Тема: построение авторегрессионных моделей, построение и интерпретация коррелограммы
Задание 1. Порядок работы:
Формирование исходных данных:
Известны средние значения цены на некоторый продукт за 5 лет (20 кварталов). Считая ряд стационарным, построить авторегрессионный процесс второго порядка AR(2) с помощью уравнений Юла-Уокера.
Кварталы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Цена (тг) |
164 |
163 |
166 |
169 |
169 |
167 |
161 |
154 |
147 |
140 |
Кварталы |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
Цена (тг) |
133 |
126 |
121 |
118 |
120 |
122 |
122 |
118 |
108 |
|
Задание 2. Найти параметры модели AR(2), если
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Задание 3. Найти параметры модели AR(1,1), если
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
к)
Методические указания:
см. Пример темы Стационарные ряды. Модели авторегрессии-скользящего среднего ARMA (p,q).
Тема: Исследование стационарности временного ряда
Для исследования стационарности необходимо:
удалить тенденцию из исходного ряда;
построить коррелограмму (подтвердить или опровергнуть наличие сезонности-цикличности);
построить модель авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего (продемонстрировать методологию Бокса-Дженкинса).
Пример:
Для начала удалим тенденцию (линейный тренд - y=-4,0283x+219,33) из исходного ряда.
t |
yt |
y= -4,0283x+ 219,33 |
y-T |
автокор.остатков |
1 |
201,64 |
215,3017 |
-13,66 |
0,809266974 |
2 |
201,33 |
211,2734 |
-9,94 |
0,310576157 |
3 |
204,08 |
207,2451 |
-3,17 |
-0,28279503 |
- |
- |
- |
- |
- |
33 |
73,62 |
86,3961 |
-12,78 |
0,986824611 |
34 |
73,24 |
82,3678 |
-9,13 |
1 |
35 |
75,97 |
78,3395 |
-2,37 |
|
36 |
78,80 |
74,3112 |
4,49 |
|
2. Построим коррелограмму остатков:
На данной диаграмме явно прослеживается периодичность процесса.
3. Построим модель авторегрессии второго порядка (в среде MS Excel).
Общее уравнение AR(2) модели -
Оно показывает, что каждое значение ряда находится в линейной зависимости от 2-х предыдущих уровней.
Нужно оценить
параметры
,
решив систему Юла-Уокера:
,
где
- соответственно коэффициенты автокорреляции первого и второго порядка.
Коэффициенты автокорреляции находятся по стандартным формулам нахождения коэффициента корреляции Спирмена:
Или, более подробно:
,
где - среднее значение части базисного ряда, состоящего из n-k элементов начиная с k-го.
- среднее значение
части смещенного на k
ряда, состоящего из n-k
элементов начиная с первого.
n - количество уровней в начальном ряду
k - лаг, порядок автокорреляции
Найдем коэффициент автокорреляции первого порядка. Для этого сдвинем исходный ряд значений на одну позицию вниз, найдем средние значения первого ряда со 2 по 20 элементы и второго - всех 35-ти элементов:
t |
Yt |
Yt+1 k=1 |
1 |
-13,66 |
|
2 |
-9,94 |
-13,66 |
3 |
-3,17 |
-9,94 |
- |
- |
- |
34 |
-9,13 |
-12,78 |
35 |
-2,37 |
-9,13 |
36 |
4,49 |
-2,37 |
средние значения |
0 |
-0,13 |
Находим необходимые для задачи расчетные данные:
t |
Yt-Ytcp |
Yt+1-Yt+1cp |
(Yt-Ytcp)* (Yt+1-Yt+1cp) |
(Yt-Ytcp)^2 |
(Yt+1-Yt+1cp)^2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
-10,33 |
-13,535 |
139,877 |
106,808 |
183,183 |
3 |
-3,56 |
-9,816 |
34,912 |
12,649 |
96,358 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
34 |
-9,52 |
-12,649 |
120,408 |
90,615 |
159,995 |
35 |
-2,76 |
-9,001 |
24,850 |
7,623 |
81,011 |
36 |
4,10 |
-2,242 |
-9,188 |
16,789 |
5,028 |
суммы |
|
|
2343,264 |
2811,16 |
2982,449 |
Тогда
Аналогично находится
коэффициент
.
t |
Yt |
Yt+2 k=2 |
1 |
-13,66 |
|
2 |
-9,94 |
|
3 |
-3,17 |
-13,66 |
- |
- |
- |
34 |
-9,13 |
-11,13 |
35 |
-2,37 |
-12,78 |
36 |
4,49 |
-9,13 |
средние значения |
0,70 |
-0,06 |
t |
Yt-Ytcp |
Yt+2-Yt+2cp |
(Yt-Ytcp)* (Yt+2-Yt+2cp) |
(Yt-Ytcp)^2 |
(Yt+2-Yt+2cp)^2 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
-3,86 |
-13,60 |
52,50437076 |
14,90 |
184,97 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
34 |
-9,82 |
-11,07 |
108,773828 |
96,49 |
122,62 |
35 |
-3,06 |
-12,71 |
38,96957213 |
9,39 |
161,67 |
36 |
3,79 |
-9,07 |
-34,39334901 |
14,39 |
82,20 |
суммы |
|
|
880,758194 |
2701,21 |
2977,27 |
Далее оцениваем параметры , решив систему Юла-Уокера:
Решаем методом
подстановок, выражая из первого уравнения
и подставляя во второе:
-
a2=
-0,997826384
a1=
1,616774913
Таким образом, общее уравнение AR(2) модели -
По МНК можно подобрать значение свободного коэффициента μ.
Представим на графике исходный ряд и модели авторегрессии первого и второго порядка.
4. Продемонстрируем методологию Бокса-Дженкинса в построении ARIMA-модели с помощью пакета Statistica 6.0.
График исходного ряда остатков:
Для начала определим, есть ли необходимость в дифференцировании ряда остатков (после удаления из исходного ряда тенденции). Для этого построим график автокорреляционной функции (АКФ) для ряда остатков:
В модели с первой производной предполагается, что у исходного ряда имеется константный тренд. Но т.к. мы преднамеренно удалили линейный тренд, то можно считать, что нам необходима модель без дифференцирования, которая предполагает, что наш ряд стационарен.
По графику АКФ можно заметить, что ряд похож на стационарный: в нем не виден тренд, он демонстрирует явственную тенденцию возвращаться к своему среднему, не выявлено признаков недо- и передифференцированности ряда.
После того, как ряд признан стационарным, нам нужно установить, какие члены нужны для аппроксимации оставшихся автокорреляций - АР или СС. Конечно, можно попросту испытать несколько моделей и посмотреть, какая из них работает лучше. Но мы воспользуемся другим путем. Рассматривая графики АКФ и ЧАКФ ряда мы можем ориентировочно оценить нужное количество АР- и/или СС-членов.
Построим график ЧАКФ:
Приведем следующее правило: Если ЧАКФ продифференцированного ряда резко обрывается в точке k и/или значение автокорреляции в точке k-1 положительно, следует попробовать добавить к модели авторегрессионный член. Значение аргумента k, после которого ЧАКФ "обрывается", - первый кандидат на порядок авторегрессионной части модели.
В данном случае мы видим, что ЧАКФ обрывается после k=2. Поэтому попробуем добавить к модели AR(2). Получаем модель ARIMA(2,0,0):
График АКФ для данной модели имеет вид:
График ЧАКФ:
По графикам АКФ и ЧАКФ не наблюдается признаков СС-членов (Если АКФ продифференцированного ряда резко обрывается и/или значение АКФ в точке k-1 отрицательно, следует ввести в модель СС-члены).
Значит, остановимся на модели ARIMA(2,0,0).
|
Param. |
Asympt. |
Asympt. |
p |
Lower |
Upper |
p(1) |
1,4641 |
0,094610 |
15,47550 |
0,0000 |
1,27187 |
1,656406 |
p(2) |
-0,861 |
0,094699 |
-9,09560 |
0,0000 |
-1,0538 |
-0,668893 |
Variable: ОСТАТКИ
Transformations:
Model: (2,0,0)
No. of obs.: 36 Initial SS= 3003,2 Final SS= 332,25(11,06%) MS= 9,7720
Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); highlight: p<.05
p(1) p(2)
Estimate: 1,4641 -,8613
Std.Err.: ,09461 ,09470
Прогноз по модели на следующие периоды:
-
Forecast
Lower
Upper
Std.Err.
37
8,61317
3,3273
13,89904
3,126023
38
8,74444
-0,6276
18,11653
5,542584
39
5,38415
-6,1823
16,95056
6,840287
40
0,35115
-11,6654
12,36772
7,106511
41
-4,12348
-16,1874
7,94046
7,134521
42
-6,33979
-18,4676
5,78799
7,172282
43
-5,73058
-17,8917
6,43054
7,191997
44
-2,92960
-15,0932
9,23402
7,193479
45
0,64667
-11,5240
12,81732
7,197635
46
3,47020
-8,7068
15,64719
7,201381
Уравнение этой модели совпадает с найденным ранее AR(2):
Попробуем всё же продифференцировать ряд остатков (возможно, другая модель лучше отразит закономерность?!). Кроме того, при построении модели (2,0,0) выводится сообщение о том, что ряд, возможно, не стационарен.
График первой производной ряда остатков:
График АКФ:
График ЧАКФ:
Построим модель ARIMA(2,1,0).
Variable: ОСТАТКИ
Transformations: D(1)
Model: (2,1,0)
No. of obs.: 35 Initial SS= 1116,5 Final SS= 24,030(2,152%) MS= ,75095
Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); highlight: p<.05
Const. p(1) p(2)
Estimate: ,50837 1,5995 -,9884
Std.Err.: ,35305 ,04501 ,04590
|
Param. |
Asympt. |
Asympt. |
p |
Lower |
Upper |
Constant |
0,5083 |
0,353046 |
1,4400 |
0,1595 |
-0,21076 |
1,2275 |
p(1) |
1,5995 |
0,045005 |
35,5414 |
0,0000 |
1,50788 |
1,6912 |
p(2) |
-0,9884 |
0,045899 |
-21,5348 |
0,0000 |
-1,08193 |
-0,8949 |
-
Forecast
Lower
Upper
Std.Err.
37
8,97655
7,5087
10,44442
0,866573
38
9,57363
5,4852
13,66205
2,413627
39
6,29055
-1,0699
13,65102
4,345308
40
0,64662
-9,8520
11,14527
6,197959
41
-4,93831
-17,7787
7,90209
7,580430
42
-8,09532
-22,2236
6,03293
8,340722
43
-7,42708
-22,0036
7,14947
8,605376
44
-3,03998
-17,6818
11,60181
8,643889
45
3,51458
-11,1278
18,15695
8,644233
46
9,86026
-4,7854
24,50595
8,646195
График АКФ:
График ЧАКФ:
По графикам АКФ и ЧАКФ данной модели можно сказать, что значительных положительных и отрицательных значений осталось совсем мало, т.е. всего одно положительное значение, не превосходящее 0,5. Значит, эта модель нас вполне устраивает… Но для полной уверенности построим вторую производную.
График АКФ второй производной:
График ЧАКФ второй производной:
Визуально графики АКФ и ЧАКФ второй производной напоминают те же графики для первой производной. Попробуем построить модель ARIMA(2,2,0).
Variable: ОСТАТКИ
Transformations: 2*D(2)
Model: (2,2,0)
No. of obs.: 32 Initial SS= 5105,7 Final SS= 157,06(3,076%) MS= 5,4158
Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); highlight: p<.05
Const. p(1) p(2)
Estimate: 2,1694 1,5805 -1,000
-
Param.
Constant
2,16943
p(1)
1,58047
p(2)
-1,00000
Прогноз:
|
Forecast |
Lower |
Upper |
Std.Err. |
37 |
8,31650 |
4,3623 |
12,27069 |
2,32719 |
38 |
7,84713 |
0,4517 |
15,24251 |
4,35246 |
39 |
3,42034 |
-12,2639 |
19,10463 |
9,23079 |
40 |
-2,25328 |
-24,3821 |
19,87554 |
13,02364 |
41 |
-6,25465 |
-37,9583 |
25,44898 |
18,65877 |
42 |
-5,53762 |
-43,1680 |
32,09272 |
22,14687 |
43 |
0,53193 |
-44,7301 |
45,79393 |
26,63838 |
44 |
11,28914 |
-37,9869 |
60,56517 |
29,00079 |
45 |
23,55208 |
-31,8885 |
78,99261 |
32,62883 |
46 |
34,57162 |
-24,5986 |
93,74182 |
34,82389 |
График АКФ:
График ЧАКФ:
На графиках АКФ и ЧАКФ видим, что не осталось ни одного значимого положительного значения, значит, эта модель подходит нам наилучшим образом. Остановим свой выбор на ней, т.е. на модели ARIMA(2,2,0).