10.3. Уравновешивание нескольких масс, располагающихся

в различных плоскостях.

На звене (рис.10.4) в плоскостях I, II, III располагаются неуравновешенные массы m₁, m₂, т₃ на расстояниях l₁, /₂, /₃ от оси вращения звена АВ. Возникающие при вращении звена силы инерции Р₁, Р₂ и Р₃ будут восприниматься опорами А и В.

Для того чтобы исключить действие этих сил на опоры, необходимо уравновесить не только эти силы, но и моменты, создаваемые ими. Вначале будем уравновешивать силы. Условие уравновешивания векторов сил

P₁ + P₂ + P₃ + P = 0.

Силы Р₁, Р₂ , Р₃ по модулю соответственно равны:

Р₁ = ω² l₁ m₁, Р₂ = ω² l₂ m₂, P₃ = ω² l₂ m₃ .

Сила Р являющаяся результатом приложения дополнительной массы т на расстоянии l от оси вращения вала. Модуль этой силы Р = mω²l .

Плоскость приложения массы будет произвольной. Пусть это будет плоскость I. Подставив в уравнение значение сил, и сократив полученное уравнение на ω², получим векторное уравнение

m₁ l₁ + m₂ l₂ + m₃ l₃ + m l = 0. (10.4)

Неизвестный вектор m l находим путем построения этого уравнения (рис.10.5, слева). Уравновесим моменты, создаваемые всеми этими силами и воспринимаемые опорами А и В.

Рис. 10.4. Уравновешивание нескольких масс, расположенных в различных плоскостях

Условие уравновешивания моментов

M₁ + M₂ + M₃ + M + M₀ = 0,

где

M₁ = m₁ω² l₁ z₁; M₂ = m₂ ω²l₂ z₂; M₃ = m₃ω²l₃z₃; M = m ω²l z; M₀ = m₀ ω²l₀ z₀.

Момент М₀ является результатом приложения двух масс т₀, создающих пару сил. Нельзя помещать на звене только одну массу т₀, так как нарушается равновесие сил. Если в уравнение равновесия моментов подставим их значения и произведем сокращение на общий множитель ω², то получим векторное уравнение

m₁l₁ z₁ + m₂ l₂ z₂ + m₃ l₃ z₃ + m l z₁ + m_о l₀ z₀ = 0 . (10.5)

Рис. 10.5. Планы сил и моментов сил для рис. 10.4.

Построив уравнение (10.5), получаем искомый вектор m₀ l₀ z₀ (рис. 10.5, справа). Для отыскания направления векторов уравнения (10.5) можно воспользоваться предыдущим построением (рис. 10.5, слева), повернув все векторы на 90° по часовой стрелке. Задавшись величинами z_о (пусть это будет расстояние между плоскостями I и III) и l₀ по известному вектору m₀ l₀ z₀, находим массы т₀. Массы располагаем в плоскостях I и III, находящихся на расстоянии z₀ друг от друга в соответствии с направлением вектора m₀l₀z₀. При вращении возникает пара сил P₀z₀.

Таким образом, несколько масс, располагающихся в различных плоскостях, можно уравновесить тремя массами, две из которых одинаковы (массы т₀) и помещаются в различных плоскостях, а третья отличается от них и находится в произвольной плоскости. Вместе с тем действие двух масс т₀ и т в плоскости I можно заменить действием одной массы, расположенной в этой же плоскости. Следовательно, несколько масс, находящихся в различных плоскостях, можно уравновесить и двумя различными массами, располага­ющимися в различных плоскостях.

После определения уравновешивающих масс можно создать конструкцию уравновешенного звена.