9.3. Функция распределения.

Пусть (х₁,х₂,...,х_п) - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения F_x(x) . Распределением выборки назы­вается распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х₁,х₂,...,х_п с вероятностями 1/n. Соответст­вующую функцию распределения называют эмпирической (выбо­рочной) функцией распределения и обозначают .

Эмпирическую функцию распределения определим по зна­чениям накопленных частот соотношением , здесь суммируются частоты тех элементов выборки, для которых вы­полняется неравенство z_i < х . Тогда получим, что при х≤х⁽¹⁾ и при х>х⁽ⁿ⁾. На промежутке (х⁽¹⁾; х⁽ⁿ⁾] представляет собой неубывающую кусочно-постоянную функцию.

Аналогично определяем эмпирическую функцию распреде­ления для группированной выборки.

Значение эмпирической функции распределения для стати­стики определяется следующим утверждением.

Теорема (Гливенко). Пусть - эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема п из генеральной совокупности с функцией распределения F_x(x). Тогда для любо­го х  (- ∞,+∞) и любого ε > 0

.

Таким образом, при каждом х сходится по вероятно­сти к F_x(x) и при большом объеме выборки может служить при­ближенным значением (оценкой) функции распределения генеральной совокупности в каждой точке х.

9.4. Гистограмма и полигон.

Для наглядного представления выборки можно использо­вать гистограмму и полигон частот.

Гистограммой частот группированной выборки называет­ся кусочно-постоянная функция, постоянная на интервалах группировки и принимающая на каждом из них значения ,

i = 1,2,...,k соответственно. Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки п.

Аналогично определяется гистограмма относительных частот. Площадь соответствующей ступенчатой фигуры для нее равна единице.

При увеличении объема выборки и уменьшении интервала группировки гистограмма относительных частот является стати­стическим аналогом плотности распределения f_x(x) генеральной совокупности.

Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках , где i = 1,2,...,k , а полигоном относительных частот - ломаная с вершинами в точках , где i = 1,2,...,k. Имеем, что полигон относительных частот получается из полигона частот сжатием по оси Оу в п раз.

Если плотность распределения генеральной совокупности является достаточно гладкой функцией, то полигон относитель­ных частот является более хорошим приближением плотности, чем гистограмма.

Пример 30. Построить гистограмму и полигон частот, а также график эмпирической функции распределения группиро­ванной выборки из примера 29.

Решение. По результатам группировки (см. таблицу 1.) строим гистограмму частот (рис. 7). Соединяя отрезками ломаной середины верхних оснований прямоугольников, из которых со­стоит полученная гистограмма, получаем соответствующий поли­гон частот (рис. 8).

Т ак как середина первого интервала группировки z₁ = 11, то при х ≤ 11 . Рассуждая аналогично, находим, что при х > 23 . На полуинтервале (11,23] эмпирическую функцию распределения строим по данным третьего и последнего столбцов таблицы 1.

Рис.7 Рис.8

имеет скачки в точках, соответствую­щих серединам интервалов группировки. В результате получаем график , изображенный на рис. 9.

Рис.9

9.5. Метод моделирования.

В задачах статистического анализа сложных систем, напри­мер, при разработке систем автоматического проектирования (САПР), широко используется метод моделирования выборки из генеральной совокупности с заданным законом распределения.

Пусть случайная величина X имеет функцию распределения F_x (x). Как известно из теории вероятностей случайная величина Y = F_x(x) имеет равномерное распределение R(0,l). Отсюда сле­дует, что случайная величина X может быть получена из равно­мерно распределенной случайной величины Y по формуле , где - функция, обратная к F_x (заведомо сущест­вующая для случайных величин непрерывного типа).

Метод моделирования выборки из генеральной совокупно­сти с законом распределения F_x(x) реализуется следующим ал­горитмом: , j = 1,2,...,n, где у₁,у₂,...,у_n - выборка из

генеральной совокупности с равномерным распределением R(0,1), являющаяся последовательностью случайных чисел.

Случайные числа у₁,у₂,...,у_n можно получить, выбрав слу­чайным образом n чисел из таблицы- приложений П12 (см. в кон­це учебного пособия) и разделив каждое выбранное число на 100. При наличии любого вычислительного устройства случайные чис­ла у₁,у₂,...,у_n генерируются с помощью формулы , jN, где {а} - дробная часть числа a, am- простое число, большее де­сяти. В качестве начального значения у₁ в записанной выше фор­муле можно выбрать произвольное число из интервала (0,l) с не­нулевыми разрядами в десятичной системе счисления. От удачно­го выбора начального значения у_х зависит качество последова­тельности у₁,у₂,...,у_n.

Этот алгоритм получения выборки из генеральной сово­купности с законом распределения F_x(x) поясняется на рис. 10.

Рис. 10.

Для получения выборки из генеральной совокупности, рас­пределенной по закону N(0,1), можно воспользоваться алгорит­мом, основанным на любом из следующих соотношений:

, j = 2,3,...,n,

,

где, как и выше, у₁,у₂,...,у_п - выборка из генеральной совокупно­сти с равномерным распределением R(0,1).