1.1.3.Задания

1. Осуществить моделирование n=1000 реализаций БСВ с помощью мультипликативного конгруэнтного метода (МКМ-датчика) при следующих значениях параметров датчика:

(т.е. β  {19, 259, 4099, 65539, 1048979, 16777219, 268435459})

2. Сравнить эти датчики по точности, используя тесты проверки точности моделирования. Найти значение m^*, при котором достигается максимальная точность моделирования.

3. Выполнить задание 1 при следующих значениях параметров датчика:

(т.е.   {5, 125, 3125, 78125, 1953125, 48828125, 1220703125})

4. Для МКМ-датчика при  = 65539 исследовать зависимость точности моделирования и величины периода Т от «стартового» числа a0*00000000 . Положить a0*  {3, 19, 259, 4099, 65539, 1048979, 2147483647}

5. Сравнить по точности датчики, реализующие МКМ при  = 65539 и  = 78125

(a₀^* = ).

6. Сравнить по точности МКМ-датчики при различных значениях  из заданного в пакете множества возможных значений. Положить a₀^* = .

7. Датчики Макларена-Марсальи (ММ-датчики) М₁ и М₂ используют в качестве простейших датчики D₁ и D₂, реализующие МКМ при следующих значениях параметров:

М₁ . D₁ :  = a₀^* = 65539,

D₂ :  = 65539, a₀^* = 256959681;

М₂ . D₁ :  = a₀^* = 1078318301,

D₂ :  = 1078318301, a₀^* = 860574881;

8. Сравнить по точности датчики М₁ и М₂.

9. Сравнить по точности и быстродействию ММ-датчик М1 из задания 6 и МКМ-датчик с параметрами  = a0* = 65539.

1.2. Моделирование дискретных случайных величин (дсв)

1.2.1.Понятие дсв. Общая схема алгоритма моделирования

Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина , имеющая дискретное распределение вероятностей, определяемое дискретным множеством значений и заданными вероятностями значений

(13)

Основными функциональными и числовыми характеристиками ДСВ  являются

• функция распределения:

где

• функции вероятности:

где – символ Кронекера;

• математическое ожидание:

• дисперсия:

Алгоритм моделирования ДСВ , заданной распределением (13), состоит из вычисления вспомогательного вектора и двух шагов, повторяющихся при каждом обращении к алгоритму:

1. Моделирование с помощью датчика БСВ реализации a.

2. Принятие решения о том, что реализацией  является x, определяемое по правилу:

На практике для описания ДСВ используются модельные дискретные законы распределения с числом параметров N'<<N. Это позволяет построить более экономичные и точные алгоритмы моделирования ДСВ.

В пакете СТАТМОД реализованы алгоритмы моделирования ДСВ для таких модельных законов распределения как:

1. распределение Бернулли;

2. биномиальное распределение;

3. геометрическое распределение;

4. отрицательное биномиальное распределение;

5. гипергеометрическое распределение;

6. распределение Пуассона;

7. дискретное равномерное распределение.

Проверка точности моделирования ДСВ

Проверка точности моделирования ДСВ включает проверку гипотез согласия распределения смоделированной выборки заданному модельному закону распределения, а также проверку случайности и независимости выборочных значений . Для этих целей используются соответственно описанные выше статистические критерии согласия, а также критерии серий.

1.2.2.Алгоритмы моделирования для дискретных распределений

Распределение Бернулли

ДСВ  имеет распределение Бернулли Bi(1,p), если: где p  (0,1) – параметр распределения.

Характеристики распределения Бернулли (x {0,1}):

• функция распределения:

• функция вероятности:

• среднее значение:

• дисперсия:

Содержательная интерпретация

Распределение Бернулли описывает случайный эксперимент (испытание Бернулли) с двумя исходами: успех ( = 1) и неудача ( = 0), причем вероятность успеха равна p.

Алгоритм моделирования

Алгоритм моделирования одной реализации случайной величины Бернулли состоит из двух шагов:

1. Моделирование реализации БСВ.

2. Принятие решения о том, что реализацией  является значение x определяемое по правилу:

Коэффициент использования БСВ k = 1.

Биномиальное распределение

ДСВ  имеет биномиальное распределение Bi(m,p), если:

Параметры распределения: m – натуральное число; p  (0,1).

Характеристики распределения Bi(m,p) (x  {0,1,…,m}):

• функция распределения:

• функция вероятности:

• среднее значение:

• дисперсия:

Содержательная интерпретация

Биномиальная СВ  – это число успехов в m независимых испытаниях Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании равна p.

Алгоритмы моделирования

1. Метод браковки. Алгоритм моделирования реализации биноминальной СВ  по методу браковки состоит из двух шагов:

(а) Моделирование m реализаций БСВ.

(b) Принятие решения о том, что реализацией  является значение x, вычисляемое по формуле:

где

Таким образом, x – количество значений из {a_i}, меньших p.

Коэффициент использования БСВ k= .

2. Использование геометрического распределения. Описываемый алгоритм моделирования биномиальной СВ  обладает при малых значениях р (практически при p < 0.1) высоким быстродействием. Алгоритм состоит из двух шагов:

(а) Моделирование  реализаций ДСВ, распределенной по геометрическому закону G(p), где  – случайная величина, определяемая соотношением:

где _i' получается из _i округлением до ближайшего целого значения.

(b) Принятие решения о том, что реализацией  является величина x =  - 1.

Таким образом, x – число серий независимых испытаний до первого успеха (с вероятностью успеха, равной р) в предложении, что общее число испытаний равно m (то есть, x – число успехов в m независимых испытаниях).

Коэффициент использования БСВ – случайная величина .

Биномиальное распределение допускает аппроксимацию другими законами распределения:

• нормальным законом

для любого p;

• законом Пуассона П(mp), если p<0.1.

Геометрическое распределение

ДСВ  имеет геометрическое распределение G(p), если:   {1,2,…}, P{ = i} = p(1-p)^i-1 , i  {1,2,…}, где p  (0,1) – параметр распределения.

Характеристики распределения G(p) (x  {1,2,…}):

• функция распределения:

• функция вероятности:

• среднее значение:

• дисперсия:

Содержательная интерпретация

ДСВ  с законом распределения G(p) есть число испытаний Бернулли до первого успеха (включая первый успех), если вероятность успеха в каждом испытании равна р.

Алгоритм моделирования

Алгоритм моделирования ДСВ  с законом распределения G(p) состоит из двух шагов:

1. Моделирование реализации а БСВ.

2. Принятие решения о том, что реализацией  является значение x, определяемое соотношением:

здесь [z] означает округление числа z в большую сторону до ближайшего целого значения.

Коэффициент использования БСВ k = 1.

Отрицательное биномиальное распределение

ДСВ  имеет отрицательное биномиальное распределение (m,p), если:   {0,1,…}, P{ = i} = Параметры распределения: m – натуральное число, p  (0,1).

Характеристики распределения (x  {0,1,…}):

Описываемый тест используется для проверки гипотезы Н₀ о равномерности двухмерного распределения векторов и представляет собой следующее решающее правило:

принимается (11)

где в случае истинной гипотезы H₀ и статистика

(12)

имеет x² – распределение с k – 1 степенями свободы, а порог Δ определяется как квантиль этого распределения: , где ε – заданный уровень значимости.

В пакете СТАТМОД предполагается использование эквивалентной формы правила (11):

принимается

где Р - значение вычисляется по формуле: P=1-F(x²), здесь F(.)- функция распределения статистики (12).