Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів лінійної моделі
і |
х |
у |
ху |
х2 |
1 |
2,0 |
26,4 |
52,80 |
4,00 |
2 |
3,5 |
26,9 |
94,15 |
12,25 |
3 |
4,0 |
27,3 |
109,20 |
16,00 |
4 |
5,2 |
27,7 |
144,04 |
27,04 |
5 |
6,3 |
28,1 |
177,03 |
39,69 |
6 |
7,1 |
28,4 |
201,64 |
50,41 |
7 |
8,4 |
29,1 |
244,44 |
70,56 |
8 |
9,5 |
29,4 |
279,3 |
90,25 |
Разом |
46 |
223,3 |
1302,60 |
310,20 |
Використовуючи дані, наведені у таблиці, знаходимо параметри лінійного рівняння:
=
0,408;
= 223,3 / 8 – 0,408 × 46 / 8 = 25,57.
Таким чином, лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408 х.
Для оцінки щільності та істотності лінійного зв’язку використовується лінійний коефіцієнт кореляції (Пірсона) r:
,
де
– факторна дисперсія;
– загальна
дисперсія.
– середнє значення факторної ознаки;
– середнє значення результативної ознаки;
n – кількість пар ознак.
Для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона складемо допоміжну таблицю.
Коефіцієнт
кореляції Пірсона набуває значень у
межах
,
тому характеризує не лише щільність, а
й напрямок зв’язку. Додатне значення
свідчить про прямий зв’язок, а від’ємне
– про зворотний.
Допоміжна таблиця для обчислення коефіцієнта кореляції Пірсона
і |
х |
у |
ху |
х2 |
у2 |
1 |
2,0 |
26,4 |
52,80 |
4,00 |
696,96 |
2 |
3,5 |
26,9 |
94,15 |
12,25 |
723,61 |
3 |
4,0 |
27,3 |
109,20 |
16,00 |
745,29 |
4 |
5,2 |
27,7 |
144,04 |
27,04 |
767,29 |
5 |
6,3 |
28,1 |
177,03 |
39,69 |
789,61 |
6 |
7,1 |
28,4 |
201,64 |
50,41 |
806,56 |
7 |
8,4 |
29,1 |
244,44 |
70,56 |
846,81 |
8 |
9,5 |
29,4 |
279,30 |
90,25 |
864,36 |
Разом |
46,0 |
223,3 |
1 302,60 |
310,20 |
6 240,49 |
Тоді:
= 310,2 / 8 – (46 / 8) 2 = 5,7125;
= 6 240,49 / 8 – (223,3 / 8) 2 = 0,9536.
=
=
0,997.
Для n= 8, критичне (табличне) значення коефіцієнта кореляції Пірсона rкр = 0,71. Оскільки розраховане значення коефіцієнта кореляції Пірсона більше за його критичне значення, то зв’язок є істотним.
Відповідь: лінія регресії має вигляд: у = 25,57 + 0,408·х; лінійний коефіцієнт кореляції Пірсона r = 0,997 свідчить про щільний прямий зв’язок. Це означає, що на 99,7% значення результативної ознаки y залежать від значень факторної ознаки х, а на 0,3% від усіх інших ознак.
Приклад 2
Дані про споживання м’яса в сім’ях робітників та службовців з різним рівнем середньодушового сукупного доходу наведено у таблиці. Встановити взаємозв’язок та оцінити його істотність і щільність за допомогою методу аналітичного групування.
Рівень середньодушового сукупного доходу |
Кількість сімей |
Споживання м’яса в середньому на члена сімї за рік, кг |
Низький |
6 |
48, 62, 40, 52, 50, 36 |
Середній |
10 |
91, 96, 84, 95, 98, 94, 92, 89, 98, 92 |
Високий |
4 |
100, 112, 108, 110 |
Розв’язання
Розрахуємо середні величини в кожній групі за формулою середньої арифметичної простої:
=
(48 + 62 + 40 + 52 + 50 + 36) / 6 = 48;
=
(91 + 96 + 84 + 95 + 98 + 94 + 92 + 89 + 98 + 92) / 10 = 84,6;
=
(100 + 112 + 108 + 110) / 4 = 107,5.
Загальну середню для всієї сукупності обчислимо за формулою середньої арифметичної зваженої, де в якості окремих ознак беруться середні кожної групи, а частотами є обсяги відповідних груп:
=
(48 × 6 + 84,6 × 10 + 107,5 × 4) / 20 = 78,2 кг
.
Визначаємо
групові дисперсії за формулою
.
Тоді:
=
(48
– 48)2
+
(62 – 48)2
+
(40 – 48)2
+ (52 – 48)2
+ (50 – 48)2
+ (36 – 48)2
/ 6 ≈ 70,67;
=
(91
– 84,6)2
+
(96 – 84,6)2
+
(84 – 84,6)2
+ (95 – 84,6)2
+ (98 – 84,6)2
+
+ (94 – 84,6)2 + (92 – 84,6)2 + (89 – 84,6)2 + (98 – 84,6)2 + (92 – 84,6)2 / 10 = = 85,58;
=
(100
– 107,5)2
+
(112 – 107,5)2
+
(108 – 107,5)2
+(110 – 107,5)2
/ 4= =
20,75.
Середню з групових дисперсій розрахуємо за формулою:
=
(70,67 × 6 + 85,58 × 10 + 20,75 × 4) / 20 = 68,14.
Міжгрупову дисперсію обчислимо за формулою:
(48
– 78,2)2
× 6+ (84,6 – 78,2)2
×10
+ (107,5 – 78,2)2
×
4
/ 20 = 465,79.
Використовуючи
правило складання дисперсій
,
визначимо загальну дисперсію:
= 465,79 + 68,14 = 533,93.
Обчислимо коефіцієнт детермінації (кореляційне відношення):
=
465,79 / 533,93 = 0,872.
Критичне значення коефіцієнта детермінації (кореляційного відношення) для обсягу сукупності 20 одиниць та трьох груп (див. Додаток Г) дорівнює 0,318.
Оскільки розраховане значення коефіцієнта детермінації (кореляційного відношення) більше за його критичне значення, між рівнем середньодушового доходу та споживанням м’яса існує прямий щільний зв’язок.
Висновок: За рік споживання м’яса в середньому на члена сімї по всій сукупності становило 78,2 кг, при цьому міжгрупова дисперсія значно вища, ніж середня з групових дисперсій, а це означає, що на коливання рівня споживання м’яса в середньому на члена сімї має значний вплив рівень середньодушового сукупного доходу (міжгрупова дисперсія, яка характеризує вплив групувальної ознаки, дорівнює 465,79) . Цей вплив значно більший, ніж всіх інших чинників (середня з групових дисперсій, яка характеризує вплив всіх інших чинників, крім групувальної ознаки, дорівнює 68,14).
Такі співвідношення дисперсій зумовлюють те, що коефіцієнт детермінації дорівнюватиме η2=87,2%, тобто можна стверджувати, що на 87,2% коливання рівня споживання м’яса навколо середнього споживання, яке становило 78,2 кг на члена сімї, залежить від рівня середньодушового сукупного доходу, а на (100 – 87,2) = 12,8 % – від усіх інших факторів.