1.4. Частотные спектры импульсных сигналов

Частотным спектром импульсного сигнала называется совокупность гармонических функций времени (напряжений или токов), сумма которых дает исходный сигнал.

Отдельные гармонические составляющие спектра называются гармониками. Нахождение частотного спектра заключается в определении амплитуд, частот и фаз его гармоник.

Спектральное представление импульсного сигнала лежит в основе гармонического анализа. Суть этого метода состоит в том, что рассмотрение переходных процессов, возникающих при воздействии импульсного сигнала на различные электрические цепи и устройства, после нахождения частотного спектра этих импульсов сводится к анализу квазистационарных эффектов, вызываемых отдельными гармониками спектра.

Допустим, имеется периодическая последовательность импульсов, амплитуда которых принята за единицу:

Y(t)вт=А f(t  n Tп),

где f(t) –функция, определяющая форму и длительность видеоимпульсов, Тп- период повторения видеоимпульсов, n- любое целое число.

Следует отметить, что периодическая функция Y(t)вт является математической абстракцией в том смысле, что как и всякий реальный повторяющийся процесс, импульсный сигнал имеет начало и конец, т.е. его периодичность не существует вечно (для любых n).

Периодический сигнал тем сильнее приближается к реальному, чем больше периодов он существует. Таким образом, функцию Y(t)вт нужно рассматривать как предел, к которому стремится реальный сигнал при . Частотный спектр этой функции определяется тригонометрическим рядом Фурье. Ряд Фурье периодической функции сходится, если он удовлетворяет условиям Дирихле:

• функция ограничена,

• кусочно-непрерывна,

• имеет за период конечное число экстремальных значений.

Очевидно, что эти условия для импульсных сигналов всегда выполняются.

Тригонометрический ряд Фурье имеет вид:

,

где n=2f = 2/Tn – круговая частота повторения импульсов, к- номер гармоники, - среднее значение функции за период. Коэффициенты а_к и b_к являются амплитудами гармоник и соответственно равны:

,

.

Возможна и другая запись ряда Фурье:

,

где Ск и начальная фаза к К-той гармоники спектра равны:

, .

Частота каждой гармоники спектра определяется ее номером К и равна к = n n.

Таким образом, частотный спектр периодической последовательности видеоимпульсов состоит из бесконечного числа гармоник, частоты которых кратны частоте повторения n. Следовательно, спектр периодического сигнала является линейчатым (дискретным).

Наиболее компактна комплексная форма записи ряда Фурье:

,

где, есть комплексная амплитуда К –ой гармоники.

Модуль комплексной амплитуды зависит от частоты повторения n. Для исключения этого разделим Ск на величину n/, получим формулу спектральной функции импульсного сигнала:

.

Вместо вычисления значения Ск в дискретных точках к = кп по оси частот удобно откладывать непрерывную огибающую спектральной функции в зависимости от частоты .

Комплексную функцию S() следует записать в виде:

S() =А() – jВ() = S() e -j(), где А() –действительная, jВ()- мнимая часть спектральной функции импульсного сигнала.

Модуль спектральной функции характеризует соотношение гармоник спектра (амплитудный спектр), а - аргумент спектральной функции, характеризующий фазовые соотношения между гармониками спектр (фазовый спектр).

Примерный вид амплитудного и фазового спектра периодической последовательности видеоимпульсов приведен на рис. 1.6. Следует подчеркнуть, что здесь непрерывные функции S() и () (пунктирные кривые) являются лишь огибающими дискретных амплитудного и фазового спектров. Значения Sk и к отдельных гармоник определяются ординатами, проведенными в точках к п до пересечения с этими огибающими, причем:

Ск = Sk п /.

Вид спектральной функции S() определяется только формой импульса f(t) и его длительности  и не зависит от частоты повторения . Следовательно, при изменении частоты повторения меняется лишь набивка спектра, т.е. частотные интервалы между соседними гармониками, огибающая спектра (как амплитудного, так и фазового) остается неизменной.

Рис. 1.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры периодической последовательности видеоимпульсов.

При увеличении частоты повторения п (уменьшении периода повторения Тп) интервалы между гармониками уменьшаются, т.е. спектр становится все более прозрачным, а амплитуды гармоник уменьшается.

Наоборот, при уменьшении п (увеличении периода повторения) интервалы между гармониками уменьшаются, т.е. спектр становится все более плотным, а амплитуда гармоник возрастают.

В пределах при п0 (Тп) мы переходим от периодической последовательности к одиночному видеоимпульсу, т.е. от периодической функции времени к непериодической.

При этом интервалы между соседними гармониками становятся бесконечно малыми 0, т.е. дискретный спектр превращается в сплошной. Соответственно малыми становятся амплитуды всех гармоник:

d c ()= d()/.

Таким образом, одиночный импульс представляется суммой бесконечно большого числа бесконечно малых по амплитуде и бесконечно близких по частоте гармонических составляющих – синусоидальных колебаний.

В отличие от спектра периодической последовательности импульсов, в спектре одиночного импульса содержатся все частоты. Однако спектральная плотность одиночного импульса, являющегося непрерывной функцией частоты, и огибающая спектральной функции дискретного спектра импульсной последовательности определяются одинаково и зависят лишь от формы и длительности импульсов.

Поэтому при нахождении спектров периодических сигналов удобно определять огибающую их спектральной плотности, как S() одиночного импульса. К тому же при решении большинства практических задач необходимо знать только огибающую спектра, а не внутреннюю структуру. В случае же необходимости действительное заполнение спектра может быть легко получена по известной частоте повторения импульсов.

Рис. 1.7. Спектр прямоугольного видеоимпульса (а) и его изменения при  = 0 (б) и  = (в).

Следовательно, чем больше длительность импульса, тем уже его амплитудный спектр, и наоборот, чем короче импульс, тем равномернее, т. е. тем шире частотный спектр.

Если длительность импульса настолько мала, то:

где v - площадь импульса.

Таким образом, спектр импульса весьма малой длительности равномерен во всей области частот.

Отсюда следует, что для импульса конечной длительности и любой формы огибающая спектра будет практически постоянна в области тех значений частот, для которых 1, т. е.  = 1/. При уменьшении  эта область охватывает все более высокие частоты, т. е. спектр становится все более равномерным (рис.1.7).

В качестве примера приведен спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса единичной амплитуды. Для периодической последовательности импульсов прямоугольной формы огибающая спектра определяется выражением:

,

Рис. 1.8. Спектр периодической nocлeдовательности прямоугольных видеоимпульсов при Tt=2,5 (а) и Tt = (б)

но в спектре содержатся лишь гармоники с частотами, кратными частоте повторения Ft (рис. 1.8,а). Изменение частоты повторения при  = const, как было показано, приводит лишь к изменению частотных интервалов между соседними гармониками при постоянстве огибающей спектра.

Рис. 1.8. Спектр периодической nocлeдовательности прямоугольных видеоимпульсов при Tt=2,5 (а) и Tt = (б)

При увеличении Ft эти интервалы увеличиваются. Предельный случай получается при Ft=1/, т. е. когда Ft = т₀, Тп = 0, и импульсы сливаются в постоянное напряжение. При этом частоты всех гармоник совмещаются с точками , где огибающая спектра обращается в нуль, и в спектре остается лишь постоянная составляющая S(0) (рис. 1.8, б).

При уменьшении Ft интервалы между гармониками уменьшаются, т. е. спектр сгущается. В пределе при Ft 0 (Tt) приходим к сплошному спектру одиночного импульса (рис. 1.7, а).

Для импульсов любой другой (непрямоугольной) формы получаются другие выражения для комплексной спектральной плотности, но общие закономерности зависимости спектра от длительности и частоты повторения импульсов остаются такими же.

Как было показано выше, частотные спектры импульсов охватывают всю область частот от нуля до бесконечности. Поэтому понятие ширины спектра условно и обычно основывается на энергетических представлениях.

Закон распределения энергии в спектре одиночного видеоимпульса может быть получен на основании выражения для энергии импульса как функции времени.

Из полученного соотношения (теорема Релея) следует, что закон распределения энергии в спектре в функции частоты определяется квадратом модуля спектральной плотности. Поэтому функция [S(f)]² называется энергетическим спектром импульса.

Энергетический спектр импульса находится из его амплитудного спектра путем возведения в квадрат всех его ординат. Очевидно, что площадь, ограниченная графиком функции [S(f)]² и осью абсцисс, пропорциональна полной энергии импульса W. Следовательно, в низкочастотной области спектра, ограниченной некоторой высшей частотой fa, будет содержаться часть энергии видеоимпульса, равная:

.

На этом основании активной энергетической шириной спектра импульса fa (областью существенных амплитуд) называют полосу частот, в которой сосредоточена подавляющая (наперед условленная) часть полной энергии импульса i W, где  < 1, Обычно принимают  = 0,9, т. е, определяют активную ширину спектра как полосу частот, в которой сосредоточено 90% энергии импульса. Значение fa может быть, определено из соотношения

,

где fa = fa высшая частота области существенных амплитуд

Активная ширина спектра всегда обратно пропорциональна длительности импульса:

,

что объясняется рассмотренной выше зависимостью спектральной плотности от t.

Максимальную ширину спектра имеет прямоугольный импульс (b = 0,73); минимальную – импульс колокольной формы (b = 0,22), который обладает наивысшей сосредоточенностью энергии в области нижних частот. Поэтому для передачи колокольных и импульсов требуются наиболее узкополосные системы.

Выше рассматривались спектры видеоимпульсов У(t)в. Но при анализе процессов в высокочастотных цепях РЛС необходимо знать также частотные спектры радиоимпульсов.

Поскольку радиоимпульс можно рассматривать как результат балансной амплитудной модуляции видеоимпульсом колебаний несущей частоты 0, спектры радиоимпульсов полностью определяются спектрами соответствующих видеоимпульсов и находятся с ними в простой связи.

,

,

где есть четная, а - нечетная функции аргумента  - ₀.

Таким образом, амплитудный и фазовый спектры радиоимпульса получаются путем смещения спектра модулирующего видеоимпульса по оси частот вправо на величину несущей частоты _0. При этом амплитудный спектр симметрично продолжается влево относительно вертикальной прямой, проходящей через точку ₀, и все его ординаты должны быть уменьшены в 2 раза, а фазовый спектр продолжается симметрично относительно точки ₀.

Следовательно, каждой гармонике спектра модулирующего видеоимпульса с частотой  соответствует пара «боковых» гармоник в спектре радиоимпульса ₀ ± , симметрично расположенных относительно несущей частоты.

Поэтому спектр радиоимпульса в два раза шире спектра соответствующего видеоимпульса (при определении ширины спектров на одном и том же уровне). Так как место постоянной составляющей S(0) в спектре радиоимпульса занимает гармоника несущей частоты , нормированный спектр радиоимпульса есть отношение . Постоянная составляющая же спектра радиоимпульса практически равна нулю.

В соответствии с этим на рис. 1.9,а показан сплошной амплитудный

Рис.1.9. Спектр одиночного радиоимпульса (а) и периодической последовательности радиоимпульсов (б).

спектр одиночного прямоугольного радиоимпульса, полученный из спектра его огибающей прямоугольного видеоимпульса (рис. 1.9,а).

Линейчатый спектр периодической последовательности радиоимпульсов (рис. 1.9, б) получается аналогичным образом из спектра периодической последовательности соответствующих видеоимпульсов (рис. 1.8,а). Он вписывается в график спектра одиночного радиоимпульса и содержит гармоники с частотами с частотами f₀ ± kFt.

Сравнение частотных спектров видео- и радиоимпульсов позволяет, в частности, пояснить. Невозможность непосредственного излучения и приема видеоимпульсов.

Действительно, для создания эффективного поля излучения на данной частоте необходимо, чтобы длина волны питающего антенну гармонического колебания была бы соизмерима с ее геометрическими размерами. В спектре же видеоимпульса всегда содержатся низкочастотные составляющие, примыкающие к точке  = 0, которые не могут быть физически излучены с помощью антенны приемлемых размеров; тем более не может быть обеспечено направленное излучение и прием, а также отражение от объекта этих низкочастотных составляющих.