5.1.1. Воздействие шумов на полезный сигнал.

В радиолокационном приемнике шумы n(t) накладываются на сигнал s(t), в результате чего образуется сумма

Такого рода помеха именуется аддитивной. Теория обнаружения наилучшим образом разработана именно для этих помех. Другим видом помех является мультипликативная. При этом случайный процесс описывается функцией (t)s(t), где (t) - случайный множитель, характеризующий флуктуации отраженного сигнала, замирания при распространении радиоволн и т. д.

Пусть сигнал имеет вид импульса синусоидальных колебаний

s(t) = U₀ соs 2f₀t.

Шум на входе приемника может рассматриваться как имеющий гауссовский закон распределения вероятностей и равномерный спектр в столь широкой полосе частот, что ее можно считать практически бесконечной. Такой шум будем впредь без оговорок именовать «белый» (напомним, что белый шум является математической абстракцией, так как имеет бесконечную мощность, он фактически не имеет никакого распределения вероятностей, но после «фильтрации» превращается в процесс с гауссовским распределением). На выходе линейной части приемника (перед амплитудным детектором) из всего спектра шумов вырезается сравнительно узкая полоса fпр вблизи резонансной частоты f₀. При этом шумовые колебания (оставаясь случайными) уже не могут принимать произвольные значения. Они оказываются почти синусоидальными, имеющими среднюю частоту f0 причем как амплитуда, так и фаза коррелированы в течение интервала времени, имеющего порядок 1/fПр. Это объясняется инерционными свойствами узкополосной системы. Шумовые колебания в силу сказанного записываются в виде

n (t) = Uш(t) соs [2f0t +ш (t)],

где Uш(t) и ш(t) - медленно изменяющиеся по сравнению с 2f0t функции времени.

При этом колебание n(t) характеризуется случайным вектором, который можно разложить на фазную и внефазную (квадратурные) составляющие:

n1(t) = Uш₁ соs 2f₀t,

n2(t) = Uш₂ sin 2f₀t,

т. е. имеются два ортогональных случайных вектора

U₁ = U₀+Uш₁; U₂= Uш_2,

образующие результирующий вектор, амплитуда и фаза которого равны

Uр = (U1²+U2²)^1/2 , p=arc tgU1/U2.

5.1.2. Критерии оптимального обнаружения.

При обнаружении возможны два неизвестных и взаимоисключающих условия, которые иногда именуются альтернативными гипотезами: условие Н₁ - сигнал (цель) есть; условие H₀ - сигнала (цели) нет.

Приемник на основе анализа функции х(t) должен вынести решение о наличии или отсутствии сигнала (цели). Решения обозначим: А1 - сигнал (цель) есть; A0 - сигнала (цели) нет.

Одно из решений правильное, а другое - ошибочное, так что возможны четыре варианта совмещения решения и условия:

A1H1 - правильное обнаружение; А0Н1 - пропуск цели; А1Н0 -ложная тревога; А0H0 - правильное необнаружение.

Обычно определение априорных вероятностей наличия n отсутствия целей р (А1) и р (А0), а также вероятностей совмещения (безусловных вероятностей) р (А1Н1), р (A0H1), p (A1H0), р (А0Н0) связано с практическими трудностями и поэтому при проектировании, испытании и эксплуатации РЛС используются условные вероятности. Вероятность события A1 вычисленная при условии, что имело место Н1, именуется вероятностью правильного обнаружения

D=р(А1Н1).

Аналогично вероятность пропуска

D0 = р(A0|H1).

Правильное обнаружение и пропуск образуют полную группу несовместных событий, так что

D+Dо = 1.

Далее имеем вероятность ложной тревоги (ложного обнаружения)

F = р(А1Н0),

и вероятность правильного необнаружения

Fо = р(A0H0),

причем, как и прежде,

F + Fо = 1.

Из сказанного следует, что при обнаружении возможны два вида ошибок: пропуск цели и ложная тревога. Степень нежелательности этих ошибок различна, что надо учитывать при принятии решения. Делается это посредством некоторой величины - стоимости ошибок. Систему обнаружения характеризуют средней стоимостью или средним риском, которая вычисляется по правилу нахождения математического ожидания.

Оптимальной обработкой сигнала (оптимальным, приемником) будем считать такую, которая характеризуется минимумом среднего риска. Данная оценка обработки играет заметную роль в математической статистике и именуется бейесовской оценкой. Она естественна для наблюдателя, который должен принять большое число решений в одинаковых условиях.

Для использования минимума среднего риска в качестве критерия обнаружения («критерий Бейеса») должны быть установлены стоимости ошибок r10 и r01 и известны априорные вероятности р(H1), р(H0). Если, например, принять стоимости ошибок r01 = r10 = 1, т. е. полагать, что пропуск сигнала и ложная тревога одинаково опасны, то средний риск равен

r = р (Н1) D0 + р (H0) F,

т. е. суммарной вероятности ошибки.

Условие минимума этой суммарной вероятности ошибки называется критерием идеального наблюдателя. Он соответствует критерию идеального приемника, введенного В. Л. Котельниковым, и широко используется в задачах радиосвязи, где ложное обнаружение и пропуск одинаково нежелательны.

Значения условных вероятностей правильного обнаружения D и ложной тревоги F задаются для разрешаемого объема пространства. Если в РЛС кругового обзора имеется n разрешаемых объемов за период обзора, то в среднем за это время будет m = Fn «ложных отметок». Такие отметки воспринимаются оператором, следящим за индикатором кругового обзора, как отметки цели, хотя отдельных шумовых выбросов на экране при этом может быть гораздо больше. Поэтому, задаваясь допустимым наличием m ложных отметок за период обзора, имеем F = m/n, например, при m =1 и n = 10⁶ требуемая вероятность ложной тревоги F = 10^-6.

В задачах радиолокации, когда наличие цели (условие H1) встречается сравнительно редко и трудно даже судить о стоимости пропуска цели, более важную роль играют те случаи, когда H1 выбрано неправильно, т. е. возникает ложная тревога. Она особенно опасна, так как может, например, привести к значительному увеличению числа операций в ЭВМ, используемой в АС УВД, а также другим действиям, имеющим высокую стоимость. Поэтому в радиолокации задаются заметно меньшей вероятностью ложной тревоги по сравнению с вероятностью пропуска цели F « 1-D и требуют максимизации вероятности правильного обнаружения D, которая должна быть достаточно близкой к единице (например, по одной из рекомендаций IСАО для РЛС УВД D= 0.9, F = 10^-7. Такой критерий взят из математической статистики, где он предложен в 30-х гг. Нейманом и Пирсоном.