5.2. Согласованный фильтр (общие свойства)

5.2.1. Импульсная и частотная характеристики.

При технической реализация оптимального приемника может быть применен не только коррелятор (см. рис. 5.1). Другой способ вычисления взаимно-корреляционной функции z основан на использовании согласованного фильтра (СФ). В качестве СФ примем такой, который обеспечивает равенство в определенный момент времени с точностью до постоянного множителя выходной реакции этого фильтра и функции взаимной корреляции между принимаемым сигналом и точно известным сигналом [интеграл z]. Реакция линейного фильтра в момент t равна

,

где g(t) - импульсная характеристика цепи, а сам интеграл называется сверткой функций х(t) и g(t).

Потребуем, чтобы функция у(t) была равна интегралу z с точностью до постоянного множителя, который будем обозначать k₀ в момент окончания полезного сигнала t = T0, тогда при замене  на t получим

.

Для выполнения равенства

у(Т₀)=kz,

требуется, чтобы g(T0-t)=k0s(t).

Что касается пределов интегрирования, то нижний делается равным 0, так как сигнал s (t) по предположению начинается в точке t = 0. Кроме того необходимо, чтобы g(t)=k0s(Т0-t).

Таким образом, функция взаимной корреляции в момент окончания полезного сигнала t = T₀ образуется на выходе такого линейного фильтра, импульсная характеристика которого является (с точностью до постоянного множителя) зеркальным отображением полезного сигнала.

Рис. 5.4. Импульсная характеристика СФ

Функция g(t)= s(Т₀-t) для заданного сигнала s(t) показана на рис. 5.4. причем можно использовать функцию g(t)=k₀s(t₀-t ) у которой t₀ T₀,

Однако выбор t₀  Т₀ недопустим. Действительно, импульсная характеристика линейного фильтра является реакцией на воздействие дельта-функции б (t) (действующей в точке t = 0), а реакция (отклик) не может возникнуть на выходе раньше начала сигнала. Это равносильно условию физической осуществимости фильтра (кроме того, требуется, чтобы g(t) 0 при t ). Так как g(t) = 0 при t < 0, то g (t - ) = 0 при  >t. Поэтому интеграл можно представить в виде

.

Структурная схема оптимального приемника при использовании СФ сводится к рис. 5.5. Несмотря на выполнение одинаковой операции интегрирования, между коррелятором и СФ имеется различие. Оно заключается в том, что первый начинает работу в момент t= 0 и заканчивает ее в момент t = T₀, давая на выходе значение z. Для возобновления его действия необходимо установить коррелятор в начальное состояние. Таким образом, коррелятор как система с переменными параметрами не инвариантен относительно задержки сигнала. СФ как система с постоянными параметрами инвариантен относительно задержки сигнала. Если сигнал на входе задерживается на время t3, то выходная реакция просто сдвигается на t3.

Из сказанного видно, что схема рис. 5.5 является схемой оптимального приемника и в том случае, когда время запаздывания сигнала неизвестно. Поэтому в ряде случаев (за исключением сложных сигналов и длинных импульсных последовательностей) СФ предпочтительнее, чем коррелятор.

Рис. 5.5. Структурная схема оптимального приемника с СФ

Заметим еще, что так как изменение постоянного множителя не меняет структуру оптимального приемника, то описанные приемники остаются оптимальными и для случайного изменения амплитуды сигнала.

Перейдем теперь к частотной характеристике СФ. Воспользуемся связью между частотной и импульсной характеристиками линейной цепи

Частотная характеристика СФ является комплексно-сопряженной функцией спектра полезного сигнала. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) СФ

Ксог(f)=k₀S(f),

пропорциональна амплитудно-частотному спектру полезного (ожидаемого) сигнала, а его фазочастогная характеристика складывается из аргумента

сог(f)= (f) -2ft_0,

спектра ожидаемого сигнала, взятого с обратным знаком, и аргумента задержки -2ft₀. В заключение определим реакцию СФ при воздействии полезного сигнала х (t) = s (t) . Она равна

sсог(t)=k₀Rc(t₀-t).

где - автокорреляционная функция сигнала s(t).

Следовательно, по отношению к полезному сигналу СФ является автокорреляционным устройством. Так как максимальное значение автокорреляционной функции равно Rc(0), то максимальное значение напряжения сигнала на выходе СФ будет при t =t₀

Sсог max=k₀Ec,

где Ес - полная энергия входного сигнала.