3. Метод аналітичного вирівнювання
а)за лінійною моделлю
Лінійна модель має вигляд:
Параметри
та
згідно з методом найменших квадратів
знаходяться розв’язанням системи
нормальних рівнянь:
,
де n – обсяг сукупності (кількість значень рівнів ряду);
y – фактичні рівні ряду
t – порядковий номер періоду або моменту часу
Розв’язавши цю систему, отримуємо значення параметрів лінійної моделі (без використання спрощеного методу із введенням нумерації періодів часу від умовного нуля):
,
,
де – середній рівень динамічного ряду.
Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:
Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі
№ |
у |
t |
t 2 |
yt |
1 |
12,3 |
1 |
1 |
12,3 |
2 |
12,5 |
2 |
4 |
25,0 |
3 |
12,2 |
3 |
9 |
36,6 |
4 |
12,9 |
4 |
16 |
51,6 |
5 |
13,1 |
5 |
25 |
65,5 |
6 |
12,8 |
6 |
36 |
76,8 |
7 |
13,5 |
7 |
49 |
94,5 |
8 |
13,3 |
8 |
64 |
106,4 |
9 |
13,9 |
9 |
81 |
125,1 |
Разом |
116,5 |
45 |
285 |
593,8 |
Тоді:
а1 = (9 · 593,8 – 116,5 · 45) / (9 · 285 – 45 · 45) = 0,188;
а0 = 116,5 / 9 – 0,188 · (45 / 9) = 12.
Таким чином, лінійна модель має вигляд: уt = 12 + 0,188 t.
Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо значення t = 12, тоді:
У12 = 12 + 0,188 t = 12 + 0,188 · 12 = 14,3.
б) за моделлю квадратичної параболи
Параметри параболи другого порядку:
Y = a + b·t + c·t 2,
обчислюють за допомогою системи нормальних рівнянь:
.
Розрахунок параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Умовні періоди, розташовані ліворуч умовного нуля, набувають від’ємних значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.
Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду
Фактичний період |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Умовний період |
– 4 |
– 3 |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
При цьому t = 0 та t3 = 0; а система рівнянь набуває вигляду:
Тоді:
,
,
.
Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:
Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів параболи
№ |
у |
t |
t 2 |
t 4 |
yt |
y t2 |
1 |
12,3 |
– 4 |
16 |
256 |
– 49,2 |
196,8 |
2 |
12,5 |
– 3 |
9 |
81 |
– 37,5 |
112,5 |
3 |
12,2 |
– 2 |
4 |
16 |
– 24,4 |
48,8 |
4 |
12,9 |
– 1 |
1 |
1 |
– 12,9 |
12,9 |
5 |
13,1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
6 |
12,8 |
1 |
1 |
1 |
12,8 |
12,8 |
7 |
13,5 |
2 |
4 |
16 |
27,0 |
54,0 |
8 |
13,3 |
3 |
9 |
81 |
39,9 |
119,7 |
9 |
13,9 |
4 |
16 |
256 |
55,6 |
222,4 |
Разом |
116,5 |
0 |
60 |
708 |
11,3 |
779,9 |
Використовуючи формули для визначення параметрів параболи та підсумковий рядок таблиці, маємо: b = 11,3 / 60 = 0,188;
с = (9 · 779,9 – 116,5 · 60) / (9 · 708 – 60 · 60) = 0,01;
а = 116,5 / 9 – 0,01 · (60 / 9) = 12,87.
Таким чином, модель квадратичної параболи має вигляд:
у = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t2.
Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо відповідне значення. Проте слід ураховувати, що для визначення параметрів параболи були використані умовні періоди. Отже, й значення t має бути визначено з урахуванням цього моменту, тобто маємо підставляти не t = 12, а значення t = 7 (оскільки значенню фактичного періоду 10 відповідає умовний період 5; 11 – 6; 12 – 7), тоді:
y12 = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t2 = 12,87 + 0,188 · 7 + 0,01 · 49 = 14,676 ≈ 14,7.
Приклад 2
Маємо такі дані про видатки Державного бюджету України на освіту (млн. грн.):
Показник |
Рік |
||||
2010 |
2011 |
2012 |
2013 |
2014 |
|
Видатки на освіту |
15 665 |
16 704 |
17 005 |
18 333 |
19 200 |
Необхідно визначити основну тенденцію динамічного ряду шляхом аналітичного вирівнювання за прямою (методом введення умовного нуля) та екстраполювати суму видатків Державного бюджету України на освіту до 2017 р.
Розв'язання
1. Рівняння прямої має такий вигляд:
ŷt = a + bt,
де ŷt – вирівняне середнє значення результативної ознаки;
a, b – параметри рівняння;
t – факторна ознака.
Для спрощення обчислень складемо розрахункову таблицю, яка має такий вигляд:
Рік |
Видатки на освіту, млн. грн. |
t |
t2 |
yt |
ŷ |
2010 2011 2012 2013 2014 |
15665 16704 17005 18333 19200 |
-2 -1 0 1 2 |
4 1 0 1 4 |
-31330 -16704 0 18333 38400 |
15641,6 16511,5 17381,4 18251,3 19121,2 |
Всього |
86907 |
0 |
10 |
8699 |
86907,0 |
2015 2016 2017 |
прогноз прогноз прогноз |
3 4 5 |
– – – |
19991,1 20861,0 21730,9 |
|
Для знаходження параметрів а і b, складемо і розв'яжемо систему двох рівнянь із двома невідомими:
Σ
y
= n· a + b Σ t;
Σyt = a Σ t + b Σ t2 ,
де п - число рівнів ряду.
За умови, що Σt = 0, способом найменших квадратів знаходимо
Отже, аналітичне рівняння прямої матиме вигляд:
ŷ = 17 381,4 + 869,9 t.
Підставляючи значення t в наведене рівняння, отримуємо вирівняні дані суми видатків Державного бюджету України на освіту (остання графа розрахункової таблиці до прогнозних значень).
2. На основі аналітичного рівняння прямої здійснюємо перспективний прогноз видатків на освіту, за умови, що виявлена тенденція найближчим часом не зміниться (прогнозні значення останньої графи розрахункової таблиці – останні 3 рядки).
Таким чином, якщо виявлена тенденція найближчим часом не зміниться, то видатки на освіту становитимуть у 2017 році 21730,9 млн. грн.