6.6.2. Общие сведения о z-преобразовании.

Дискретизация сигнала, которая осуществляется на входе ЦФ, описывается с помощью решетчатых функций х (к) = х (кТ), где к = 0, ±1, ±2, При анализе решетчатых функций вместо аппаратуры дифференциального и интегрального исчисления используется их дискретный аналог- метод конечных разностей и сумм. В общем случае линейного ЦФ с постоянными параметрами входной и выходной сигналы связаны разностным уравнением

y (k) + b1y(k-1) + b1y(k-1) + ... + bnу (k - n) -= а_ох (k) + а1х (k-1) + ... + аmх (b -m),

порядок которого равен наибольшему вычитаемому аргументу у искомой функции У.

Реакция ЦФ у (k) в момент kТ определяется значением входного сигнала в этот момент, т. е х(k), а также линейной комбинацией предшествующих значений входного x (k – t) и выходного у (k - t) сигналов. Обратная связь с задержанными входными сигналами характерна для так называемых рекурсивных фильтров(рис. 6.30). У нерекурсивных фильтров выходная величина зависит только от текущего значения и конечного числа предшествующих значений входного сигнала:

Для определения частотной характеристики и реакции системы

целесообразно воспользоваться дискретным преобразованием Лапласа в виде Z-преобразования:

Рис. 6.30. Преобразование р-плоскости в z-плоскость

где z = е^pT, р = +j, e^-pT = z^-1 соответствует задержке на интервал дискретизации в плоскости комплексного переменного р, а z-1 означает такую же задержку в плоскости комплексного переменного z. Так как

z = х + jу = е^T cos T + j е^T sin T,

то х = е^T cos T; y=е^T sin T,

откуда

r = |z| = (x2+y2) = е^T; =arg z = T + 2k, где k - целое число.

Отсюда следует, что левая часть р-плоскости в виде полосы шириной 2/Т, параллельной вещественной оси , превращается в круг единичного радиуса z-плоскости. Все параллельные полосы той же ширины соответствуют этому же кругу (рис. 6.30, а, б). Правая же часть р-плоскости соответствует всей z-плоскости вне единичного круга (рис. 6.30, в, г).

Связь между решетчатыми функциями и их z-преобразованием дается с помощью специальных таблиц. Так как реакцией на единичную импульсную решетчатую функцию является решетчатая импульсная характеристика g(k), то Z-преобразование импульсной характеристики является передаточной функцией системы

g(k)=ak.

6.6.3. Подавители системы сдц как цифровые фильтры.

Простейшим подавителем системы СДЦ, представляющим собой РГФ, является система ЧПК. Ее можно представить, как показано на рис. 6.31, а. Разностное уравнение для этой цепи

у(k) = х(k)-х(k-1),

откуда передаточная функция

К (z) = (z - 1)/z,

что соответствует нерекурсивному фильтру 1-го порядка.

Рис. 6.31. Система ЧПК: а - структурная схема, б - положение нуля и полюса, в - импульсная характеристика

Это иллюстрируется на z-плоскости (рис. 6.31, б) нулем в точке z=1 (полюс расположен в точке z = 0). В данном случае оператор z-1 характеризует задержку не на интервал дискретизации Т, а на период повторения Т.

Рис. 6.31. Двукратная система ЧПК: а - структурная схема, б - импульсная характеристика

В данном случае а₀ = 1, а1 = -2, а2 = 1, т. е. импульсная характеристика системы имеет вид, как на рис. 6.31, что соответствует нерекурсивному фильтру 2-го порядка. Его полюсно-нулевая диаграмма отличается от изображенной на рис. 6.30, б лишь двойным нулем в точке z=1. Соответственно повышается прямоугольность полос («зубьев»), режекции. Дальнейшее повышение прямоугольности полос режекции достигается в нерекурсивном фильтре 2-го порядка разносом нулей относительно точки z = 1 на z-плоскости (рис. 6.32, а).

Рис. 6.32. Режекторный гребенчатый фильтр в виде нерекурсивного фильтра 2-го порядка: а -- положение нулей к полюса, б - структурная схема, в - АЧХ

Рассмотрим теперь построение РГФ в виде рекурсивных фильтров. В рекурсивном фильтре 1-го порядка использование кроме нуля в точке z=1 еще и полюса (рис. 6.32, а) позволяет повысить ширину и прямоугольность зоны режекции.

Рис. 6.32. Режекторный гребенчатый фильтр в виде рекурсивного фильтра 1-го порядка: а - положение полюса и нуля, б - структурная схема, в – АЧХ

Как видно, для получения данной импульсной характе­ристики требуется лишь один элемент памяти z-1. Это достигается за счет циркуляции импульса по цепи обратной связи. В случае нерекурсивного фильтра, это реализуется

Рис. 6.33. РГФ в виде рекурсивного фильтра 2-го порядка: а - структурная схема, б - положение нулей и полюсов, в – АЧХ