- Критерий согласия Пирсона

Данный критерий широко используется в задачах статистического анализа данных для проверки соответствия экспериментальных данных заданному модельному непрерывному или дискретному закону распределения, определяемому функцией распределения . При этом истинные значения параметров могут быть неизвестны. В задачах проверки точности моделирования значения задаются при описании условий экспериментов, поэтому функцию можно считать полностью заданной.

Пусть как и при построении гистограммы (см. “Моделирование СВ с заданной гистограммой”) вычислены частоты попадания выборочных значений в ячеек гистограммы. Гипотетические вероятности попадания значений в ячейки гистограммы при истинной гипотезе и полностью заданной функции равны:

,

где - границы ячеек гистограммы. Статистика критерия проверки гипотез (15) имеет вид:

(16)

и характеризует взвешенную сумму квадратов уклонений частот от гипотетических значений . Чем больше , тем “сильнее” выборка не согласуется с .

Статистика (16) имеет, в предположении, что гипотеза верна, - распределение с степенями свободы (см. соответствующий раздел).

- критерий Пирсона основан на (16) и имеет вид:

принимается гипотеза (17)

где порог критерия находится из ограничения на ошибку первого рода: и имеет вид: , здесь - функция распределения статистики (16).

В ППП СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы критерия (17):

принимается гипотеза (18)

где - вычисляемая по выборке критическая вероятность или

“ -значение”, - задаваемый пользователем уровень значимости (обычно ).

Примечание. Если - дискретная СВ с функцией распределения - выборка реализаций СВ , тогда - соответственно частоты и гипотетические вероятности значений .

Критерий согласия Колмогорова.

Данный критерий позволяет осуществить проверку гипотез (15) в условиях, когда функция распределения модельного закона известна полностью, то есть не зависит от неизвестных параметров. Он основан на анализе мер уклонения эмпирической и модельной функций распределения.

Эмпирическая функция распределения по случайной выборке реализаций СВ определяется по формуле:

.

Введём статистику

называемую расстоянием Колмогорова между и .

Известно, что гипотеза верна и (практически ), то статистика имеет распределение Колмогорова с функцией распределения вида:

.

Критерий согласия Колмогорова представляет собой следующее решающее правило:

принимается гипотеза

Порог - квантиль уровня распределения Колмогорова, - задаваемый пользователем уровень значимости.

В ППП СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы данного критерия вида (18), где .

Критерий серий

Критерий серий предназначен для проверки гипотезы о случайности выборки . Критерий основан на исследовании знаковой последовательности разностей:

(19)

где - медиана выборки . Знаковая последовательность состоит из знаков “+”, “-”, соответствующих разностям (19) и характеризуется:

1. общим числом серий ,

2. протяжённостью самой длинной среди , где - число элементов знаковой последовательности.

Под “серией” понимается последовательность подряд идущих одинаковых знаков.

Очевидно, если - случайная выборка, то знаковая последовательность не должна содержать слишком длинных серий, а общее число серий не должно быть слишком малым.

В зависимости от величины К целесообразно использовать одно из следующих правил принятия решений.

_{Правило в случае К < 20.}

Если хотя бы одно из неравенств:

,

(где [a] – целая часть числа а) оказывается нарушенным, то гипотеза о случайности выборки отвергается с вероятностью ошибки .

_{Правило в случае К > 20 основано на использовании статистики:}

₍₂₀₎

где m – число наблюдений, меньших (больших) . Известно, что статистика (20) распределена асимптотически (при К  ) по стандартному нормальному закону. Отсюда правило принятия решения следующее: гипотеза о случайности выборки принимается, если и отвергается в противном случае ( - заданный уровень значимости).