Тема: стационарные ряды. Модели авторегрессии-скользящего среднего arma (p,q)

Продемонстрируйте свойство обратимости ("двойственность") между процессами скользящего среднего и авторегрессии. А именно: уравнение скользящего среднего можно переписать (обратить) в виде уравнения авторегрессии (неограниченного порядка), и наоборот (при некоторых условиях).

Пример. Пусть общее уравнение AR(2) модели:

Нужно оценить параметры , решив систему Юла-Уокера:

, где - соответственно коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка (k=1,2)⁴:

где - среднее значение части базисного ряда, состоящего из n-k элементов начиная с k-го, - среднее значение части смещенного на k ряда, состоящего из n-k элементов начиная с первого, n - количество уровней в начальном ряду, k - лаг, порядок автокорреляции.

Пусть и . Оцениваем параметры , решив систему Юла-Уокера:

Таким образом, имеем

МНК-оценка свободного коэффициента, в данном примере, .

Итак, .

Тема: нестационарные процессы. Метод Бокса-Дженкинса построения модели arima (p,d,q)

Задание. Предложите содержательный комментарий рисункам

Стационарность в широком смысле:

а) по среднему;

б) по дисперсии

Реализация нестационарного случайного процесса

Задание. Проиллюстрируйте применение метода Бокса и Дженкинса в построении АРПСС (p, d, q) (параметры авторегрессии (p), порядок разности (d), параметры скользящего среднего (q)):

А) в идентификации порядка модели: определение d для достижения стационарности + как много параметров авторегрессии (p) и скользящего среднего (q) должно присутствовать в эффективной и экономной модели процесса

Б) когда стационарность достигается:

- логарифмическим преобразованием для стабилизации дисперсии;

- интегрированием.

В) когда чрезмерное количество взятых разностей приводит к менее стабильным оценкам коэффициентов.

Задание. Приведите примеры графической (автокорреляционная функция (АКФ), частная автокорреляционная функция (ЧАКФ)) идентификации порядка модели, подтвердите результатами идентификации в вычислительной среде (напрмиер, Statistica):

• Один параметр авторегрессии (p): АКФ - экспоненциально убывает; ЧАКФ - имеет резко выделяющееся значение для лага 1, нет корреляций на других лагах.

• Два параметра авторегрессии (p): АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает; ЧАКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах.

• Один параметр скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющееся значение на лаге 1, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ экспоненциально убывает.

• Два параметра скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает.

• Один параметр авторегрессии (p) и один параметр скользящего среднего (q): АКФ экспоненциально убывает с лага 1; ЧАКФ - экспоненциально убывает с лага 1.

Задание. Приведите примеры (лучше – содержательные) сезонной АРПСС(p,d,q)(ps,ds,qs), где сезонные параметры для определенного лага (устанавливаемого на этапе идентификации порядка модели) дополняют обычную модель АРПСС(p,d,q). Здесь сезонная авторегрессия (ps), сезонная разность (ds) и сезонное скользящее среднее (qs).

Например, модель (0,1,2)(0,1,1) включает 0 регулярных параметров авторегрессии, 2 регулярных параметра скользящего среднего и 1 параметр сезонного скользящего среднего. Эти параметры вычисляются для рядов, получаемых после взятия одной разности с лагом 1 и далее сезонной разности.