Глава 7.Статистическое моделирование в финансовом анализе.

В детерминированном финансовом анализе параметры финансовой операции такие как, первоначальная сумма, продолжительность ссуды, ставка процентов, считаются заданными. Теория таких расчетов хорошо развита [ ].

Однако в реальных ситуациях часть из этих параметров, а то и все параметры в целом, могут быть не полностью определены в силу различных причин. Чтобы сделать обоснованные выводы о ходе таких финансовых операций, необходимы дополнительные априорные предположения о поведении таких не вполне определенных параметров. В данном разделе мы будем считать, что не вполне определенные параметры финансовой операции являются случайными величинами с заданными, либо спрогнозированными законами распределения вероятностей. Тогда и результат финансовой операции (наращенная сумма, современная величина) будут также случайными величинами и для их оценки можно успешно применять аппарат статистического моделирования. Исследователя будут интересовать такие числовые характеристики, например, наращенной суммы, как минимальное и максимальное значение, среднее значение, дисперсия и вероятность попадания наращенной суммы в заданный интервал. По результатам статистического моделирования эти числовые характеристики могут быть оценены.

В финансовой математике, в силу ряда причин [ ], наибольшее применение находят два типа распределений случайных величин: дискретное распределение и “трапецеидальное” распределение Tr(a,b;c,d), a<=c<=d<=b. Распределение Tr (a, b; c, d)-это абсолютно-непрерывное распределение с плотностью распределения заданной на интервале [a, b] и принимающей постоянное значение 2/(b+d-a-c) на интервале [c, d], линейно возврастающее на интервале [a, c] и линейно убывающее на интервале [d, b]. Если a = c, d = b, то ‘’трапецеидальное’’ распределение обращается в равномерное распределение на отрезке [a, b]. Если c = d, то "трапецеидальное’’ распределение трансформируется в “треугольное” распределение. Наконец, если c = d = (a+b)/2, то имеем стандартное “треугольное” распределение .

Эти типы распределений, имеющие хорошую экономическую интерпретацию, легко моделируются.

7.1. Моделирование наращенных сумм и современных величин платежа.

Приведем формулы для вычисления наращенных сумм и современных величин платежей для ставок протых, сложных процентов и банковской учетной ставки. Все величины, стоящие в правых частях ниже приведенных формул, являются параметрами финансовой операции. Часть из этих параметров может быть не полностью заданной. В этих случаях не полностью определенные параметры будем рассматривать, как случайные величины, и будем моделировать их числовые значения. После того как все значения неизвестных параметров будут смоделированы, можно по приведенным ниже формулам, вычислить результирующее значение финансовой операции. А по совокупности результирующих значений можно оценить все числовые характеристики финансовой операции, используя методы математической статистики.

Формула наращения по ставке простых процентов, изменяющейся кусочно - линейно от интервала к интервалу, имеет вид:

, (1)

где S - наращенная сумма, P - первоначальная сумма, , - ставка простых процентов, определенная на интервале n_s, n₁+n₂+…+n_k = n. Каждая из величин, стоящих в правой части (1), может быть случайной величиной.

Если уравнение (1) разрешить относительно P, то получим современное значение Р наращенной суммы S:

(2)

Если наращение производится по ставкам сложных процентов, то формула (1) трансформируется в формулу

, (3)

а формула (2) – в формулу :

. (4)

Учет векселя с суммой S, поглощаемого за t дней до его погашения по годовой банковской ставке d, осуществляется по формуле

. (5)

Задание 1.

В начале года на депозит положено 560 тысяч рублей сроком на один год. По условиям финансового соглашения банк имеет право изменить процентную ставку в начале каждого квартала. Первоначальная ставка процентов известна и равна 70 % годовых, ставки процентов ,соответственно, во втором, третьем и четвертом кварталах неизвестны заранее. Есть основания считать, что будет равномерно распределена на интервале [73 %, 78 %] ; будет иметь “трапецеидальное” распределение на интервале [73 %, 78 %] с максимальным значением плотности распределения на интервале [74 %, 76 %], а ставка процентов в четвертом квартале примет значение 79 % с вероятностью 0,4 и 80 % с вероятностью 0,6. причем - независимые случайные величины.

По 10 реализациям ставок процентов оценить числовые характеристики наращенной суммы S: S_min, S_max, E{S}, D{S}, P{ 97600 97900 }.

Решение. Обозначим через = ( ) трехмерный вектор. Пусть в результате моделирования получены 10 реализаций этого вектора: ⁽¹⁾ = (0,723; 0,748; 0,8), ⁽²⁾ = (0,746; 0,733; 0,79). ⁽³⁾ = (0,758; 0,756; 0,8), ⁽⁴⁾ = (0,734; 0.779; 0,8), ⁽⁵⁾ = (0,734; 0,741; 0,79), ⁽⁶⁾ = (0,729; 0,757; 0,8), ⁽⁷⁾ = (0,755; 0,736; 0,8), ⁽⁸⁾ = (0,739; 0,747; 0,8), ⁽⁹⁾ = (0,753; 0,758; 0,79), ⁽¹⁰⁾ = (0,742; 0,762; 0,8).

Используя формулу (1) с ₁ = 0,7; n₁ = n₂ = n₃ = n₄ =0,25, получаем: S⁽¹⁾ = 975,94; S⁽²⁾ = 975,66; S⁽³⁾ = 981,96; S⁽⁴⁾ = 981,82; S⁽⁵⁾ = 975,1; S⁽⁶⁾ = 978,04; S⁽⁷⁾ = 978,74; S⁽⁸⁾ = 978,04; S⁽⁹⁾ = 980,14; S⁽¹⁰⁾ = 980,56.

По выборочным значениям S^(I), = , оценим следующие числовые характеристики S:

S_min = 975,1 тыс.; S_max = 980,56тыс.; E{S} = =978,6 тыс.; D{S} = 6,276 тыс.; P{97600 97900} = 0,5.

Задание2.

По 1000 реализаций S вычисленных по формуле (1), оценить числовые характеристики S: S_min, S_max, E{S}, D{S}, P{ },для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (1):

1. = 4, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 0,25 года, P = 1230, S₁ = 1335, S₂ = 1340; , , , – независимые случайные величины, ₁ R (8,2 %; 9 %), ₂ R (8,4 %; 9,1 %),

3	8,6 %	8,7 %	8,8 %	9,2 %
P	0,1	0,3	0,5	0,1

4	8,7 %	8,9 %	9,3 %
P	0,1	0,6	0,3

2) = 3,P = 15800; n = 1 год, S₁ = 16800,S₂ = 17000, n_1, n₂ -независимые дискретные случайные величины:

n1, лет	1/12	1/4
P	0,7	0,3

n2, лет	1/4	1/3	1/2
P	0,5	0,4	0,1

Если n₁ = 1/12, то ₁ R (3 %; 4,2 %), если n₁ = 1/4, то ₁ R (5 %; 6,2 %), если n₂ = 1/4, то ₂ R (5 %; 6,2 %); n₂=1/3, то ₂ R (6 %; 7 %);

если n₂ = 1/2, то ₂ R (6,5 %; 7,8 %). Если n₃ 0,5, то ₃ R (5 %; 7,8 %); если n₃ > 0,5, то ₃ R (6 %; 8 %).

Задание3.

По 1000 реализаций S вычисленных по формуле (3), оценить числовые характеристики S: S_min, S_max, E{S}, D{S}, P{ }, для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (3):

1. = 2, n₁ = n₂ = 2 года, P = 10000, S₁ = 13900,S₂ = 14100; ,– независимые случайные величины, ₁ R(9 %; 10,2 %), ₂ Tr (8 %,12 %; 9 %,10 %);

2) = 3, P = 20800; n = 6 лет, n₁ = 2 года, ₁ = 9 %, n₂ - дискретная случайная величина:

n2, годы	1	2
P	0,8	0,2

если n₂ = 1, то

2	9 %	9,1 %	9,3 %
P	0,7	0,2	0,1

если n₂ = 2, то

2	9,2 %	9,3 %	9,4 %
P	0,6	0,3	0,1

если n₃ = 3, то ₃=10 %, если n₃ = 2, то ₃ = 9,2 %.