Моделирование случайных величин с заданной гистограммой

Гистограммой называется непараметрическая оценка плотности p (x) НСВ по выборке реализаций данной случайной величины, вычисленная по формуле:

= (48)

где K – число ячеек гистограммы; [z ] - k-я ячейка( - порядковые статистики), с_k значение гистограммы в k-ой ячейке, I_A(x)={0, если x A; 1, если x A}. Значение с_k – это нормированная относительная частота попадания реализации из выборки {x_i} в k-ую ячейку гистограммы:

с_k=

Известно, что оценка (48) в общем случае является смешанной и несостоятельной, однако на практике графическое изображение (48) используется для визуализации распределения выборки.

Пусть по выборке реализаций{x_i} СВ , полученных в результате натурных или физических экспериментов, построена гистограмма(48). Опишем алгоритм моделирования реализаций по заданной функции .

Алгоритм моделирования

Обозначим: p_i =P . Из (48)и условия нормировки следует, что: , , q _{k =1.} Тогда функция распределения, соответствующая плотности вида(48) определяется по формуле:

F(x)=

Алгоритм моделирования основан на методе обратной функции и включает следующие шаги:

1. моделирование реализации а БСВ;

2. принятие решения о том, что реализацией СВ является величина , вычисляемая по формуле:

=F^-1(a)=z_k-1 + ,(49)

если

Обычно полагают: p_k=const=1/K( ) . При этом в выражении (49) имеем: k=[Ka] + 1.

Коэффициент использования БСВ k=1/

Моделирование случайных величин с заданным полигоном частот

Данный метод можно рассматривать как модификацию метода моделирования СВ с заданной гистограммой(см. соответствующий раздел). Гистограмма – разрывная(кусочно-постоянная) функция, в то время как истинная плотность p (x) является непрерывной. Это является причиной смещенности и несостоятельности гистограммы как оценки плотностей. В связи с этим будем в качестве оценки плотности использовать непрерывную кусочно-линейную функцию , получающуюся путем сглаживания гистограммы и называемую полигоном частот. Определим функцию и опишем основанный на ней алгоритм моделирования НСВ.

Пусть гистограмма плотности p (x) по выборке {x_i}( )имеет K ячеек {[z_k-1,z_k]}, ( ), и c_k – значение гистограммы в ячейке(см. раздел «Моделирование СВ с заданной гистограммой»). Полигон частот ,имеет K+1 ячейку {[ ]} с границами:

.

Аналитическое выражение функции ,

=

где полагается с₀=с_k+1=0.

Площадь области S, ограниченной кривой y= и осью абсцисс, равна:

S=

Заметим, что если z_k-z_k-1=const=h, то и S=1, p (x)= .

Функция распределения F(x), соответствующая плотности , имеет вид:

F(x)=

1.3.4.Задания Равномерное распределение

1. Осуществить моделирование n реализаций CB ξ ~ R(a,b) и исследовать точность моделирования. Положить: a=5, b=10,n=100.

Одномерное нормальное распределение

2. Используя случайные выборки реализаций объема n=1000, сравнить по точности и быстродействию методы моделирования CB ξ~N(μσ²) реализованные в ППП СТАТМОД.. Положить: μ=0, σ²=1; 2. μ=1, σ²=0.1

Получить последовательность реализаций CB ξ c «усеченным» нормальным распределением:

Оценить долю пропущенных реализаций CB η из n=1000 смоделированных. Положить: σ²=9, μ=3,6,9

3. С помощью моделирования n = 1000 реализаций CB ξ~N₁(μσ²) оценить вероятности

H{ ξЄ∆_k}, ∆_k=[μ-kξ, μ+kξ], k=1,2,3

Положить σ=1, μ=0

4. Контролируемый признак ξ распределен по закону N₁(μσ²). Множество допустимых значений признака ограничено полем допуска [a,b] (μ=(a+b)/2).Оценить вероятность выхода за поле допуска по n=1000 реализациям CB ξ. Рассмотреть случаи:

   1. Увеличение степени рассеяния.a=57, b=63, σ=1, 2,3

   2. Смещение средних a=57, b=63.σ=1, μ=58,65

Лог-нормальное распределение.

5. Осуществить моделирование n реализаций CB ξ~LN(mσ) Исследовать точность и быстродействие алгоритма моделирования. Положить m=1,.σ=0.6,1,2,n=100

6. Экспоненциальное распределение

7. Осуществить моделирование n=1000 реализаций CB ξ~E(λ) Исследовать точность и быстродействие алгоритма моделирования. Положить λ=0.5,1,1.5

8. С помощью моделирования CB ξ~E(λ), CB η ~γ(1/λ,1) и CB ζ ~ WG(λ,1) установить тождественность этих случайных величин

9. С помощью моделирования CB ξ~E(λ), получить реализации CB η, имеющей распределение Эрланга ν-го порядка γ(1/λ, ν) Положить λ =1, ν = 1,2,3