5.1.3. Отношение правдоподобия.

Рассмотрим условия выполнения весового критерия, для чего найдем вероятности правильного обнаружения и ложной тревоги D и F. Воспользуемся теоремой Котельникова. При этом следует сделать предположение об ограниченности спектра принимаемого сигнала х (t) и помехи n (t)в полосе частот 0 f fmах. Тогда функция х (t) однозначно отображается своими дискретными значениями х1, х2 хm, отсчитанными через временные интервалы t = 1/2fmах. Вся совокупность отсчетов называется выборкой. Если функцию х (t) ограничить интервалом времени Т₀, то для ее отображения требуется m = T/t= 2fmах Т₀ отсчетов.

Для принятия решения о наличии или отсутствии цели следует разбить все множество выборок на области Х1 наличия сигнала (решение А1) и Х0 (решение A0) отсутствия сигнала. Условную вероятность правильного обнаружения найдем как вероятность попадания выборки х1, х2,... в область Х1 при условии наличия сигнала (плотность распределения сn), а условную вероятность ложной тревоги - как вероятность попадания этой выборки в область Х1 при условии отсутствия сигнала (плотность распределения п).

Интегрирование производится в области Х1 по всем переменным. Граница этой области выбирается на основании весового критерия обнаружения.

Для значений х1, ,x2 хm, для которых отношение правдоподобия l (х1 х2, ..., хm) > l₀, все подынтегральное выражение положительно. Значения же x1., х2, ..., хm, для которых l< lо, уменьшают весь интеграл. Поэтому максимизация разности (D - l₀ F) требует так выбирать границы области Х чтобы выполнялось неравенство l> l0. Отсюда вытекает правило принятия решения:

решение А1 (сигнал есть), если l (х1, х2, ..., хm) > l_0?

решение А0 (сигнала нет), если l (х1, х2, ..., хm)  l_0/

Весовой множитель l0, не зависящий от принимаемого сигнала, можно рассматривать как некоторый порог. Для принятия решения о наличии или отсутствии сигнала надо вычислить отношение правдоподобия l [х(t)] принятого сигнала х (t) и сравнить его с порогом l₀.

5.1.4. Отношение правдоподобия для сигнала с полностью известными параметрами.

Такие параметры как амплитуда, начальная фаза, запаздывание, доплеровский сдвиг частоты и другие, в общем случае изменяются от сигнала к сигналу по случайному закону. Чем больше случайных параметров, тем сложнее оптимальный приемник. Рассмотрим случай, когда все параметры сигнала известны, но сам факт наличия сигнала является случайным событием. Эта ситуация не реальна, но позволяет выяснить потенциальные возможности обнаружения.

В качестве помехи n(t) примем стационарный случайный процесс с гауссовским законом распределения и нулевым средним значением. Для определения совместных многомерных функций распределения, требуемых при вычислении отношения правдоподобия, необходимо знать статистическую связь процессов в точках отсчетов (разделенных интервалами kt). Статистическая связь характеризуется корреляционной функцией

,

где N (f) - энергетический спектр (спектральная плотность) помехи.

Для = kt = k / 2fmах (где k = 1,2,...) автокорреляционная функция R(kt) = 0. При гауссовским законе распределения отсчетов х1,х2,..., хm, разделенных интервалом kt (по теореме Котельникова), отсутствие корреляции означает их взаимную статистическую независимость. Поэтому совместная многомерная функция распределения равна произведению функций распределения каждой из этих величин.

Перейдем от дискретных значений к функциям х (t) и s (t). Для этого примем fmах  и соответственно t = 1/2fmax 0, получим

,

где интеграл , является функцией взаимной корреляции принимаемого сигнала х(t) и ожидаемого полезного сигнала s (t) (точное частное значение функции взаимной корреляции при временном сдвиге = 0).

Для принятия решения, как было показано выше, надо сравнить отношение правдоподобия l с порогом 10. Решение о наличии сигнала принимается при l> 10. Условие l10 равносильно условию ln 1>lnl0 т. е.

.

Итак, окончательно:

решение А1 (сигнал есть), если z > z₀;

решение A0 (сигнала нет), если z < z₀, где порог

.

Оптимальный приемник должен состоять из коррелятора (взаимно-корреляционного устройства), вычисляющего интеграл z, и порогового устройства (ограничитель по минимуму), в котором z сравнивается с порогом z₀ (рис. 5.1, а). Коррелятор состоит из генератора опорного сигнала s(t), который воспроизводит копию полезного сигнала, перемножителя, интегратора. Сигнал о наличии цели с выхода порогового устройства (ПУ) поступает к потребителю радиолокационной информации, например в ЭВМ. В случае визуальной индикация пороговым устройством может быть сама ЭЛТ, воспроизводящая только те сигналы, которые превышают напряжение отсечки.

Выше запаздывание отраженного сигнала не учитывалось (он располагался в пределах своей длительности в интервале 0  t  Т₀). При наличии запаздывания интегрирование должно быть произведено в пределах

Рис. 5.1, Структурные схемы оптимального корреляционного приемника для точно известного сигнала (а) и для сигнала с неизвестным временем запаздывания (б)

от t3 до t3 + T₀, а генератор сигнала должен включаться в момент t=t3.

Следует отметить, что взаимно-корреляционное устройство является составной частью устройства для оптимального обнаружения и в том случае, когда ряд параметров полезного сигнала является случайным, а также при измерении некоторых параметров сигнала для определения координат цели. Пусть, например, запаздывание отраженного сигнала, как это всегда имеет место, неизвестно. Тогда оптимальный приемник должен состоять из множества каналов (рис. 5.1, б), каждый из которых соответствует определенному запаздыванию (дальности), т. е. генераторы опорного сигнала вырабатывают функции s (t-t3k), рассчитанные на все возможные значения времени запаздывания. На выходе каналов образуются значения t3k, после чего производится сравнение с порогом. Однако, как будет видно из дальнейшего, такая многоканальность не всегда обязательна.