Задание 4.

По 10000 реализаций P, вычисляемых по формуле (2), оценить числовые характеристики современной величины P наращенной суммы S: P_min, P_max, E{P}, D{P}, P{ }, для следующих значений параметров, входящих в правую часть формулы (2):

1) = 4, n₁ = n₂ = n₃ = n₄ = 0,25 года, ставки процентов, измеренные в долях, измеряются в начале каждого квартала по цепной зависимости Маркова с трендом: i_k = f(k)+ , k = 1, 2, 3, 4, где f(k) = 0,05 + 0,001(k - 1) - тренд, характеризующий общую тенденцию изменения ставок процентов, -маржа, измеряющаяся по цепной зависимости Маркова, с двумя состояниями. В первом состоянии принимает значение 0,005, во втором - значение 0,01. Вектор вероятностей начальных состояний , матрица одношаговых переходов имеет следующие компоненты: p₁₁ = 0,7; p₁₂ = 0,3; p₂₁ = 0,2; p₂₂ = 0,8. Наращенная сумма S = 10000, P₁ = 9600, P₂ = 9700;

2. Оцените числовые характеристики начальной суммы P, вычисляемой по формуле (4) с теми же значениями параметров, что и в пункте 1).

Задание 5.

Вексель на сумму S = 245000 может быть учтен в банке за 120 дней до его погашения с вероятностью 0,6, но тогда банковская учетная ставка d будет описываться дискретной случайной величиной

d	6 %	6,2 %	6,4 %
P	0,7	0,2	0,1

за 80 дней до его погашения с вероятностью 0,2 и в этом случае

d	6,5 %		6,8 %	7 %
P		0,6	0,2		0,2

за 40 дней до его погашения с вероятностью 0,2 и в этом случае d R (7,5 %; 9 %).

. По 1000 реализаций P,вычисленных по формуле (3), оценить числовые характеристики P: P_min, P_max, E{P}, D{P}, P{200000 220000}.

7.2. Моделирование величины реальной наращенной суммы платежей с учетом инфляции.

Реальная наращенная сумма ссуды или депозита с учетом инфляции определяется по формуле:

(1)

и определяет покупательскую способность наращенной суммы S, измеренную по номиналу (смотри формулы (1), (3) предыдущего пункта 7.1, где j_p – индекс цен. Так как инфляция является цепным процессом, т.е. цены в периоде повышаются на h_k процентов относительно уровня, сложившегося в периоде -1, то индекс за m таких периодов равен произведению цепных индексов цен

, (2)

где типы инфляции измеряются в процентах. В формуле (1) наращенная сумма S и индекс цен h_k должны вычисляться за один и тот же промежуток времени.

Если речь идет об оценке в начальный момент реальной покупательской способности наращенной суммы депозита P размещенного в банке на n лет, и срок n содержит в себе m месяцев, то месячные темпы инфляции h_k, = заранее неизвестны. В этом случае непосредственно нельзя воспользоваться формулой (1) . В таких случаях для оценки будущего значения реальной наращенной суммы C моделируют значения последующих месячных темпов инфляции на основе той или иной модели изменения этих темпов. В этом разделе мы будем предполагать, что темпы инфляции в будущие месяцы являются случайными величинами с заданными или спрогнозированными законами распределения вероятностей.

Задание 1

Пусть условия депозита такие же как в задании 1 предыдущего пункта 7.1. Дополнительно будем предполагать, что поквартальные темпы инфляции h₁, h₂, h₃ и h₄ являются независимыми случайными величинами с прогнозируемыми законами распределения вероятностей: h_I , = 1, 2, 3; h₄ . Ставки процентов , ,и темпы инфляции

h₁, h₂, h₃ и h₄ – независимые в совокупности случайные величины.

По 10 реализациям случайных параметров данной финансовой операции оцените числовые характеристики C: C_min, C_max, E{C}, D{C}, P{ 840000 850000 }.

Решение. Для простоты рассуждений предположим, что результаты моделирования значений наращенной суммы S^(I),

= такие же как и в решении задания 1 пункта 7.1. Далее, обозначим через h=( h₁, h₂, h_{3 ,}h₄) четырехмерный вектор, результаты моделирования 10 реализаций этого вектора, допустим, следующие:

h⁽³⁾ = (3,96; 4,02; 4,33; 3,52), h⁽⁴⁾ = (4,02; 3,33; 4,17; 3,03), h⁽⁵⁾ = (3,49; 3,24; 4,17; 3,84), h^{(6 )} = (3,31; 4,28; 3,40; 2,83), h⁽⁷⁾ = (4,09; 4,31; 3,09; 3,82), h⁽⁸⁾ = (4,23; 3,43; 3,82; 3,73), h⁽⁹⁾ = (3,14; 3,97; 4,03; 3,57), h⁽¹⁰⁾ = (4,39; 4,02; 3,03; 3,06).

Тогда, в соответствии с формулой (2),

j_p⁽¹⁾ = 1,1583027; j_p⁽²⁾ = 1,2020007; j_p⁽³⁾ = 1,1679293; j_p⁽⁴⁾ = 1,1535849; j_p⁽⁵⁾ = 1,1557227; j_p⁽⁶⁾ = 1,1454699; j_p⁽⁷⁾ = 1,1620704; j_p⁽⁸⁾ = 1,1609796; j_p⁽⁹⁾ = 1,1553875; j_p⁽¹⁰⁾ = 1,1530006.

Согласно формуле (1)

C⁽¹⁾ = =842,56; C⁽²⁾ = 811,697; C⁽³⁾ = 840,77; C⁽⁴⁾ = 851,103; C⁽⁵⁾ = 843,715; C⁽⁶⁾ = 853,833; C⁽⁷⁾ = 842,238; C⁽⁹⁾ = 842,427; C⁽¹⁰⁾ = 850,442.

По выборочным значениям , оценим числовые характеристики C:

C_min = 811,697 тыс., C_max = 853,833 тыс., E{ C } = 842,711 тыс., D{ C } = 124,69 тыс., P{840000 850000} = 0,6.

Задание 2.

По 1000 реализациям оценить числовые характеристики наращенной суммы C: C_min, C_max, E{C}, D{C}, P{1200 1250}. Условия для вычисления номинальной наращенной суммы S, без учета инфляции, сформулированы в задании 2, пункт 1), предыдущего раздела 7.1, а распределение вероятностей поквартальных темпов инфляции точно такое же, как и в задании 1 данного раздела.

Задание 3.

По 1000 реализациям оценить числовые характеристики наращенной суммы C: C_min, C_max, E{C}, D{C}, P{13000 13200}. Условия для вычисления номинальной наращенной суммы S, без учета инфляции, сформулированы в задании 3, пункт 1), предыдущего раздела 7.1. Поквартальные темпы инфляции, выраженные в процентах, описываются процессом случайного блуждания с трендом: h_I = 2,6 ,где -случайный процесс с дискретным фазовым пространством состояний; , Если в квартале с номером процесс находится в состоянии ,то в следующем квартале , где -0,1; 0; 0,1} - дискретная случайная величина с распределением вероятностей :