8.2. Динамическая модель механизма

В общем случае пользоваться уравнением (8.1) сложно, так как механизм может иметь много звеньев с различными массами и скоростями: на звенья действуют различные силы. Для механизмов с одной степенью подвижности удобно использовать жесткую динамическую модель механизма.

При исследовании этой модели принимают следующие допущения: все звенья считаются абсолютно твердыми; жидкости – несжимаемы; кинематические пары недеформируемые. Зазоры в парах отсутствуют.

С помощью жесткой модели решаются многие задачи динамического исследования, однако эта модель, как и все другие, не является всеобще. Результаты расчета скоростей и ускорений звеньев и динамических нагрузок могут существенно отличаться от фактических, если частота возмущающего воздействия близ­ка или выше собственной частоты колебаний системы. Однако эти эффекты невозможно выявить в жесткой динамической модели.

В дальнейшем рассмотрены механизмы с жесткими звеньями. Примеры динамических моделей таких механизмов представлены на рис. 3.1.

Рис. 8.1. Динамические модели механизма с жесткими звеньями.

а - механизм, б и в – динамические модели механизма.

На рис. 8.1, а изображена кинематическая схема кривошипно-ползунного рычажного механизма с жесткими звеньями и одной степенью свободы. Движение всех звеньев такого меха­низма полностью определяется законом движения φ, ω, ε начального звена ОА, где φ – угол поворота; ω – угловая скорость, ε – угловое ускорение начального звена.

Для отыскания этого закона движения с учетом сил F_C и M_C, действующих на механизм, используют одну из двух представленных на рис. 8.1 динамических моделей.

Инерционные характеристики динамической модели определяются из условия равенства кинетических энергий реальной системы и ее модели

В динамической модели с приведенной массой (см. рис. 8.1, б) масса всех звеньев механизма заменяется одной приведенной массой m_пр, сосредоточенной в точке А звена приведения ОА. Звено ОА в динамической модели рассматривается как жесткое безинерционное. Силы и моменты F_C и M_C, действующие на механизм, заменяются приведенными силами, приложенными к точке приведения А перпендикулярно звену ОА. Таким образом, движение точки приведения определяется законом движения приведенной массы под действием приведенных сил.

На рис. 8.1, в представлена динамическая модель, в которой массы всех звеньев заменяется приведенным моментом инерции I_пр диска, жестко связанного со звеном ОА. Силы, действующие на механизм в этом случае, заменяются приведенными моментами сил М_пр.с и М_пр.д .

При использовании обеих динамических моделей (см. рис. 8.1, б и 8.1, в) результаты расчета закона движения звена приведения будут одинаковы, поэтому жесткие динамичес­кие модели с приведенной массой и с приведенным моментом инерции эквивалентны.

8.3. Приведение сил и масс в механизмах

При составлении динамических моделей механических систем удобно массы и моменты инерции различных звеньев, соединенных кинематическими связями, заменить одной приведенной массой (моментом инерции). К этой массе прикладываются приведенные силы, эквивалентные силам, действующим на приводимые звенья. Если рассматривается жесткая модель механизма с одной степенью подвижности, то для его изучения достаточно знать закон движения одного из звеньев, как правило, начального. Динамическая модель такого механизма показана на рис. 8.1. Звено механизма, к которому приведены массы (моменты инерции) на динамические модели, называется звеном приведения сил и масс. Точки сосредоточения приведенных масс – точки приведения.

Приведенной массой называется такая условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия Т_пр которой равна сумме кинетических энергий приводимых звеньев (рис. 8.1.б).

Кинетическая энергия Т_i i-го звена и приведенной массы Т_пр соответственно равны

; .

Согласно определению приведенная масса

. (8.2)

Если массы звеньев приводятся к эвену, вращающемуся вокруг неподвижной оси, то удобнее пользоваться понятием приведенного момента инерции I_np этих масс относительно оси вращения звена приведения

, (8.2, а)

где m_i , I_{S i} – масса и осевой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс i-го звена; V_{S i} , ω_i – соответственно скорость масс i-го звена и угловая скорость i -го звена; V_A – скорость точки приведения; ω_ОА – угловая скорость звена приведения.

Приведенной силой (моментом) называют условную силу (момент), которая, будучи приложена к звену приведения, развивает мощность N, равную мощности приводимых сил и моментов.

Величина приведенной силы, направленной по скорости точки приведения, равна

(8.3)

Приведенный момент силы равен

(8.3,а)

где F_к– величина приводимой силы, приложенной в точке к механизма;

V_к – скорость точки k; α_к – угол между векторами , ; М_к – момент, приложенный к звену k; ω_k – угловая скорость k -го звена.

Из формул (8.2), (8.3) следует, что приведенная масса и приведенная сила зависят от отношения квадратов скоростей приводимых звеньев к квадрату скорости звена приведения. Известно, что отношение скоростей определяется только соотношением длин звеньев механизма и обобщенной координатой равной угловой координате φ звена приведения ОА. Таким образом, приведенная сила и приведенная масса являются функцией обобщенной координаты φ.

Пример: На рисунке представлен синусный механизм. При движении ползуна вправо на него действует постоянная сила сопротивления F_с , направленная влево. Построить графики F _пр.с и m_пр , учитывая только массу ползуна.

Синусный механизм