Конструирование динамической модели по временному ряду

Математическое моделирование по дискретным последовательностям экспериментальных данных (временным рядам) – активно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно начиналось с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией (рассматривается в курсе АВР), а сейчас такие эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Практические приложения эмпирических моделей очень разнообразны – от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения трудно укладываются в формальную схему. Данная работа предполагает обзор узловых проблем построения динамических моделей по хаотическим рядам и современных подходов к их решению, а также апробацию некоторых методик.

Базовый материал:

- Б.П.Безручко, Д.А.Смирнов Построение модельных отображений по хаотическим временным рядам. Учебно-методическое пособие, – Саратов: ГосУНЦ “Колледж”, 2000

- Б.П.Безручко, Д.А.Смирнов Реконструкция обыкновенных дифференциальных уравнений по временным рядам. Учебно-методическое пособие, – Саратов: ГосУНЦ “Колледж”, 2000

- Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. - Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005.

Задания (выбор самостоятельный):

А) Восстановление дифференциального уравнения с полиномиальными нелинейностями по хаотической временной реализации эталонной динамической системы, заданной преподавателем или выбранной самостоятельно (рис.1-2).

Б) Разработка программы записи скалярного или векторного временного ряда, генерируемого одной из эталонных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предусмотреть:

• выбор нужной системы;

• значения ее параметров и начальные условия, при которых будет получен временной ряд;

• добавление нормального белого шума нужной интенсивности к записываемому ряду;

• выбор файла для записи данных (или создание нового);

• задание установки для записи ряда (длительность переходного процесса, длину записываемого ряда, метод и шаг интегрирования дифференциальных уравнений, интервал выборки – интервал, с которым записываются значения переменных в файл данных;

• возможность изменить все указанные величины и записать другой временной ряд в новый файл.

В) Проектирование системы построения по скалярному (векторному) временному ряду модельных дифференциальных уравнений.

Предусмотреть:

выбор необходимых значений параметров алгоритма реконструкции:

- количество векторов в тренировочном временном ряде;

- вид аппроксимирующих функций;

- порядок полинома, если выбрана полиномиальная аппроксимация, порядки двух полиномов, если выбрана рациональная аппроксимация, период воздействия, если выбрана аппроксимация с внешним гармоническим воздействием;

и установок для проверки эффективности модели:

- длину участка тестового временного ряда;

- количество этих участков;

- величину сдвига между соседними участками;

- метод интегрирования модельных дифференциальных уравнений;

- шаг интегрирования модельных дифференциальных уравнений.

Общая схема реконструкции математической модели по временному ряду, методики глобальной и локальной реконструкции – [1, 2].

Схема процедуры моделирования по временному ряду

Иллюстрация к вычислению дальности прогноза по тестовому временному ряду