ={(0,001/u1),(0,002/u2),(0,005/u3),(0,021/u4),

(1/u5),(0,021/u6),(0,005/u7)}

A₆ ={(0,0008/u1),(0,001/u2),(0,002/u3),(0,005/u4),

(0,021/u5),(1/u6),(0,021/u7)}

A₇ ={(0,0006/u1),(0,0008/u2),(0,001/u3),(0,002/u4),

(0,005/u5),(0,021/u6),(1/u7)}

Например, лингвистическое значение “очень низкий уровень роста” задается нечеткой переменной

<ОНУР,[-378000,-310000],A₁>, где A₁ - нечеткое множество с областью определения [-378000,-310000] из универсального множества .

4-й шаг. Этот шаг сводится к фаззификации вариаций, вычисленных на шаге1. При этом, если для года i вариация будет , то для u_j, u_j U (интервалы универсального множества U) функция принадлежности вычисляется с учетом U=V_i. Иными словами, из универсального множества выделяется тот интервал, в который попадает рассматриваемая вариация. Результаты фаззификации для всех рассматриваемых годов представлены в таблице. Здесь A^mn – нечеткие множества соответствующих вариаций за год t=mn, где 1991<t<2003 (во избежание громоздкости обозначения в таблице указано: А(последние две цифры года)).

5-й шаг. Необходимо выбрать базис w (1<w<l, где l-число лет, предшествующих текущему году и включенных в экспериментальную оценку). С учетом базиса, т. е. предыстории, вычислить матрицу нечетких отношений R^w(t), на основе которой выдается прогноз. С этой целью после выбора w строится операционная матрица (размерности ij) O^w(t) (i-число строк, соответствующее числу годов в последовательности t-2,t-3,…,t-w; j-число столбцов, соответствующее количеству интервалов вариаций) и матрица-критерий K(t) (размера 1j) прогнозируемого года t (матрица строка, соответствующая нечеткой вариации численности населения за год (t-1)).

Например, принимая w=7, можно определить:

• операционную матрицу O⁷(t) размера 67, т.е. матрицу нечеткой вариации численности населения за годы

t-3,t-4,t-5,t-6,t-7;

• матрицу критерий K(t) размера 17, т.е. матрицу нечеткой вариации численности населения за год (t-1).

Значит, при w=7, фактически используются данные для восьми предыдущих годов.

Для ретроспективного прогноза численности населения на 2002 год операционная матрица O⁷(t) и матрица-критерий K(t) определены следующим образом:

Следующий шаг сводится к вычислению матрицы отношений R(t): R(t)[i,j]=O^w(t)[i,j]K(t)[j], или R(t)=O^w(t)K(t)

где O^w(t) - операционная матрица; R(t)-матрица нечетких отношений; -операция min ().

Для данного примера 1i6 и 1j7.

R(2002)=	0,001	0,002	0,003	0,002	0,001	0,0007	0,0005
	0,001	0,002	0,003	0,005	0,002	0,001	0,001
	0,001	0,002	0,003	0,008	0,007	0,003	0,002
	0,001	0,002	0,003	0,004	0,002	0,001	0,001
	0,001	0,002	0,003	0,008	0,004	0,002	0,001
	0,001	0,002	0,003	0,008	0,05	0,03	0,007

Далее определяется прогнозируемое значение F(t) для года t, представленное в виде нечеткого множества

F(t)=[Max(R₁₁, R₁₂,…, R_i1) Max(R₁₂, R₂₂,…, R_i2)…

Max(R_1j, R_2j,…, R_ij)]

Окончательный результат для прогноза роста численности населения для 2002 года будет выглядеть так:

F(2002)=	ОНУР	НУР	НИР	СУР	НорУР	ВУР	ОВУР
	0,001	0,002	0,003	0,008	0,05	0,03	0,007

Для остальных периодов прогнозные результаты определяются аналогично.

6-й шаг. Дефаззификация результатов 5-го шага такова:

Для F(2002): V(2002)=-6171287, т.е. ожидаемый прирост населения составляет 6171287 человек. А теперь для того, чтобы получить прогнозируемое значение численности населения на 2002 год, необходимо к численности населения за 2001 год прибавить полученное расчетное значение прироста населения, т. е. N(2002)=14864000+(-6171287)=14802287 человек.

Прогнозируемые (ретроспективный прогноз) значения численности населения на основе базиса w=7 за период 1999-2002гг. (т.е. расчет прогноза для каждого года (t=S_i ) из выбранного отрезка [1999 - 2002] проводился с учетом вариации за 8 предшествующих лет, s_i–s_j=8; 1999j2002; 1991i2003):

Таблица - Результаты ретроспективного прогноза

	Ретросп. прогноз	Погрешность(%)	Фактические значения	Средняя погрешность
1999	14940,65	0,114655899	14957,8
2000	14930,93	-0,23381959	14896,1
2001	14877,9	-0,093514532	14864	0,87
2002	14890,56	-0,188797309	14862,5
2003	14825,4	0,841404034	14951,2

Ретроспективный прогноз

Для проверки меры адекватности модели фактическая динамика численности населения и соответствующие вариации за 1999 – 2002 г. были сопоставлены с результатами математической модели путем расчета погрешности метода прогнозирования:

где N_факт^t – фактическая численность населения за год t,

N_прогн^t – прогнозная численность населения за год t; 1999t2002.

Сравнительный анализ фактических и расчетных данных и полученные значения погрешностей метода нечеткой аппроксимации свидетельствуют о достаточно хорошем качестве модели и позволяют сделать предварительный вывод о целесообразности использования последней в демографическом прогнозе.

Перспективный прогноз⁶ населения РК

В свете изложенного, проведены эксперименты по перспективному расчету численности населения Казахстана до 2015 года включительно (таблица):

Таблица – Перспективное прогнозирование численности населения РК

Годы	Числ.нас. (тыс.)	Годы	Числ.нас. (тыс.)
2004	14962,4	2010	14899,7
2005	14967,5	2011	14889,2
2006	14967,9	2012	14878,9
2007	14944,5	2013	14858,1
2008	14925,7	2014	14847,0
2009	14911,6	2015	14836,8

Перспективный прогноз

Особенностью методики прогнозирования на базе нечетких временных рядов является возможность выдачи прогнозов при неполной, нечеткой исходной информации. Описанный подход допускает при расчете прогноза на какую-либо дату включение в экспериментальную базу истекшей динамики, например, численности населения на любую отдаленную перспективу. Это, в свою очередь, способствует учету при расчете прогноза предыстории тенденций изменения темпов роста населения и, соответственно, получению более точных прогнозов.