9. Элементы математической статистики. Методы статистического описания результатов наблюдений

9.1. Основные задачи математической статистики

Установление закономерностей, которым подчинены массо­вые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных - результатов наблюдений.

Первая задача математической статистики - указать спосо­бы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставлен­ных экспериментов.

Вторая задача математической статистики - разработать ме­тоды анализа статистических данных в зависимости от целей ис­следования. Здесь:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка пара­метров распределения, вид которого известен; оценка зависимо­сти случайной величины и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает спо­собы определения числа необходимых испытаний до начала ис­следования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ), и решает многие задачи. Математическая статистика определяется как наука о принятии решений в условиях неопределенности.

Задачи математической статистики помогают создавать ме­тоды сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

9.2. Выборка, способы её представления.

Математическая статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними - выборке. В практике статистических наблюдений различают два вида наблюдений: сплошное (изучаются все объекты совокупности) и несплошное, выборочное (изучается часть объектов). Вся подлежащая изучению совокупность объектов (наблюдений) называется генеральной совокупностью.

Понятие генеральной совокупности в определенном смысле аналогично понятию случайной величины (закону распределения вероятностей, вероятностному пространству), так как полностью обусловлено определенным комплексом условий.

Часть объектов, отобранная для непосредственного изучения из генеральной совокупности, называется выборочной сово­купностью, или выборкой. Числа объектов (наблюдений) в генеральной или выборочной совокупности называются их объемами. Генеральная совокупность может иметь как конечный, так и бесконечный объем.

Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по некоторой части генеральной совокупности (по выборке) выносить суждение о её свойствах в целом.

Преимущество выборочного метода по сравнению со сплошным состоит в следующем: - позволяет экономить затраты ресурсов;

- является единственно возможным в случае бесконечной генеральной совокупности или в случае, когда исследование связано с уничтожением наблюдаемых объектов;

- дает возможность углубленного исследования за счет рас­ширения программы исследования;

- позволяет снизить ошибки регистрации, т.е. расхождение между истинным и зарегистрированным значениями признака.

Основной недостаток выборочного метода - ошибки иссле­дования, называемые ошибками репрезентативности (представи­тельства).

Различают следующие виды выборок:

- собственно-случайная выборка, образованная случайным выбором элементов без расчленения на части или группы;

- механическая выборка, в неё элементы из генеральной со­вокупности отбираются через определенный интервал;

- типическая (стратифицированная) выборка, в которую слу­чайным образом отбираются элементы из типических групп;

- серийная (гнездовая) выборка, в которую случайным обра­зом отбираются не элементы, а целые группы совокупности, при­чем сами серии подвергаются сплошному наблюдению.

Используют два способа образования выборки:

- повторный отбор (по схеме возвращенного шара), когда каждый элемент, случайно отобранный и обследованный, возвра­щается в общую совокупность и может быть повторно отобран;

- бесповторный отбор (по схеме невозвращенного шара), когда отобранный элемент не возвращается в общую совокуп­ность.

Итак, закон распределения некоторой случайной величины X называется распределением генеральной совокупности, а слу­чайный вектор (X₁,...,X_n) - выборочным вектором. Числа х₁, ..., х_п, получаемые на практике при n-кратном повторении некоторо­го эксперимента в неизменных условиях, представляют собой реализацию выборочного вектора и есть выборка (х₁,х₂,...,х_п) объ­ема п.

Выборку (х₁,х₂,...,х_п) при необходимости можно рассмат­ривать как точку выборочного пространства, т. е. множества, на котором задано распределение выборочного вектора (Х₁,Х₂,...,Х_n).

Аналогично определяется выборка в случае, когда некото­рый случайный эксперимент связан с несколькими случайными величинами. Так, выборка объема п из двумерной генеральной совокупности есть последовательность (х₁,у₁) , ...,(х_n,у_n) пар значений случайных величин X и Y, принимаемых ими в п неза­висимых повторениях некоторого случайного эксперимента.

Вариационным рядом выборки х₁,х₂,...,х_п называется способ ее записи, при котором элементы упорядочиваются по ве­личине, т е. записываются в виде последовательности х⁽¹⁾, х⁽²⁾,…, х⁽ⁿ⁾, где х⁽¹⁾≤х⁽²⁾≤...≤х⁽ⁿ⁾.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки x^(max) -x^(min) =ω называется размахом выборки. Пусть выборка (х₁,х₂,...,х_п) содержит k различных чисел z₁,z₂,...,z_k , причем z_i встречается n_i раз (i = 1,2, ...,k ). Число n_i называют частотой элемента выборки z_i. Следует заметить, что .

Статистическим рядом называют последовательность пар (z_i,n_i). Статистический ряд записывают в виде таблицы, в первой строке которой находятся элементы z_i, а во второй - их частоты.

Пример 28. Записать в виде вариационного и статистического рядов выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Определить размах выборки.

Решение. В данном случае объем выборки n = 15. Упорядочим элементы выборки по величине, получим вариационный ряд 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Найдем размах выборки ω=10-2= 8. Различными в заданной выборке являются элементы z₁ = 2, z₂ =3, z₃ = 4 , z₄ = 5 , z₅ = 7 , z₆ = 10 ; их частоты соответственно равны n₁ = 3, n₂=1, n₃ = 2, n₄ = 3 , n₅ = 4, n₆ = 2. Статистический ряд исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

zi	2	3	4	5	7	10
ni	3	1	2	3	4	2

Для контроля правильности записи находим . При большом объеме выборки ее элементы рекомендуется объединять в группы (разряды), представляя результаты опытов в виде группированного статистического ряда. В этом случае ин­тервал, содержащий все элементы выборки, разбивается на k не­пересекающихся интервалов. Вычисления упрощаются, если эти интервалы имеют одинаковую длину . В дальнейшем рассматривается именно этот случай. После того как частичные ин­тервалы выбраны, определяют частоты - количество n_i элементов выборки, попавших в i-й интервал (элемент, совпадающий с верх­ней границей интервала, относится к следующему интервалу). Получающийся статистический ряд в верхней строке содержит середины z_i интервалов группировки, а в нижней — частоты n_i (i = 1,2,...,k).

Наряду с частотами одновременно подсчитываются также накопленные частоты , относительные частоты n_i /п и накопленные относительные частоты , i = 1,2,...,k. Полученные результаты сводятся в таблицу, называемую таблицей час­тот группированной выборки.

Следует помнить, что группировка выборки вносит по­грешность в дальнейшие вычисления, которая растет с уменьше­нием числа интервалов.

Пример 29. Представить выборку 55 наблюдений в виде таблицы частот, разбив имеющиеся данные выборки на семь ин­тервалов группировки. Выборка:

20,3	15,4	17,2	19,2	23,3	18,1	21,9
15,3	16,8	13,2	20,4	16,5	19,7	20,5
14,3	20,1	16,8	14,7	20,8	19,5	15,3
19,3	17,8	16,2	15,7	22,8	21,9	12,5
10,1	21,1	18,3	14,7	14,5	18,1	18,4
13,9	19,1	18,5	20,2	23,8	16,7	20,4
19,5	17,2	19,6	17,8	21,3	17,5	19,4
17,8	13,5	17,8	11,8	18,6	19,1

В данном случае размах выборки ω=23,8 -10,1 = 13,7; тогда длина интервала группировки будет b = 13,7/7≈2 . В качестве первого интервала возьмем интервал 10 - 12. Результаты группи­ровки сведем в таблицу 1

Таблица 1

Номер интерва­ла i	Границы интервала	Середина интервала zi	Частота ni	Накоп­ленная частота	Относи­тельная частота ni /п	Накопленная относительная частота
1	10-12	11	2	2	0,0364	0 0364
2	12-14	13	4	6	0,0727	0 1091
3	14-16	15	8	14	0,1455	0 2546
4	16-18	17	12	26	0,2182	0,4728
5	18-20	19	16	42	0,2909	0 7637
6	20-22	21	10	52	0,1818	0,9455
7	22-24	23	3	55	0,0545	1,0000