Тема: статистическая оценка взаимосвязи двух временных рядов

Задание: Привести содержательные примеры кросс-спектрального анализа (развитие одномерного анализа Фурье для одновременного анализа двух рядов).

Пример.

Кросс-спектральный анализ позволяет анализировать одновременно два ряда. Пусть есть два ряда:

v1 = cos(20.0625 (n-1)) + 0.75sin(20.2 (n-1))

v2 = cos(20.0625 (n+2)) + 0.75sin(20.2 (n+2))

(где n - номер наблюдения), которые предполагают в обоих рядах две существенных синхронных периодичности с частотами = 0.0625 и = 0.1875.

Таблица результатов кросс-спектрального анализа (выполнено в системе Statistica):

Независимая (X): ПЕРЕМ1 Зависимая (Y): ПЕРЕМ2
Частота	Период	X плотность	Y плотность	Кросс плотность	Кросс квадр.	Кросс амплит.
0.0000 0.0625 0.1250 0.1875 0.2500 0.3125 0.3750 0.4375 0.5000	16.0000 8.0000 5.3333 4.0000 3.2000 2.6667 2.2857 2.0000	0.0000 8.0947 0.0588 3.6172 0.3330 0.0919 0.0526 0.0402 0.0371	0.0243 7.79828 0.1009 3.8452 0.2787 0.0676 0.0361 0.0266 0.0000	-0.0000 2.3558 -0.0476 -2.9265 -0.2694 -0.0744 -0.0425 -0.0326 0.000	0.0000 -0.5878 0.0606 2.3119 0.1422 0.0262 0.0093 0.0034 0.0000	0.0000 7.9451 0.0770 3.7295 0.3046 0.0788 0.0435 0.0327 0.0000

 

Таблица результатов содержит все спектральные статистики, вычисленные для каждого ряда согласно процедуре Фурье-анализа. Очевидно, что оба ряда имеют основные периодичности на частотах 0.0625 и 0.1875.

  Аналогично результатам для одной переменной, итоговая полная таблица результатов показывает значения периодограммы для кросс-периодограммы. Однако кросс-спектр состоит из комплексных чисел, которые могут быть разделены на действительную и мнимую части. Они могут быть сглажены для вычисления оценок кросс-плотности и квадратурной плотности (квадр-плотность для краткости), соответственно. Квадратный корень из суммы квадратов значений кросс-плотности и квадр-плотности называется кросс-амплитудой. Кросс-амплитуда может интерпретироваться как мера ковариации между соответствующими частотными компонентами двух рядов. Таким образом из результатов, показанных в таблице результатов выше, можно заключить, что частотные компоненты 0.0625 и 0.1875 двух рядов взаимосвязаны.

Задание (исходные данные сформировать самостоятельно, при возможности – с учетом тематики курсовой и дипломной работы, УНИРС):

А) По заданным , сгенерировать пару коррелированных с.в. X и Y.

Методические указания:

Если с.в. X и Y должны иметь коэффициент корреляции , средние и дисперсии, соответственно , то следует формировать с.в. так:

,где , b=y-ax, , N(0,1)

Б) Реализовать алгоритм генерации выборки из многомерной случайной величины с заданной корреляционной матрицей.

Методические указания:

Формальная постановка задачи. Предположим, что результат измерения в каждой из n экспериментальных точек есть нормально распределенная величина Y_i (i=1,2...n) со своим математическим ожиданием М(Y_i), дисперсией D(Y_i), но эти величины не независимы, каждой паре величин (y_i,y_j) соответствует коэффициент корреляции r_ij:

(0)

Корреляционная матрица – симметричная относительно единичной диагонали матрица R размерности nхn c элементами, определяемыми (0). Задача: сгенерировать (построить, смоделировать) выборки из p значений каждой из величин так, чтобы это были выборки из нормально распределенных величин с заданным математическим ожиданием М(Y_i), дисперсией D(Y_i), но не независимых, а характеризующихся заданной корреляционной матрицей. Без ограничения общности, будем формировать величины с М(Y_i)=0 и D(Y_i)=1, т.к. учитывая свойства числовых характеристик, добавив к каждому из p полученных значений каждой из величин Y_i постоянное _i, мы получим выборку значений с математическим ожиданием _i, умножив эти числа на _i мы получим значения с дисперсией _i².

Зависимые величины y_1, y_2, …._. y_n могут быть получены из нормально распределенных независимых случайных величин ₁, ₂,…_n следующим образом:

(0)

, 1kn

например,

, , и т.д.

Коэффициенты с_k1,c_k2,…c_k,k-1 определяются из системы линейных уравнений (1kn):

(0)

r_ij – элементы матрицы R, вычисленные по формуле (0).

Коэффициенты с_kk находятся из условия (1kn):

(0)

(знак при извлечении корня можно брать любой).

Например,

для k=1 , т.е. ;

для k=2 или ;

для k=3

или

и т.д.

Схема решения.

• Задаем матрицу R, определяем коэффициенты с (по формулам (0)-(0))

• Генерируем любым способом выборки p значений величин (m=1, 2,….p), .

• Вычисляем выборки , по формуле (0) для каждого k ( ):

(0)

например,

,

,

и т.д.

• Строим выборочную ковариационную матрицу :

(0)

и

Это позволяет проверить, насколько выборочная корреляционная матрица близка к заданной (близость будет возрастать по мере роста объемов выборок p).

Например, пусть требуется построить трехмерной случайную величину (n=3), представленную выборкой объемом р=50 c корреляционной матрицей

Определяем коэффициенты с:

с₁₁=1;

с₂₁=r₁₂=0.8, c₂₂²=1-0.8² =0.36, c₂₂=0.6;

, откуда с₃₁=-0.778, с₃₂=1.222.

Возьмем с₃₃=- =-0.65. Сгенерируем три выборки по 50 значений нормально распределенных величин величин _i~N(0,1) (использован генератор Excel, в таблицу для иллюстрации построения внесено только по 4 первых значений _i):

	1	2	3	y1=1
1	0.689	-0.102	-0.871	0.689	0.490	0.639
2	-0.432	-0.143	-0.384	-0.432	-0.431	0.122
3	0.327	-0.583	0.012	0.327	-0.088	-0.825
4	0.030	0.416	-0.307	0.030	0.274	0.560
	……	……	……	……	……	……
Cредн.	0.094	-0.06	-0.01	0.094	0.017	0.012
S2	0.998	0.976	0.813	0.998	0.906	0.858

Выборочная ковариационная матрица, построенная с помощью коэффициентов, рассчитанных по формуле

имеет вид:

Увеличивая объем выборок, можно добиться, чтобы выборочные коэффициенты корреляции отличались от требуемых не более, чем на 1%5%.