2.2.2. Определение скоростей и ускорений аналитическим методом

Введём в рассмотрение передаточные функции механизма.

Функцией положения механизма называют зависимость координаты выходного звена от обобщённых координат механизма. Для определённости примем, что звено i совершает вращательное, описываемое только одной координатой φ₁ .

φ_i = П_i (φ₁),

где П_i (φ₁) – функция положения звена i; φ₁ – обобщенная координата механизма (координата начального звена).

Очевидно, что размерность функции положения совпадает с размерностью координаты φ₁.

Первую и вторую передаточные функции обозначим соответственно П'_i и П''_i

.

Часто первую передаточную функцию называют также аналогом скорости, а вторую – аналогом ускорения звена i.

Скорости и ускорения точек и звеньев механизма находят путем дифференцирования функций положений.

Проекции V_Кх , a_Кх линейной скорости, ускорения точки K на ось Х определяются из выражений:

Угловая скорость ω_i и угловое ускорение ε_i звена i определяются из выражений:

,

где ω₁ и ε₁ – угловая скорость, угловое ускорение начального звена.

3.* Кинематический синтез плоских рычажных механизмов

Рычажные механизмы с низшими кинематическими парами получили широкое распространение в современном машиностроении. К достоинствам таких механизмов относятся: высокая технологичность изготовления, возможность использования подшипников качения в кинематических соединениях, возможность передачи больших усилий при малом износе соприкасающихся поверхностей, надежность и долговечность в работе. В этих механизмах не требуется устройств, обеспечивающих постоянное замыкание кинематических пар в отличие от кулачковых. Механизмы создаются из условий удовлетворения требований технологического процесса.

Проектирование механизмов является сложной задачей, решение которой можно разбить на несколько этапов. Первый этап синтеза механизмов состоит в выборе кинематической схемы, обеспечивающей требуемый вид и закон движения выходного звена, и общие условия работоспособности механизмов. Во втором этапе разрабатываются конструктивные формы звеньев и кинематических пар, обеспечивающих прочность и надежность механизма. В нашем курсе рассматривается только первый этап синтеза.

Схема механизма, как правило, выбирается на основе опыта, применительно к данным конкретным условиям. Затем определяют параметры синтеза, т.е. длины звеньев и координаты точек, обеспечивающих требуемые траектории и т.д., а также дополнительные условия синтеза.

К дополнительным условиям синтеза можно отнести условие существования кривошипа, условие благоприятной передачи сил, а также оптимальных габаритов механизма.

Условие существования кривошипа в четырёхзвенном механизме

Создаваемый четырёхзвенный механизм должен иметь звено, которое, входя во вращательную пару со стойкой, совершало бы полный оборот, т.е. было бы кривошипом. Определим условие существования такого звена. Это условие иначе называется условием Грасгофа.

Шарнирный четырехзвенник в общем случае имеет различные длины звеньев:

l_ОА = а, l_ОC = b, l_CB = c, l_AB = d. a < b < c < d .

Изобразим этот механизм в двух крайних положениях (рис. 3.17). Если механизм может занимать эти два положения, то при вращении звена а он займёт и любое промежуточное положение. Следовательно, звено а сделает в этом случае полный оборот и будет кривошипом. Таким образом, существование кривошипа определяется и .

Из имеем или .

Из имеем или , откуда .

Во втором неравенстве сумма величин (a + c + b) всегда больше d. Поэтому оно не служит критерием существования кривошипа.

Рис. 3.17. Условие существования кривошипа в шарнирном четырехзвеннике.

Таким образом, только первое неравенство является условием существования кривошипа в четырёхзвенном механизме. Следовательно, в шарнирном четырехзвеннике имеется кривошип, если сумма длин наименьшего и наибольшего звеньев меньше суммы двух других звеньев.

Аналогично выводятся условия существования кривошипа для кривошипно-ползунных и кулисных механизмов.

Геометрическое условие передачи сил в механизмах

Качество передачи сил в механизмах принято характеризовать углом давления α, определенным без учета сил тяжести звеньев и сил инерции.

Угол давления λ – это острый угол между вектором силы, действующей на ведомое звено со стороны смежного с ним подвижного звена и вектором абсолютной скорости точки приложения этой силы.

Угол передачи движения γ дополняет угол давления до 90⁰.

γ = 90 ⁰ – λ .

На стадии метрического синтеза ограничивают предельно допустимые углы давления [λ _max] и передачи движения [γ_min], как правило, принимая их:

для поступательно движущегося ведомого звена:

[λ _max] ≤ 30⁰ и [γ_min] ≥ 60⁰;

для вращающегося ведомого звена

[λ _max] ≤ 40⁰...45⁰ и [γ_min] ≥ 50⁰...45⁰.

Рассмотрим шарнирный четырехзвенник (рис.3.18), находящийся в равновесии под действием моментов движущего М_Д и момента сопротивления М_С.

Рис.3.18. Определение угла давления в шарнирном четырехзвеннике

Угол λ, указанный на рис.3.18 является углом давления. Этот угол характеризует соотношение между полезной силой F₂₃ cos α , преодолевающей момент сопротивления М_С и полной силой F₂₃ , равной

F₂₃ = М_С /(l_ВС ∙ cos α).

Таким образом, с увеличением угла давления необходимо прикладывать большую силу для преодоления одного и того же момента сопротивления. Это ведет к увеличению реакций в кинематических парах и снижению КПД механизма.

Рис.3.19. Угол давления достигает экстремальных значений в положениях, когда

кривошип ОА располагается на одной прямой со стойкой ОС

При движении механизма угол давления меняется. Экстремальных значений этот угол в шарнирном четырехзвеннике достигает в положениях, когда кривошип ОА располагается на одной прямой со стойкой ОС (рис. 3.19).