Тема 6. Методи аналізу рядів розподілу План вивчення теми

1. Поняття та основні складові рядів розподілу. Види рядів розподілу, основні методи їх побудови

2. Характеристики центру розподілу і порядкові статистики (середня, мода, медіана, їх взаємозв’язок); їх роль в аналізі закономірностей розподілу

3. Квантилі розподілу - квартилі, квінтилі, децилі

4. Характеристики вимірювання варіації ознак - абсолютні та відносні міри варіації. Варіація альтернативної ознаки.

5. Показники диференціації та концентрації

6. Характеристики форми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу

Навчальні цілі: засвоєння, поглиблення та систематизація знань щодо визначення характеристик центру розподілу, рівня варіації (однорідності сукупності) та форми розподілу

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Для засвоєння теми необхідно систематизувати знання із програмних питань лекції до теми № 6 " Методи аналізу рядів розподілу", зрозуміти і запам’ятати визначення ключових термінів і понять, розібрати і глибоко засвоїти відповідний матеріал. Методики, що розглянуті у цій темі використовуються при розв'язанні в основному завдання № 2 ДКР та стосовно моди та медіани – у завданні № 1. В першу чергу, слід пригадати різновиди рядів розподілу і, відповідно, особливості їх побудови та графічного зображення (питання висвітлені у лекціях і методичних рекомендаціях до тем № 3 та № 6).

При вивченні характеристик центру розподілу мова, в першу чергу, йде про середню, моду та медіану. Останні дві характеристики часто називають ще структурними (або розподільчими) середніми. У прикладі №1 розв'язання типових завдань до даної теми представлено методику розрахунку моди та медіани в інтервальному ряді розподілу та їх визначення графічним способом.

Види та методика визначення середньої величини детально розглянуто у методичних рекомендаціях до теми №5 "Узагальнюючі статистичні показники". Перевага середньої величини як узагальнюючого для сукупності показника є одночасно і її недоліком – у середній знищуються індивідуальні відмінності варіантів. Наприклад, середнє значення між 18 та 22 дорівнює 20, також 20 дорівнює середнє значення між 2 і 38.

Для повнішого розкриття властивостей ряду розподілу визначають моду М_о, медіану М_е, квартилі Q₁, Q₂, Q₃ та децилі – від D₁ до D₉.

Мода (М_о) – значення варіанти, яке найчастіше повторюється в ряду розподілу. У дискретних рядах моду легко відшукати візуально, безпосередньо за найбільшим значенням частоти або частки.

В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, тобто інтервал, частота якого має найбільше значення. Якщо треба більш точно встановити модальний рівень, його обчислюють за формулою:

, (2.15)

де Мо – мода

х _Мо – нижня межа модального інтервалу

h _Mo – ширина модального інтервалу

f _Mo – частота модального інтервалу

f _{Mo – 1} – частота попереднього (перед модального) інтервалу

f _{Mo + 1} – частота наступного (після модального) інтервалу.

Слід зауважити, що ця формула використовується для інтервальних варіаційних рядів з рівними інтервалами.

Значення моди можна також визначити графічним способом за допомогою гістограми (див. рис. 3.12.).

f

50

40 В С

30 //////

А

20 _D

D

10

0

50 100 Мо 150 200 250 Х

Рисунок 2.12. Визначення моди графічним методом

Графічним методом мода визначається так: на гістограмі (рис. 3.12) беремо прямокутник з найбільшою висотою, лівий верхній кут цього прямокутника (точка B) з’єднуємо з лівим верхнім кутом прямокутника, розташованого праворуч (точка D), а верхній правий кут найбільшого прямокутника (точка С) з’єднуємо з правим верхнім кутом прямокутника, розташованого ліворуч (точка А); з перетину прямих АС і BD (точка М) на вісь абсцис опускаємо перпендикуляр, який і визначить значення моди.

Для визначення моди за інтервальним варіаційним рядом з нерівними інтервалами в аналітичному вираженні перегруповують вихідний варіаційний ряд на ряд з рівними інтервалами або замість частот використовують відносні частоти. Для визначення моди графічним способом будують гістограму відносних частот. Основу прямокутників становлять розміри інтервалів, а висоту – відношення відповідної частоти до ширини інтервалу. Для кожного інтервалу визначається відносна частота за формулою:

, (2.16)

де w_i – відносна частота i–го інтервалу;

f_i –частота i–го інтервалу;

h_i –ширина i–го інтервалу.

Принцип визначення моди лишається тим самим, що й для інтервального варіаційного ряду з рівними інтервалами.

Медіана (Ме) – варіанта, що ділить упорядкований варіаційний ряд на дві, рівні за обсягом частини. Наприклад, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме = 30, це означає, що половина робітників мають вік менше 30 років, половина – старші за цей вік.

Визначаючи медіану, використовують кумулятивні частоти S_fiабо частки S_di. У дискретному ряду медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину сукупності, тобто S_fi ≥ 0,5 f_i (для кумулятивної частки S_di ≥ 0,5).

Кумулятивні частоти визначаються додаванням наступного значення частоти до суми значень попередніх частот. При цьому не має значення які інтервали у варіаційному ряді розподілу: рівномірні чи нерівномірні.

В інтервальному ряду за цим принципом визначають медіанний інтервал.

Значення медіани, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:

, (2.17)

де Ме – медіана

х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу

h_Me – ширина медіанного інтервалу

0,5 f _i – половина сукупності

S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу

f _Ме – частота медіанного інтервалу.

Медіану можна визначити й графічним способом, використовуючи для цього кумулятивну гістограму та кумулятивний полігон (кумуляту). Медіана визначається так: на осі ординат відкладають точку, що дорівнює половині суми частот. З цієї точки проводять лінію, паралельну осі абсцис до її перетину з лінією кумулятивного полігону (точка А). З точки А на вісь абсцис опускають перпендикуляр, координата якого і буде медіаною (детальніше в прикладі 2 розв’язання завдань за даною темою).

В аналізі закономірностей розподілу використовуються також інші структурні (або порядкові) характеристики, насамперед квартилі, квінтилі та децилі. Квартилі, квінтилі та децилі визначаються на основі кумулятивних частот (часток) за аналогією з медіаною, яка є другим квартилем або п’ятим децилем.

Квартилі (чверті) – це варіанти, які ділять обсяг сукупності на чотири рівних частини. Існують три квартилі. У загальному вигляді вони визначаються за формулою:

, (2.18)

де Q_і – і–й квартиль;

і – порядковий номер квартиля;

x_{Q і} – нижня межа і–го квартиля;

h _{Q і} – ширина інтервалу, де розташований і–й квартиль;

f_i / 4 – чверть сукупності;

S_{Q і – 1} – сума накопичених частот до інтервалу, де розташований і–й квартиль;

f_{Q і} – частота інтервалу, де розташований і–й квартиль.

Квінтилі (п’ята частина) – це варіанти, які ділять обсяги сукупності на п’ять рівних частин. Існує чотири квінтиля. У загальному вигляді квінтилі визначаються за формулою:

, (2.19)

де Qw₁ – і–й квінтиль;

і – порядковий номер квінтиля;

x_{Qw і} – нижня межа першого квінтиля;

h _{Qw і} – ширина інтервалу, де розташований перший квінтиль;

0,2f_i – одна п’ята сукупності;

S_{Qw і – 1} – сума накопичених частот до інтервалу, де розташований перший квінтиль;

f_{Qw і} – частота інтервалу, де розташований перший квінтиль.

Децилі (десята частина) – це варіанти, які ділять обсяги сукупності на десять рівних частин. Існує дев’ять децилів, що визначаються за формулою, яка в загальному вигляді має таке вираження:

, (2.20)

де і – порядковий номер дециля;

x_{De i} – нижня межа і-го дециля;

h _{De i} – ширина інтервалу, де розташований і-й дециль;

0,1f_i – одна десята сукупності;

S_{De i – 1} – сума накопичених частот до інтервалу, де розташований і-й дециль;

f_{De i} – частота інтервалу, де розташований і-й дециль.

Квартилі, квінтилі та децилі визначаються графічним методом аналогічно визначенню медіани. Дуже часто ці показники використовують у соціальній статистиці. Наприклад, 1) при визначенні розміру середньодушового сукупного доходу, який має певна частина або частка населення; 2) при визначенні чисельності або частки населення, яке має у своєму розпорядженні середньодушовий сукупний дохід, більший або менший від заданого розміру – межі малозабезпеченості чи мінімальної заробітної плати; 3) при вивченні диференціації доходів.