Тема: построение адаптивных моделей

Цель работы: приобретение навыков построения и использования адаптивных моделей прогнозирования.

Порядок выполнения работы

По заданным значениям временного ряда построить адаптивные модели и выполнить прогноз с завершением обучения модели после некоторого времени и без завершения.

Для последней точки вычислить интервальный прогноз.

На одной диаграмме построить исходный ряд и прогнозные значения с завершением обучения и без завершения.

Сделать мотивированный вывод о качестве прогнозирования с помощью адаптивной модели.

Методические указания:

Идея (модели линейного роста): есть временной ряд наблюдений y(t), t =1,...,n, прогноз в момент времени t на t шагов вперед таков:

здесь a - текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома.

Для экстраполяции (прогноза) используется «последняя» адаптация модели.

Для конкретных моделей (Брауна, Хольта, Винтера – ранжирование синтеза адаптации уровня ряда + тренда + коэффициентов сезонности) оптимальное значение параметров дисконтирования в переделах [0;1] определяется методом численной оптимизации (минимум ошибки прогноза) и является постоянным для всего периода наблюдений.

Метод Брауна. Имеется временной ряд наблюдений y(t), t=1,...,n, прогноз в момент времени t на шагов: , где и – предыдущие оценки коэффициентов адаптивного полинома. Модификация (адаптация) коэффициентов линейной модели:

где – коэффициент дисконтирования данных; – ошибка прогнозирования ( ).

Начальные значения параметров модели можно определить по методу наименьших квадратов на основе нескольких первых наблюдений.

Детально с упрощенной индексацией схема построения модели Брауна первого порядка такова:

1. По нескольким первым точкам методом наименьших квадратов найдем (или зададим) значения параметров a и b линейной модели

2. Используя найденные параметры, приняв их за значения a₁ и b₁, найдем прогнозное значение наблюдаемой величины на следующем шаге: , k=1

3. Найдем ошибку прогнозирования: .

4. В соответствии с ошибкой изменим значения параметров модели:

5. По модели с исправленными параметрами найдем прогноз на следующий шаг и вернемся к п. 3, если t<N (т.е. время обучения модели еще не завершилось), при t≥N будем использовать полученное значение как прогнозное, не изменяя параметров модели.

6. Дополним точечный прогноз интервальным:

где - точечный прогноза в точке ;

- табличное значение критерия Стьюдента;

;

n – число наблюдений ряда, k – упреждение прогноза;

– стандартная ошибка аппроксимации прогнозируемого показателя

Метод Хольта (учет тренда в нестационарных рядах). Данная процедура сглаживает одновременно случайные возмущения и тренд с использованием двух различных параметров:

где - периоды сглаживания; - сглаженная величина на период ; - сглаженное значение тренда на период ; , - сглаживающие константы (числа между 0 и 1).

Прогноз на период :

Прогноз на периодов вперед:

Процедура прогнозирования начинается с того, что сглаженная величина полагается равной . Способы оценки :

- = 0 (в случае длинного исходного временного ряда);

- МНК-оценки по первым пяти (или более) наблюдений коэффициентов . Величина берется в качестве начального значения тренда.

Метод Винтера: к двум уравнениям, сглаживающим наблюдения и тренд, добавляется уравнение для сглаживания сезонных изменений.

,

,

,

где - сглаженное наблюдение на период ; - сглаженный сезонный фактор; - сглаженная оценка тренда; - число периодов в году, характеризующих сезонность ( =4 для квартальных данных, =12 для месячных наблюдений); , , - сглаживающие константы.

Прогноз на периодов вперед задается уравнением . Выражение характеризует сглаженную десезонализированную оценку и учитывает сглаженный тренд, - сглаженная оценка сезонности квартала (или месяца) года, предыдущего периоду осуществления прогноза.

Определение начальных значений и :

1. Полагаем начальные сезонные индексы равными 1.

2. Полагаем начальную оценку тренда = 0.

3. Полагаем начальное сглаженное значение для квартала 4 (месяца 12) нулевого года равным фактическому значению для квартала 4 (месяца 12) первого года. Оно является также прогнозом ( ) для каждого из четырех кварталов (каждого из 12 месяцев) первого года.

Прогнозная модель Тейла-Вейджа имеет вид:

Оценка коэффициентов модели:

где , , - параметры экспоненциального сглаживания , , , , , .

Предполагается, что коэффициенты тренда и сезонная составляющая могут медленно меняться во времени. В соответствии с этим вычислительный процесс устроен как адаптивная процедура, управляемая тремя параметрами адаптации (один параметр - адаптация уровня, второй – адаптация тренда, третий - коэффициентов сезонности). Каждый параметр должен находится в интервале от 0 до 1: чем ближе параметр к единице, тем больший вес приписывается последним наблюдениям. В ходе вычислений строится сглаженный ряд, представляющий собой в каждый момент времени t прогноз по данным до момента (t-1) включительно.

Пример:

Анализ динамики производства

Исходные данные. Сопоставимость уровней временных рядов

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Объем производства	152	36	199	202	127	138
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Объем производства	157	225	251	249	226	210

Для корректности сравнения уровней временного ряда необходимо привести уровни ряда к равноценным единицам измерения.

В виду отсутствия конкретики относительно производства, будем считать, что число рабочих дней периода совпадает с продолжительностью периода (можно было усложнить задачу, учитывая количество выходных и праздничных дней за период, количество сокращенных дней за период и др.)

Хотя в литературе и указывается на необходимость приведения уровней ряда к равноценным единицам измерения, но на практике /по личным наблюдениям автора отчета/ особый интерес вызывают «реальные» характеристики динамики экономических явлений (значения характеристик по исходным данным, особенно, если исходные данные – объем начисленных доходов от реализации услуг, объем производства и др.).

В связи с этим в отчете представлены результаты анализа временного ряда (в рамках задания лабораторной работы) по исходным данным.

Характер динамики производства

Рассчитаем средний уровень (среднее хронологическое):

– i-тый уровень ряда, n – число членов ряда.

Результаты расчетов темпов роста приведем в следующих таблицах.

Временной ряд базисных темпов роста (база сравнения - январь)

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровень ряда	152	36	199	202	127	138
Темп роста с постоянной базой, %	-	23,7%	130,9%	132,9%	83,6%	90,8%
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Уровень ряда	157	225	251	249	226	210
Темп роста с постоянной базой, %	103,3%	148,0%	165,1%	163,8%	148,7%	138,2%

Временной ряд цепных темпов роста

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровень ряда	152	36	199	202	127	138
Темп роста, %	-	23,7%	552,8%	101,5%	62,9%	108,7%
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Уровень ряда	157	225	251	249	226	210
Темп роста, %	113,8%	143,3%	111,6%	99,2%	90,8%	92,9%

Расчет абсолютного прироста:

Абсолютные приросты к начальному периоду (накопленные абсолютные приросты)

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровень ряда	152	36	199	202	127	138
Абсолютный прирост, ед.	-	-116,0	47,0	50,0	-25,0	-14,0
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Уровень ряда	157	225	251	249	226	210
Абсолютный прирост, ед.	5,0	73,0	99,0	97,0	74,0	58,0

Абсолютные приросты к предыдущему периоду (ежемесячные абсолютные приросты)

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровень ряда	152	36	199	202	127	138
Абсолютный прирост, ед.	-	-116,0	163,0	3,0	-75,0	11,0
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Уровень ряда	157	225	251	249	226	210
Абсолютный прирост, ед.	19,0	68,0	26,0	-2,0	-23,0	-16,0

Абсолютное значение одного процента прироста (или показатель сотой доли предыдущего уровня ряда динамики) вычислим по формуле:

Период	январь	февраль	март	апрель	май	июнь
Уровень ряда	152	36	199	202	127	138
Темп роста с постоянной базой, %	-	1,52%	0,36%	1,99%	2,02%	1,27%
Период	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
Уровень ряда	157	225	251	249	226	210
Темп роста с постоянной базой, %	1,38%	1,57%	2,25%	2,51%	2,49%	2,26%

По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин.

Рассчитаем на сколько в среднем ежегодно изменяется уровень товарооборота по формуле:

где n – число уровней ряда динамики; y₁ – первый уровень ряда динамики; y_n – последний уровень ряда динамики.

Получили, что в среднем уровень товарооборота увеличивается на 5,27 ед.

Средний темп роста характеризует среднюю скорость изучаемого явления и вычисляется по формуле

Среднегодовой темп роста товарооборота составляет

Средний темп прироста вычисляется по формуле

Каждый год в среднем товарооборот увеличивается на

Общая тенденция развития производства

Одна из важнейших задач анализа динамики – выявление и количественная характеристика основной тенденции развития. Под тенденцией понимается общее направление к росту, снижению или стабилизации уровня явления с течением времени. Основную тенденцию можно представить либо аналитически (в виде уравнения тренда), либо графически. Как правило, по внешнему виду ряда динамики установить тенденцию невозможно, используются специальные методы обработки, как простые, так и достаточно сложные.

Изобразим ряд динамики в виде линейного графика, представленного на рисунке.

Ряд динамики

Простейший способ обработки ряда динамики, применяемый с целью установления закономерностей развития – метод укрупнения интервалов.

«Укрупненные» квартальные показатели явно демонстрируют общую тенденцию роста объема производства.

Квартальные уровни динамики

Теперь рассчитаем показатели темпов роста по кварталам.

Исходные данные

Период	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
Объем производства	387	467	633	685

Рассчитаем средний уровень (среднее хронологическое): 543,0

Временной ряд базисных темпов роста (база сравнения - 1 квартал)

Период	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
Уровень ряда	387	467	633	685
Темп роста с постоянной базой, %	-	120,7%	163,6%	177,0%

Временной ряд цепных темпов роста

Период	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
Уровень ряда	387	467	633	685
Темп роста, %	-	120,7%	135,5%	108,2%

Расчет абсолютного прироста:

Абсолютные приросты к начальному периоду (накопленные абсолютные приросты)

Период	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
Уровень ряда	387	467	633	685
Абсолютный прирост, ед.	-	80,0	246,0	298,0

Абсолютные приросты к предыдущему периоду (ежемесячные абсолютные приросты)

Период	1 квартал	2 квартал	3 квартал	4 квартал
Уровень ряда	387	467	633	685
Абсолютный прирост, ед.	-	80,0	166,0	52,0

Для определения тенденции в ряду динамики – воспользуемся методом скользящей средней. Данный метод механического сглаживания, основанный на переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого выбрана заранее. При этом сам интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Определим общую тенденцию развития ряда динамики с помощью трехзвенной и четырехзвенной скользящей средней.

Результаты представим в таблице:

Период	Исходные данные	Сглаживание по трем точкам	Сглаживание по четырем точкам
Январь	152
Февраль	36	129
Март	199	146	144
Апрель	202	176	154
Май	127	156	161
Июнь	138	141	159
Июль	157	173	177
Август	225	211	207
Сентябрь	251	242	229
Октябрь	249	242	236
Ноябрь	226	228
Декабрь	210

Если исходные данные демонстрируют колебание объемов производства, то сглаженный ряд показывает рост производства. При этом, сглаживание по четырем точкам показывает стабильный рост, трехточечный сглаженный ряд имеет отдельные незначительные колебания.

Визуальное представление динамики производства

Определим тенденции развития в ряду динамики наиболее распространенным способом аналитического выравнивании - методом наименьших квадратов. При этом методе исходные уровни ряда динамики заменяются теоретическими (расчётными) значениями , которые представляют некоторую достаточно простую математическую функцию времени, выражающую общую тенденцию развития ряда динамики. Чаще всего в качестве такой функции выбирают прямую.

Без ограничения общности, технологию применение критерия метода наименьших квадратов (МНК) рассмотрим для случая выравнивания исходного ряда линейным трендом:

где – коэффициенты, определяемые в соответствии с критерием МНК:

Можно выразить оценки ( , ) явным образом:

где и - среднее значение фактора времени и исследуемого фактора , n – число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда.

Промежуточные вычисления, необходимые для применения формул, представим в таблице:

Период	Исход ные данные					Теоретич еские данные
1	152	-5,5	-29	159,5	30,25	118,41
2	36	-4,5	-145	652,5	20,25	129,79
3	199	-3,5	18	-63,0	12,25	141,17
4	202	-2,5	21	-52,5	6,25	152,55
5	127	-1,5	-54	81,0	2,25	163,93
6	138	-0,5	-43	21,5	0,25	175,31
7	157	0,5	-24	-12,0	0,25	186,69
8	225	1,5	44	66,0	2,25	198,07
9	251	2,5	70	175,0	6,25	209,45
10	249	3,5	68	238,0	12,25	220,83
11	226	4,5	45	202,5	20,25	232,21
12	210	5,5	29	159,5	30,25	243,59
78	2172			1628	143	2172

Здесь ; .

Согласно формулам: ,

Таким образом, аналитический тренд (тенденция динамики производства) имеет вид:

Явный вид динамики показывает, что в каждый период происходит увеличение производства в среднем на 11,38 ед.

Зная аналитический тренд, можно выполнять точечный прогноз, например:

и т.д.

Прямолинейный тренд

Рассматривая динамические ряды, пытаются разделить факторы, которые неоднородны по силе и направлению воздействия, оказываемого на изучаемое явление, на постоянно действующие и оказывающие определяющее воздействие на уровни ряда, формирующие основную тенденцию развития, и случайные факторы, приводящие к кратковременным изменениям уровней ряда динамики. Поэтому статистические методы исследования временного ряда предполагают возможность представления уровней ряда в виде суммы компонент, отражающих закономерность и случайность.

В наблюдаемом явлении мы предполагаем проявление закономерности (выраженной трендом) и случайности (отклонений тренда от реальных данных):

.

Вычислим остаточные компоненты по формуле :

Адекватность модели диагностируется следующими критериями:

• математическое ожидание значений остаточного ряда равно нулю, т.е. , ;

• значения остаточного ряда случайны;

• значения остаточного ряда независимы, т.е. , ;

• значения остаточного ряда подчинены нормальному закону распределения.

Промежуточные результаты исследования оценки адекватности построенной модели приведены в таблице:

Теоретические данные	Остаточные компоненты et	Поворотные точки		Et=et-et-1
118,41	33,59	-	1128,29	-	-	-	28,37
129,79	-93,79	1	8796,56	-127,38	16225,66	-3150,41	72,26
141,17	57,83	1	3344,31	151,62	22988,62	-5423,88	40,96
152,55	49,45	0	2445,30	-8,38	70,22	2859,69	32,42
163,93	-36,93	0	1363,82	-86,38	7461,50	-1826,19	22,53
175,31	-37,31	1	1392,04	-0,38	0,14	1377,86	21,28
186,69	-29,69	0	881,50	7,62	58,06	1107,73	15,90
198,07	26,93	0	725,22	56,62	3205,82	-799,55	13,60
209,45	41,55	1	1726,40	14,62	213,74	1118,94	19,84
220,83	28,17	0	793,55	-13,38	179,02	1170,46	12,76
232,21	-6,21	0	38,56	-34,38	1181,98	-174,94	2,67
243,59	-33,59	-	1128,29	-27,38	749,66	208,59	28,37
2172	0	4	23763,85	-	52334,47	-3531,67	282,59

Проверим гипотезу (о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю) с помощью t-критерия Стьюдента:

, где - среднее значение уровней

остаточного ряда, - среднее квадратическое отклонение уровней остаточного ряда.

В данном случае . Число степеней свободы для уровней остаточного ряда , уровень значимости 0,05. Табличное значение (для расчета критических точек распределения Стьюдента можно воспользоваться Таблица 4, Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Т.к. отношение неверно, то отклонять гипотезу у нас нет оснований. Иными словами, считаем первое требование адекватности линейного тренда выполненным.

Для уровня значимости 0,001 табличное значение статистики равно . Т.к. отношение неверно, то отклонять гипотезу у нас нет оснований. Иными словами, считаем первое требование адекватности линейного тренда выполненным.

Проверим случайность колебаний остаточной компоненты по критерию поворотных точек, т.е. оценим гипотезу о независимости величин e_t от времени.

Для этого каждый уровень ряда сравнивается с двумя рядом стоящими: пик e_t характеризуется одновременным выполнением условий либо , либо .

Подсчитываем число поворотных точек , для которого в случайном ряду должно выполняться строгое неравенство (достаточное условие):

где критическое число поворотных точек равно:

В данном случае и . Так как не верно, то условие случайности остаточной компоненты не выполнено.

Для проверки точности тренда рассчитаем среднюю относительную ошибку, т.е. среднее абсолютных значений ошибок прогноза, выраженных в процентах относительно фактических значений показателя:

В нашем примере величина средней относительной ошибки равна и, в соответствии с правилом построенная модель имеет приемлемый уровень точности.

Спрогнозируем объем производства на январь, февраль и август следующего года.

Точечный прогноз на основе регрессии осуществляется экстраполяцией выявленной тенденции: в уравнении регрессии «замещаем» нужным значением и находим соответствующий прогноз. Для прогнозирования объема производства на январь, февраль, август - кодированные факторы , , соответственно:

В данных месяцах следующего года объем производства прогнозируется в размере:

,

,

.

Определим доверительный интервал отдельно взятого возможного прогноза. Для этого необходимо вычислить среднеквадратическое отклонение построенного тренда по формуле

- число степеней свободы, для линейного тренда,

и стандартную ошибку индивидуального прогноза в точке по формуле:

Получили следующие значения:

Доверительный интервал для прогноза определяется по формуле:

где - табличное значение критерия Стьюдента, соответствующее числу степеней свободы и заданному уровню значимости  (табличное значение критерия Стьюдента равно и )

Полученные результаты расчетных прогнозных оценок представим в таблицу:

Момент	Прогноз	Доверительный интервал =0,05	Доверительный интервал =0,001
13	254,97	(127,32;382,62)	(-7,76; 517,70)
14	265,35	(133,24;397,46)	(-6,56; 537,26)
20	334,63	(167,71; 501,55)	(-8,93; 678,19)

Воспользуемся стандартной программной средой EXCEL и построим криволинейные тренды:

Тренды

Произведя визуальный анализ полученных трендов, заметно, что более реальное приближение дает полином шестой степени. Параболический, гиперболический и логарифмический тренды, вообще говоря, не могут описывать данную ситуацию, так как R² на много меньше 0,75.