II. Задания для типовых расчетов
2.1. Элементы теории вероятностей
Задача 1. Непосредственный подсчет вероятностей события
1.1. Числа натурального ряда 15 2, 3, ..., п расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.
1.2. В ящике содержится сто деталей, среди которых 20 бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей нет бракованных.
1.3. На склад поступило 20 холодильников, из которых восемь изготовлены Минским заводом. Какова вероятность того, что из пяти наудачу взятых холодильников два изготовлены Минским заводом?
1.4. Группа студентов (10 юношей и 10 девушек) делится на две численно равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой подгруппе юношей и девушек будет одинаковое количество.
1.5. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу четырех карт из полной колоды (52 карты) ровно две окажутся принадлежащими трефовой масти?
1.6. Среди двадцати студентов группы, из которых семь девушек, разыгрывается десять книг. Найти вероятность того, что среди выигравших будет пять девушек.
1.7. На полке расставлены наудачу девять различных книг. Найти вероятность того, что четыре определенные книги окажутся рядом.
1.8. К экзамену по математике студент подготовил 60 вопросов из 70. Найти вероятность того, что студент ответит на три вопроса билета.
1.9. В корзине находятся 20 красных, 15 зеленых шаров. Найти вероятность того, что из четырех выбранных наудачу шаров будет три зеленых.
1.10. Две команды по 20 спортсменов производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований. Две сестры входят в состав различных команд. Какова вероятность того, что они в соревнованиях будут участвовать под одним и тем же номером «12»?
1.11. Числа натурального ряда 1, 2, 3, ...,n расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1, 2 и 3 расположены рядом и при том в порядке возрастания.
1.12. Из полного комплекта карт домино извлекается наудачу одна карта. Какова вероятность того, что сумма очков на обеих половинах этой карты окажется равной шести?
1.13. В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными.
1.14. В группе 20 студентов, среди которых 9 юношей. По списку наудачу выбирается 11 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется 7 девушек.
1.15. Брошены десять игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероятность того, что не выпало ни одной «шестёрки».
1.16. Из тридцати чисел (1, 2, ..., 29, 30) случайно отбирается десять. Найти вероятность того, что все числа нечетные.
1.17. В записанном телефонном номере 1, 3, 5 - 3, - ... три последние цифры стерлись. Предполагая, что все комбинации грех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись различные цифры, отличные от 1, 3, 5.
1.18. На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Найти вероятность того, что получится слово "БИРЖА".
1.19. В суде работают шестеро мужчин и четыре женщины. Для участия в некотором процессе выбирают семь человек. Найти вероятность того, что среди выбранных будет три женщины.
1.20. Брошены десять игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероятность того, что выпало ровно три «шестёрки».
1.21. Из тридцати чисел (1, 2, ..., 29, 30) случайно отбирается десять. Найти вероятность того, что ровно пять чисел делится натри.
1.22. В записанном телефонном номере 1, 3, 5 - 3 - ... три последние цифры стерлись. Предполагая, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись одинаковые цифры.
1.23. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что в сумме не менее десяти очков?
1.24. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется пять команд экстракласса. Найти вероятность того, что все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу.
1.25. Брошены десять игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероятность того, что выпала хотя бы одна «шестёрка».
1.26. В записанном телефонном номере 1, 3, 5 - 3 - ... три последние цифры стерлись. Предполагая, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что две из стершихся цифр совпадают.
1.27. В канцелярии народного суда находится 26 дел, среди которых 17 уголовных. Наудачу для проверки документации извлекается пять дел. Найти вероятность того, что взятые наудачу дела окажутся не уголовными.
1.28. В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 12 команд, из которых случайным образом формируются две группы по шесть команд в каждой. Среди участников соревнований имеется семь команд экстракласса. Найти вероятность того, что две команды экстракласса попадут в одну из групп.
1.29. В партии, состоящей из 15 изделий, имеется четыре дефектных. Для контроля выбираются шесть изделий. Какова вероятность того, что из них ровно два изделия дефектны?
1.30. В одной из студенческих групп 26 человек, из которых шесть студентов - отличники по математике, в другой группе - 24 человека, из которых пять студентов - отличники по математике. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных студента (по одному из каждой группы) окажутся отличниками по математике?
Задача 2. Основные теоремы теории вероятностей
2.1. Три станка работают независимо. Вероятность того, что первый станок в течение смены выйдет из строя равна 0,1; для второго и третьего станков эти вероятности соответственно равны 0,2 и 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены:
1) только один станок не выйдет из строя;
2) не выйдут из строя только два станка;
3) три станка выйдут из строя;
4) хотя бы один станок не выйдет из строя.
2.2. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство - 0,9; второе - 0,95; третье - 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработает:
1) только одно устройство;
2) только два устройства;
3) все три устройства;
4) хотя бы одно устройство.
2.3. Из трех орудий производится залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что:
1) в цель попадет только один снаряд;
2) в цель попадут только два снаряда;
3) в цель попадут все три снаряда;
4) хотя бы один снаряд попадет в цель.
2.4. От здания аэровокзала к трапам самолетов отправились два автобуса. Вероятность своевременного прибытия каждого автобуса к трапам равна 0,95. Найти вероятность того, что:
1) оба автобуса прибудут вовремя;
2) оба автобуса опоздают;
3) только один автобус опоздает;
4) хотя бы один из автобусов прибудет вовремя.
2.5. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность того, что цель поражена первым стрелком равна 0,7; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что:
1) только один из стрелков поразил цель;
2) только два стрелка поразили цель;
3) все три стрелка поразили цель;
4) хотя бы один из стрелков поразил цель.
2.6. Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое из почтовых отделений равна 0,85. Найти вероятность того, что:
1) оба почтовых отделения получат газеты в срок;
2) оба почтовых отделения получат газеты с опозданием;
3) получит газеты в срок одно почтовое отделение;
4) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
2.7. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует внимания рабочего равна 0,3; для остальных станков эти вероятности соответственно равны 0,2; 0,35; 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа:
1) только три станка не потребуют внимания рабочего;
2) только один станок не потребует внимания рабочего;
3) четыре станка потребуют внимания рабочего;
4) хотя бы один из станков не потребует внимания.
2.8. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8; для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,65 и 0,73. Найти вероятность того, что:
1) только один стрелок попадет в мишень;
2) только два стрелка попадут в мишень;
3) все стрелки промахнутся;
4) хотя бы один из стрелков попадет в мишень.
2.9. Участковый врач обслуживает на дому четырех больных. Вероятность того, что в течение суток врач потребуется первому больному равна 0,2; для остальных больных эти вероятности соответственно равны 0,4; 0,5; 0,3. Найти вероятность того, что в течение суток врач потребуется:
1) только одному больному;
2) только двум больным;
3) всем четырём больным;
4) хотя бы одному больному.
2.10. Некоторый механизм состоит из трех независимо работающих узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены первого узла равна 0,72; для второго и третьего узлов эти вероятности соответственно равны 0,93 и 0,86. Найти вероятность того, что в течение смены:
1) выйдет из строя только один узел;
2) выйдут из строя только два узла;
3) выйдут из строя все три узла;
4) хотя бы один из узлов выйдет из строя.
2.11. В типографии независимо друг от друга работают четыре печатные машины. Для каждой из них вероятность работать в данный момент равна 0,88. Найти вероятность того, что в данный момент:
1) работает только одна машина;
2) работают только две машины;
3) работают все четыре машины;
4) хотя бы одна из машин не работает.
2.12. Для посевных работ фермер приобрел три трактора. Вероятность того, что во время посевных работ будет неисправным первый трактор равна 0,11; для второго и третьего тракторов эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,21. Найти вероятность того, что во время посевных работ:
1) неисправен только один трактор;
2) неисправны только два трактора;
3) неисправны все трактора;
4) неисправен хотя бы один из тракторов.
2.13. В Кисловодск из Астрахани еженедельно отправляются четыре автобуса. Вероятность своевременного прибытия на автовокзал Кисловодска первого автобуса равна 0,94; для остальных автобусов эти вероятности соответственно равны 0,76; 0,87 и 0,92. Найти вероятность того, что в выбранную наугад неделю своевременно:
1) прибудет только один автобус;
2) прибудут два автобуса;
3) прибудут все автобусы;
4) опоздает хотя бы один из автобусов.
2.14. Экзаменационный билет содержит четыре вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета одинаковы и равны 0,9; на третий - 0,8 и на четвертый - 0,75. Найти вероятность того, что студент ответит:
1) только на один вопрос;
2) только на два вопроса;
3) на все вопросы;
4) хотя бы на один вопрос.
2.15. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8; а после каждого следующего выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник:
1) промахнется все три раза;
2) попадет два раза;
3) попадет один раз;
4) попадет хотя бы один раз.
2.16. На пульт поступают сигналы из четырех пунктов. Вероятность того, что в течение часа поступит сигнал с первого пункта равна 0,78; со второго пункта — 0,83; с третьего пункта — 0,92; с четвертого пункта - 0,75. Найти вероятность того, что в течение часа поступят сигналы:
1) только из одного пункта;
2) из трех пунктов;
3) из всех пунктов;
4) хотя бы из одного пункта сигнал не поступит.
2.17. Из трех орудий производится залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,72; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,62 и 0,96. Найти вероятность того, что:
1) в цель попадет только один снаряд;
2) в цель попадут только два снаряда;
3) в цель попадут все три снаряда;
4) хотя бы один снаряд не попадет в цель.
2.18. В типографии независимо друг от друга работают три печатные машины. Для каждой из них вероятность работать в данный момент равна 0,75. Найти вероятность того, что в данный момент:
1) работает только одна машина;
2) не работают только две машины;
3) не работают все три машины;
4) хотя бы одна из машин работает.
2.19. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих аппарата. Вероятность того, что при аварии сработает первый аппарат равна 0,65; второй - 0,7; третий - 0,88. Найти вероятность того, что при аварии:
1) включится только один аппарат;
2) включатся только два аппарата;
3) включатся все три аппарата;
4) не включится хотя бы один аппарат.
2.20. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый и второй вопросы билета одинаковы и равны 0,6; на третий - 0,7. Найти вероятность того, что студент ответит:
1) на все вопросы;
2) только на один вопрос;
3) только на два вопроса;
4) хотя бы один вопрос останется без правильного ответа.
2.21. В семье четверо детей. Вероятность рождения мальчика равна 0,6. Найти вероятность того, что в семье:
1) будут все мальчики;
2) будет только один мальчик;
3) будут только два мальчика;
4) будет хотя бы одна девочка.
2.22. Прядильщица обслуживает четыре веретена. Вероятность обрыва нити на первом веретене равна 0,7, на втором веретене 0,8, на третьем - 0,9 и на четвертом - 0,95. Найти вероятность того, что:
1) на двух веретенах произойдет обрыв нити;
2) на трех веретенах произойдет обрыв нити;
3) только на одном веретене произойдет обрыв нити;
4) хотя бы на одном веретене не произойдет обрыва нити.
2.23. Коммутационный узел обслуживает четырёх абонентов. Вероятность того, что на коммутатор в течение часа позвонит первый абонент равна 0,45, второй - 0,55, третий - 0,65, четвёртый - 0,75. Найти вероятность того, что в течение часа:
1) позвонит только один абонент;
2) позвонят только два абонента;
3) позвонят все четыре абонента;
4) позвонит хотя бы один абонент.
2.24. В клумбу посадили три растения. Вероятность того, что взойдет первое растение равна 0,86, второе - 0,78, третье - 0,52. Найти вероятность того, что:
1) все три растения не взойдут;
2) взойдут только два растения;
3) взойдет только одно растение;
4) хотя бы одно растение не взойдет.
2.25. В международных соревнованиях участвуют три велосипедиста. Вероятность того, что первый велосипедист придет к финишу равна 0,75, второй - 0,66, третий - 0,87. Найти вероятность того, что к финишу:
1) придут два велосипедиста;
2) придут все велосипедисты;
3) придет один велосипедист;
4) придет хотя бы один велосипедист.
2.26. В магазине осталось четыре книги. Вероятность того, что купят первую книгу равна 0,79, вторую - 0,82, третью - 0,9, четвертую - 0,97. Найти вероятность того, что купят:
1) только одну книгу;
2) только три книги;
3) все книги;
4) хотя бы одну книгу.
2.27. В рамках шахматного турнира проводятся три матча. Вероятность того, что первый матч будут транслировать по телевидению равна 0,4, второй - 0,5, третий - 0,6. Найти вероятность того, что по телевидению будут транслировать:
1) только два матча;
2) только один матч;
3) хотя бы один матч;
4) все три матча.
2.28. Каждый из восьми элементов электронного блока с вероятностью 0,2 может отказать в течение Т часов непрерывной работы. Найти вероятность того, что за время Т откажут:
1) три элемента;
2) только один элемент;
3) два элемента;
4) хотя бы один элемент.
2.29. Вероятность того, что завтра будет град равна 0,15, снег - 0,25, дождь - 0,35. Найти вероятность того, что завтра:
1) не будет снега;
2) не будет дождя;
3) не будет града;
4) будет хорошая погода.
2.30. В офисе установили три компьютера. Вероятность того, что первый из них выйдет из строя в течение первого года работы равна 0,2, второй - 0,1, третий - 0,1. Найти вероятность того, что:
1) выйдет из строя только один компьютер;
2) выйдут из строя только два компьютера;
3) все три компьютера не выйдут из строя;
4) хотя бы один компьютер выйдет из строя.
Задача 3. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
3.1. Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода, 20% третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0,7; для второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,75. Найти вероятность того, что:
1) наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества;
2) выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.
3.2. Две машинистки набрали по одинаковому числу страниц. Вероятность того, что первая машинистка допустит ошибку равна 0,3; вторая - 0,2. Наудачу выбрана страница. Найти вероятность того, что:
1) на выбранной странице есть ошибка;
2) эту ошибку допустила первая машинистка.
3.3. В пирамиде установлены девять винтовок, из которых четыре снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,84; для винтовки без прицела эта вероятность равна 0,75. Найти вероятность того, что:
1) мишень поражена, если стрелок произвел выстрел из наудачу выбранной винтовки;
2) мишень поражена при выстреле из винтовки с оптическим прицелом.
3.4. Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 35% - второго завода, остальные детали с третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0,8, для деталей второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0,76 и 0,92. Найти вероятность того, что:
1) наудачу взятая деталь отличного качества;
2) эта деталь изготовлена на втором заводом.
3.5. Два автомата производят одинаковые изделия. Производительность первого автомата втрое больше второго. Кроме того, первый производит 72% деталей отличного качества, второй - 82%. Найти вероятность того, что:
1) взятая наудачу деталь отличного качества;
2) эта деталь изготовлена вторым автоматом.
3.6. На четырех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливают детали одного наименования. На первом станке изготавливают 15%, на втором - 24%, на третьем - 38%, на четвертом - 23% всех деталей. На первом станке вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,68; для остальных станков эти вероятности соответственно равны 0,74; 0,89 и 0,92. Найти вероятность того, что:
1) наугад взятая деталь окажется бездефектной;
2) эта деталь изготовлена на четвертом станке.
3.7. Стрельба производится по пяти мишеням типа А, восьми мишеням типа В, семи мишеням типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,6, типа В - 0,24, типа С - 0,45. Найти вероятность того, что:
1) мишень поражена при выстреле, причем неизвестно в мишень какого типа он был сделан;
2) поражена мишень типа С.
3.8. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 0,21% бракованных, со второго - 0,13%, с третьего - 0,19%, с четвертого - 6,1%. Производительности автоматов относятся как 5:1:3:1 соответственно. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь:
1) стандартна;
2) и она поступила с первого автомата.
3.9. На сборку поступило семь коробок однотипных деталей: три коробки изготовлены первым заводом, в которых детали высшего качества составляют 78%, и четыре коробки изготовлены вторым заводом, в которых детали высшего качества составляют 92%. Сборщик взял наугад одну из коробок и вынул из нее деталь. Найти вероятность того, что:
1) выбранная деталь высшего качества;
2) деталь высшего качества, выбранная из коробки, поступившей со второго завода.
3.10. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку равна 0,3; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,25. При проверке наугад взята одна перфокарта. Найти вероятность того, что:
1) обнаружена ошибка;
2) ошибку допустила первая перфораторщица.
3.11. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 83% отличного качества, со второго и третьего автоматов аналогичных деталей отличного качества 92% и 89%. Производительности этих автоматов относятся как 3:2:5 соответственно. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь:
1) отличного качества;
2) отличного качества и изготовлена на первом автомате.
3.12. Для сигнализации о том, что режим работы автоматического устройства отклоняется от нормы, используется индикатор, который с вероятностями 0,3; 0,1; 0,6 принадлежит одному из трех типов. Вероятности срабатывания индикатора при нарушении нормальной работы устройства соответственно равны 0,98; 0,92; 0,95. Найти вероятности того, что:
1) от индикатора получен сигнал;
2) этот сигнал получен от индикатора второго типа.
3.13. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 2:4:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и остальных устройствах соответственно равны 0,75; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что:
1) сбой, возникший в машине, обнаружен;
2) этот сбой возник в оперативной памяти.
3.14. Некоторое изделие может поступить для обработки в случайном порядке на один из трех станков, с вероятностями равными 0,2; 0,3; 0,5. При обработке на первом станке вероятность брака равна 0,02, на втором станке - 0,03 и на третьем станке 0,05. Найти вероятность того, что:
1) поступившее в цех изделие после обработки удовлетворяет техническим условиям;
2) и оно обрабатывалось на втором станке.
3.15. На одном заводе на каждые 100 лампочек приходится в среднем 10 нестандартных, на втором - 15, а на третьем - 20. Продукция этих заводов составляет соответственно 50, 30 и 20 процентов всех электролампочек, приобретаемых жителями рай она. Найти вероятность того, что:
1) приобретенная электролампочка стандартна;
2) приобретенная электролампочка стандартна и изготовлена на втором заводе.
3.16. На сборку поступили 100 однотипных деталей: 40 деталей изготовлены на первом станке, из них 65% деталей первого сорта; 25 деталей изготовлены на втором станке, из них 57% дета лей первого сорта; 35 деталей изготовлены на третьем станке, из них 72% деталей первого сорта. Сборщик взял наудачу деталь. Найти вероятность того, что:
1) взятая деталь первого сорта;
2) эта деталь изготовлена на втором станке.
3.17. Среди поступающих дел в областной суд города Астрахани из Кировского района - 15% уголовных, из Советского - 10%, из Трусовского - 8%. Количества поступающих в суд дел из Советского, Кировского, Трусовского районных судов относятся как 2:5:3. Найти вероятность того, что взятое наугад дело:
1) уголовное;
2) и оно поступило из Трусовского районного суда.
3.18. Среди поступающих на сборку деталей с первого автомата 85% отличного качества, для второго и третьего автоматов деталей отличного качества соответственно поступает 94% и 79%. Производительности этих автоматов относятся как 4:5:3. Найти вероятность того, что:
1) взятая наугад деталь отличного качества;
2) эта деталь изготовлена на втором автомате.
3.19. В областной суд Астрахани в среднем поступает 50% дел из Ленинского суда, 28% - из Трусовского, остальные из Кировского суда. Вероятность того, что дело из Ленинского отделения суда не будет возвращено 0,75; для Трусовского и Кировского эти вероятности соответственно равны 0,84 и 0,92. Какова вероятность того, что наугад взятое дело:
1) будет возвращено;
2) и поступило из Кировского отделения суда.
3.20. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины возникнет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:4. Вероятности обнаружения сбоя в указанных устройствах соответственно равны 0,75; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что:
1) сбой, возникший в машине, обнаружен;
2) обнаруженный сбой возник в арифметическом устройстве.
3.21. На трёх станках выпускают одинаковые изделия. Производительности станков относятся как 4:3:3. Вероятность выпуска бракованного изделия на первом станке равна 0,05; на втором -0,08 и на третьем - 0,1. Все изделия поступают на сборку. Найти вероятность того, что:
1) наудачу взятое изделие окажется стандартным;
2) это изделие изготовлено на третьем станке.
3.22. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями: Р1 =0,2, Р2=0,3 Р3=0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что выбранная наудачу радиолампа:
1) проработает заданное число часов;
2) оказалась из второй партии.
3.23. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 25%>, вторая - 35%, третья - остальную часть всех изделий. В продукции машин брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Найти вероятность того, что:
1) случайно выбранный болт дефектный;
2) болт произведен первой машиной.
3.24. В цехе рабочие обслуживают 20 станков. Из них десять — марки А, шесть - марки В и четыре - марки С. Вероятность того, что качество детали окажется отличным для этих станков соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что:
1) наудачу выбранная деталь будет отличного качества;
2) это будет деталь марки В.
3.25. На учебной военной базе установлены четыре радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,6; второго - 0,9, третьего - 0,92, четвёртого - 0,95. Найти вероятность того, что:
1) наугад включенный локатор обнаружит цель;
2) цель обнаружена третьим локатором.
3.26. Счетчик Гейгера регистрирует частицы трёх видов: А,В и С. Вероятности появления этих частиц Р(А) = 0,2 ; Р(В) = 0,5; Р(С) = 0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями: р1 = 0,8 , р2 = 0,2 , р3 = 0,4 . Найти вероятность того, что:
1) счетчик отметил частицу;
2) это была частица В.
3.27. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре предположения (гипотезы) Н1 , Н2 , Н3 и Н4. По данным статистики Р(Н1) = 0,2; Р(Н2) = 0,4 ; Р(Н3) = 0,3; Р(Н4) = 0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Р(А / Н1) = 0,9; Р(А/Н2) = 0,1 ; Р(А/ Н3) = 0,2 ; Р(А/ Н4) = 0,3. Какова вероятность того, что:
1) расследуемая гипотеза подтвердилась;
2) это гипотеза Н2.
3.28. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам бананы. В двух ящиках - по шесть спелых и четыре неспелых банана. В двух других ящиках - по восемь спелых и два неспелых банана. В одном ящике - два спелых и восемь неспелых бананов. Наудачу выбирается ящик, и из него извлекается банан. Найти вероятность того, что:
1) извлечен спелый банан;
2) спелый банан извлечен из ящика первого состава.
3.29. Из партии холодильников 20% изготовлены фирмой «Samsung», 30% - фирмой «Indesit», 50% - фирмой «Nord». Вероятности выпуска двухкамерных холодильников на указанных фирмах соответственно равны: р1 = 0,1, р2 = 0,3 , р3 = 0,2. Найти вероятность того, что:
1) наудачу взятый из партии холодильник окажется однокамерным;
2) он изготовлен фирмой «Samsung».
3.30. В продажу поступили конфеты кондитерских фабрик «Россия», «Сластёна» и «Большевик». Продукция этих фабрик в партии, поступившей в продажу, пропорциональна числам 2, 3 и 5. Известно, что фабрика «Россия» производит 70% шоколадных конфет, «Сластёна» и «Большевик» - 60% и 80% соответственно. Покупатель сделал покупку «однородных» конфет. Найти вероятность того, что:
1) куплены шоколадные конфеты;
2) купленные шоколадные конфеты произведены фабрикой «Россия».
Задача 4.Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли.
Задачи 4.1 - 4.15. Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна р. Имеется k независимо работающих автоматов. Найти:
1) вероятность того, что:
а) будут работать в данный момент ровно т автоматов;
б) будут работать не более т автоматов;
2) наивероятнейшее число работающих автоматов среди к автоматов:
|
p |
k |
m |
4.1. |
0,55 |
7 |
4 |
4.2. |
0,62 |
6 |
2 |
4.3. |
0,7 |
8 |
5 |
4.4. |
0,8 |
5 |
|
4.5. |
0,45 |
10 |
6 |
4.6. |
0,1 |
7 |
3 |
4.7. |
0,05 |
5 |
2 |
4.8. |
0,2 |
6 |
4 |
4.9. |
0,07 |
8 |
3 |
4.10. |
0,08 |
4 |
2 |
4.11. |
0,45 |
5 |
2 |
4.12. |
0,52 |
6 |
3 |
4.13. |
0,57 |
4 |
2 |
4.14. |
0,48 |
7 |
4 |
4.15. |
0,5 |
8 |
3 |
Задачи 4.16 - 4.30. Каждый из п элементов электронного блока может отказать в течение 3-х часов непрерывной работы с вероятностью р. Найти:
1) вероятность того, что:
а) в течение 3 часов откажут ровно т элементов;
б) в течение 3 часов откажут не менее т элементов;
2) наивероятнейшее число элементов, которые могут отказать в течение 3 часов.
|
p |
k |
m |
4.16. |
0,2 |
8 |
3 |
4.17. |
0,4 |
6 |
4 |
4.18. |
0,67 |
6 |
2 |
4.19. |
0,9 |
8 |
5 |
4.20. |
0,72 |
9 |
6 |
4.21. |
0,3 |
9 |
4 |
4.22. |
0,4 |
10 |
5 |
4.23. |
0,5 |
11 |
6 |
4.24. |
0,6 |
12 |
7 |
4.25. |
0,8 |
10 |
8 |
4.26. |
0,7 |
9 |
7 |
4.27. |
0,6 |
8 |
6 |
4.28. |
0,5 |
7 |
5 |
4.29. |
0,3 |
7 |
4 |
4.30. |
0,5 |
5 |
2 |
Задача 5. Повторение независимых испытаний. Формула Пуассона
5.1. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:
а) шесть вызовов;
б) менее шести вызовов.
5.2. Среднее число кораблей, прибывающих в порт за один час, равно трем. Найти вероятность того, что за четыре часа в порт прибудут:
а) пять кораблей;
б) не менее пяти кораблей.
5.3. Среднее число заявок, поступающих в телеателье в течение часа, равно четырем. Найти вероятность того, что в течение трех часов поступит:
а) семь заявок;
б) более семи заявок.
5.4. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты в аэропорт прибудут:
а) пять самолетов;
б) более пяти самолетов.
5.5. Среднее число вызовов, поступающих в АТС в течение часа, равно 300. Найти вероятность того, что в течение двух минут поступит:
а) 20 вызовов;
б) более 20 вызовов.
5.6. Книга в 500 страниц имеет 50 опечаток. Найти вероятность того, что на случайно выбранной странице обнаружат:
а) четыре опечатки;
б) не менее четырёх опечаток.
5.7. Вероятность появления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что из 500 отобранных деталей окажется:
а) три бракованных;
б) не более восьми бракованных деталей.
5.8. Устройство содержит 1000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,003. Найти вероятность того, что за час откажут:
а) четыре элемента;
б) не менее четырёх элементов.
5.9. Среднее число автобусов, прибывающих на автовокзал в течение часа, равно семи. Найти вероятность того, что в течение трех часов на автовокзал прибудут:
а) десять автобусов;
б) более десяти автобусов.
5.10. Среднее число клиентов, приходящих в часовую мастерскую в течение часа, равно пяти. Найти вероятность того, что в течение четырёх часов мастерскую посетят:
а) семь клиентов;
б) более семи клиентов.
5.11. На станцию скорой помощи в течение часа в среднем поступает 20 вызовов. Найти вероятность того, что в течение 15 минут будет принято:
а) четыре вызова;
б) не менее четырёх вызовов.
5.12. Тираж книги 50000 экземпляров. Вероятность дефектной брошюровки книги равна 0,001. Найти вероятность того, что в тираже содержится:
а) пять дефектно сброшюрованных книг;
б) менее пяти дефектно сброшюрованных книг.
5.13. Вероятность изготовления дефектной детали 0,002. Найти вероятность того, что среди 800 случайно отобранных деталей окажется:
а) шесть дефектных;
б) не более шести дефектных деталей.
5.14. Образец радиоактивного вещества в среднем за 10 секунд испускает четыре заряженные частицы. Найти вероятность того, что за две секунды образец испустит:
а) две частицы;
б) более двух частиц.
5.15. В камере Вильсона регистрируется в среднем 18 элементарных частиц в час. Найти вероятность того, что в течение 30 минут будет зарегистрировано:
а) три частицы;
б) не более трёх частиц.
5.16. Среди семян пшеницы 0,4 % семян сорняков. Найти вероятность того, что среди 5000 семян обнаружат:
а) восемь семян сорняков;
б) не менее пяти семян сорняков.
5.17. Среднее число отказов в работе радиоэлектронной схемы за 10000 часов равно восьми. Найти вероятность отказа схемы:
а) за десять часов;
в) за срок более десяти часов.
5.18. Среднее число звонков, поступающих по телефону справочной службы в течение суток, равно 200. Какова вероятность того, что в течение трех часов будет:
а) сорок звонков;
б) не менее сорока звонков.
5.19. Среднее число бракованных изделий в партии (1000 штук) равно восьми. Наугад из этой партии выбирают 100 изделий. Какова вероятность того, что среди выбранных:
а) нет бракованных;
б) не менее двух бракованных.
5.20. В результате испытания возможность осуществления некоторого события А характеризуется вероятностью p = 0,001. Выполнено 200 взаимно независимых испытаний. Найти вероятность того, что событие А произошло:
а) два раза;
б) не более десяти раз.
5.21. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом литре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в нём обнаружат:
а) два микроба;
б) более двух микробов.
5.22. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет:
а) на пяти веретенах;
б) не более чем на пяти веретенах.
5.23. В наблюдениях Резерфорда и Гейгера радиоактивное вещество за промежуток времени 7,5 секунд испускало в среднем 3,87 альфа частицы. Найти вероятность того, что за секунду это вещество испустит:
а) две альфа частицы;
б) менее двух альфа частиц.
5.24. При транспортировке изделие может быть повреждено с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что в партии из 1000 изделий в пути окажутся поврежденными:
а) три изделия;
б) более трёх изделий.
5.25. Вероятность того, что семя данного сорта растения не прорастёт, равна 0,04. Какова вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдут:
а) семь семян;
б) менее четырёх семян.
5.26. Вероятность изготовления бракованного телевизора равна 0,006. Найти вероятность того, что среди 500 случайно отобранных телевизоров окажется:
а) два бракованных;
б) менее семи бракованных.
5.27. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р = 0,002. Найти вероятность того, что при 800 испытаниях событие появится:
а) пять раз; б) не менее пяти раз.
5.28. Вероятность изготовления нестандартной детали р = 0,004. Какова вероятность того, что среди 1000 деталей окажется:
а) три нестандартные;
б) менее трёх нестандартных.
5.29. В принятой для сборки партии из 2000 деталей имеются 6 дефектных. Какова вероятность того, что среди 50 наугад взятых деталей:
а) нет дефектных;
б) менее двух дефектных.
5.30. При введении вакцины против некоторого заболевания иммунитет создается в 99,99 % случаев. Какова вероятность того, что из 1000 вакцинированных детей заболеет:
а) два ребенка;
б) менее четырех детей.
Задача 6. Повторение независимых испытаний. Локальная теорема Лапласа
Задачи 6.1 - 6.30. На конвейер за смену поступает п изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна р. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно т.
|
п |
Р |
т |
|||
6.1. |
300 |
0,75 |
240 |
|||
6.2. |
400 |
0,8 |
330 |
|||
6.3. |
625 |
0,8 |
510 |
|||
6.4. |
150 |
0,6 |
75 |
|||
6.5. |
100 |
0,9 |
96 |
|||
6.6. |
192 |
0,75 |
150 |
|||
6.7. |
600 |
0,6 |
375 |
|||
6.8. |
400 |
0,9 |
372 |
|||
6.9. |
144 |
0,8 |
120 |
|||
6.10. |
100 |
0,85 |
92 |
|||
6.11. |
220 |
0,55 |
140 |
|||
6.12. |
350 |
0,6 |
260 |
|||
6.13. |
300 |
0,9 |
280 |
|||
6.14. |
500 |
0,75 |
390 |
|||
6.15. |
250 |
0,65 |
190 |
|||
6.16. |
180 |
0,72 |
140 |
|||
6.17. |
420 |
0,83 |
380 |
|||
6.18. |
250 |
0,67 |
210 |
|||
6.19. |
600 |
0,84 |
570 |
|||
6.20. |
200 |
0,67 |
150 |
|||
6.21. |
1100 |
0,31 |
371 |
|||
6.22. |
1000 |
0,12 |
145 |
|||
6.23. |
900 |
0,43 |
427 |
|||
6.24. |
800 |
0,74 |
602 |
|||
6.25. |
700 |
0,23 |
185 |
|||
6.26. |
600 |
0,60 |
390 |
|||
6.27. |
500 |
0,27 |
156 |
|||
6.28 |
400 |
0,45 |
173 |
|||
6.29. |
300 |
0,58 |
209 |
|||
6.30. |
200 |
0,32 |
82 |
|||
Задача 7. Повторение независимых испытаний Интегральная теорема Лапласа.
Задачи 7.1 - 7.30. В некоторой партии п деталей. Вероятность того, что изделие стандартно равна р. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу изделий стандартных окажется от т1 до т2.
|
п |
р |
т1 |
т2 |
7.1. |
100 |
0,8 |
70 |
80 |
7.2. |
150 |
0,6 |
78 |
96 |
7.3. |
400 |
0,9 |
345 |
372 |
7.4. |
300 |
0,75 |
210 |
225 |
7.5. |
400 |
0,5 |
190 |
215 |
7.6. |
625 |
0,64 |
400 |
430 |
7.7. |
300 |
0,7 |
180 |
210 |
7.8. |
400 |
0,8 |
280 |
340 |
7.9. |
200 |
0,75 |
130 |
160 |
7.10. |
500 |
0,55 |
210 |
270 |
7.11. |
250 |
0,6 |
140 |
170 |
7.12. |
350 |
0.9 |
280 |
310 |
7.13. |
180 |
0,65 |
110 |
150 |
7.14. |
600 |
0,7 |
400 |
450 |
7.15. |
370 |
0,5 |
170 |
190 |
7.16. |
130 |
0,72 |
80 |
90 |
7.17. |
240 |
0,83 |
205 |
220 |
7.18. |
350 |
0,62 |
190 |
210 |
7.19. |
420 |
0,78 |
300 |
350 |
7.20. |
520 |
0,9 |
470 |
495 |
7.21. |
1720 |
0,72 |
1218 |
1259 |
7.22. |
1000 |
0,96 |
945 |
975 |
7.23. |
550 |
0,55 |
258 |
342 |
7.24. |
.800 |
0,80 |
629 |
651 |
7.25. |
500 |
0,50 |
235 |
265 |
7.26. |
1380 |
0,68 |
978 |
1060 |
7.27. |
1040 |
0,54 |
532 |
592 |
7.28. |
2000 |
0,98 |
1924 |
1956 |
7.29. |
750 |
0,75 |
573 |
583 |
7.30. |
950 |
0,95 |
880 |
900 |
Задача 8. Дискретные случайные величины. Функция распределения
Задачи 8.1 - 8.30. Определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины; построить функцию распределения F(x), если закон распределения этой случайной величины имеет вид:
8.1. |
значение |
12 |
14 |
18 |
24 |
27 |
|
вероятность |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
8.2. |
значение |
10 |
13 |
17 |
19 |
22 |
|
вероятность |
0,2 |
0,1 |
0 |
0,2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
8.3. |
значение |
120 |
135 |
150 |
180 |
185 |
|
вероятность |
? |
0,2 |
0,4 |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.4. |
значение |
16 |
26 |
37 |
42 |
51 |
|
вероятность |
0,3 |
0,1 |
0,08 |
? |
0,3 |
8.5. |
значение |
16 |
23 |
37 |
40 |
59 |
|
вероятность |
0,3 |
0,2 |
0,18 |
9 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
8.6. |
значение |
4,2 |
5,7 |
6,3 |
7,1 |
8,4 |
|
вероятность |
0,15 |
? |
0,22 |
0,13 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
8.7. |
значение |
90 |
110 |
140 |
150 |
170 |
|
вероятность |
0,23 |
0,17 |
? |
0,1 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
8.8. |
значение |
7,5 |
8,2 |
9,6 |
10,3 |
11,4 |
|
вероятность |
0,15 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
8.9. |
значение |
23 |
28 |
33 |
47 |
51 |
|
вероятность |
? |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
8.10. |
значение |
3,4 |
4,1 |
5,4 |
6,7 |
7,3 |
|
вероятность |
0,24 |
0,16 |
? |
0,2 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.11. |
значение |
240 |
250 |
260 |
270 |
280 |
|
вероятность |
0,15 |
? |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
8.12. |
значение |
42 |
45 |
48 |
49 |
51 |
|
вероятность |
? |
0,19 |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
8.13. |
значение |
15,2 |
16,3 |
17,1 |
18,4 |
19,4 |
|
вероятность |
0,25 |
0,1 |
0,3 |
? |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.14. |
значение |
32 |
35 |
37 |
39 |
43 |
|
вероятность |
0,23 |
? |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.15. |
значение |
61 |
64 |
67 |
69 |
71 |
|
вероятность |
0,16 |
? |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.16. |
значение |
23 |
25 |
27 |
28 |
30 |
|
вероятность |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
8.17. |
значение |
60 |
62 |
64 |
67 |
70 |
|
вероятность |
0,2 |
0,1 |
0;25 |
? |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
8.18 |
значение |
32 |
34 |
36 |
39 |
40 |
|
вероятность |
0,3 |
0,1 |
? |
0,2 |
0,25 |
8.19. |
значение |
78 |
79 |
80 |
83 |
85 |
|
вероятность |
0,2 |
? |
0,1 |
0,2 |
0,15 |
|
|
|
|
|
|
|
8.20. |
значение |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
|
вероятность |
0,3 |
0,1 |
? |
0,2 |
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
8.21. |
значение |
31 |
33 |
35 |
37 |
39 |
|
вероятность |
0,2 |
0,1 |
? |
0,5 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.22. |
значение |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
вероятность |
0,4 |
? |
0,2 |
0,1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
8.23. |
значение |
2,1 |
2,2 |
2,4 |
2,7 |
2,9 |
|
вероятность |
0,15 |
0,3 |
017 |
0,2 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
8.24. |
значение |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
вероятность |
0,2 |
0,16 |
0,4 |
? |
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
8.25. |
значение |
23 |
26 |
29 |
32 |
35 |
|
вероятность |
0,19 |
0,1 |
? |
1 0,3 |
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
8.26. |
значение |
57 |
60 |
63 |
66 |
69 |
|
вероятность |
0,3 |
0,1 |
0,41 |
0,16 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
8.27. |
значение |
140 |
143 |
145 |
147 |
149 |
|
вероятность |
9 |
0,2 |
0,15 |
0,3 |
0,28 |
|
|
|
|
|
|
|
8.28. |
значение |
7,1 |
8,1 |
9,1 |
10,1 |
11,1 |
|
вероятность |
0,1 |
? |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
8.29. |
значение |
201 |
203 |
205 |
209 |
213 |
|
вероятность |
0,17 |
0,16 |
0,15 |
? |
0,19 |
|
|
|
|
|
|
|
8.30. |
значение |
91 |
98 |
100 |
102 |
113 |
|
вероятность |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
? |
Задача 9. Дискретные случайные величины (составление законов распределения)
9.1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0,6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.2. Имеется семь лампочек, каждая из них с вероятностью 0,2 имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон, и включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х - числа лампочек, которые будут испробованы. Найти числовые характеристики случайной величины X.
9.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,4. Составить закон распределения библиотек, которые посетит студент, если в городе пять библиотек. Построить функцию распределения случайной величины и найти ее числовые характеристики.
9.4. Три стрелка делают по выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,6, вторым - 0,4 и третьим - 0,3. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа попаданий в мишень. Найти ее числовые характеристики.
9.5. Игральная кость брошена пять раз. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X -числа появления «шестерки». Найти числовые характеристики этой случайной величины.
9.6. Имеется шесть ключей, из которых только один подходит к замку. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа проб при открывании замка (учесть, что испробованный ключ в последующих пробах не участвует). Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.7. В корзине имеются семь шаров с номерами от одного до семи. Наугад вынули два шара. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - суммы номеров взятых наудачу шаров. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.8. В шестиламповом радиоприемнике, все лампы которого различны, перегорела одна лампа. Для устранения неисправности наудачу выбранную лампу заменяют заведомо годной из запасного комплекта, после чего проверяется работа приемника. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа замен ламп. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
9.9. Из корзины, содержащей восемь красных и четыре зеленых шаров, произвольно и без возврата выбирают пять шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х - числа красных шаров в выборке. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.10. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания, но успевает сделать не более пяти выстрелов. Вероятность попадания в мишень 0,4. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа выстрелов, произведенных стрелком; Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.11. Считая одинаковыми вероятность рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X, выражающей число мальчиков в семье, имеющей пять детей. Построить функцию распределения и найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.12. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более шести выстрелов. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х - числа промахов охотника. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.13. Вероятность изготовления стандартной детали некоторым цехом равна 0,9. Из партии контролер берет деталь и проверяет ее качество. Если деталь нестандартна, дальнейшие испытания прекращаются, а партия бракуется. Если же деталь стандартна, то контролёр берет для проверки следующую деталь и т.д. Всего он проверяет не более шести деталей из партии. Построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины Х - числа проверенных стандартных деталей. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.14. Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0,4. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X - числа попаданий в цель при семи выстрелах. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.15. В партии из 24 изделий шесть - дефектных. Произвольным образом выбрали пять изделий. Построить ряд распределения, функцию распределения случайной величины X - числа дефектных изделий из выбранных. Найти числовые характеристики этой случайной величины X.
9.16. На пути движения автомобиля четыре светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает автомобилю дальнейшее движение. Составить закон распределения вероятностей числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.
9.17. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковы и равны 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов, которые произведут охотники. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.
9.18. В корзине пять белых и три черных шара. Наудачу извлекают четыре шара. Составить закон распределения случайной величины Х - числа белых шаров среди выбранных. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.
9.19. Монета подбрасывается восемь раз. Составить закон распределения случайной величины X - числа появлений герба. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.
9.20. Брошены две игральные кости. Составить закон распределения случайной величины X - выражающей произведение выпавших очков. Найти числовые характеристики полученной случайной величины.
9.21. Баскетболист при броске мяча в кольцо попадает в него с вероятностью 0,9. Баскетболист производит пять бросков и останавливается после первого же попадания. Составить закон распределения случайной величины X - числа бросков в кольцо. Найти её числовые характеристики.
9.22. Электронный блок состоит из шести независимо работающих элементов, вероятность отказа которых равна 0,12. Составить закон распределения случайной величины Х - числа отказов элементов блока. Найти её числовые характеристики.
9.23. У студента имеется пять книг, в которых он должен найти определенную статью. Вероятность того, что эта статья есть в книге равна 0,7. Студент просматривает книги поочередно. Составить закон распределения случайной величины X - числа просмотренных книг. Найти её числовые характеристики.
9.24. После опроса по экзаменационному билету, экзаменатор задаёт студенту пять дополнительных вопросов. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент не ответит на заданный вопрос. Вероятность того, что студент ответит на любой дополнительный вопрос равна 0,85. Составить закон распределения случайной величины X - числа дополнительных вопросов, которые заданы студенту. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
9.25. В ралли участвуют шесть автомобилей. Вероятность того, что за время гонки автомобиль не сойдет с трассы равна 0,65. Составить закон распределения случайной величины X - числа автомобилей, финишировавших в гонке. Найти её числовые характеристики.
9.26. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимается одна карта за одной до тех пор, пока карта не окажется масти «пик». Составить закон распределения случайной величины X -количества карт, вытащенных из колоды, найти её числовые характеристики.
9.27. При покупке партии телевизоров (всего шесть) оказалось, что один из них бракованный, причем какой именно неизвестно. Телевизоры поочередно проверяются на исправность мастером для выявления бракованного. Составить закон распределения случайной величины X - числа осмотренных телевизоров, найти её числовые характеристики.
9.28. Брошено семь игральных костей. Составить закон распределения случайной величины X - числа выпавших «троек». Найти числовые характеристики этой случайной величины.
9.29. При покупке билета на авиарейс вероятность того, что билет есть в кассе равна 0,4. Всего из аэропорта в этот день отправляется пять рейсов. Составить закон распределения случай-
ной величины X - порядкового номера рейса, на который куплен билет. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
9.30. Шахматист должен сыграть семь партий. Вероятность выиграть в каждой из них равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины X - числа выигранных партий. Найти числовые характеристики этой случайной величины.
Задача 10. Непрерывная случайная величина (задана интегральная функция распределения)
Задача 10.1 - 10.30. Случайная величина X задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Найти:
а) дифференциальную функцию (плотность вероятности)
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал (α;β).
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.
10.8.
10.9.
10.10.
10.11.
10.12.
10.13.
10.14.
10.15.
10.16.
10.17.
10.18.
10.19.
10.20.
10.21.
10.22.
10.23.
10.24.
10.25.
10.26.
10.27.
10.28.
10.29.
10.30.
Задача 11. Непрерывная случайная величина (задана дифференциальная функция плотности)
Задача 11.1 - 11.30. Случайная величина X задана дифференциальной функцией (функцией плотности) f(x). Найти:
а) интегральную функцию (функцию распределения) F(x)
б) математическое ожидание и дисперсию;
в) вероятность попадания случайной величины X в интервал (α;β).
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.
11.7.
11.8.
11.9.
11.10.
11.11.
11.12.
11.13.
11.14.
11.15.
11.16.
11.17.
11.18.
11.19.
11.20.
11.21.
11.22.
11.23.
11.24.
11.25.
11.26.
11.27.
11.28.
11.29.
11.30.
Задача 12. Нормальное распределение случайной величины
Задача 12.1 - 12.30. Для нормально распределенной случайной величины X известны математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ. Найти:
а) вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (α;β);
б) вероятность того, что абсолютная величина разности X – a окажется меньше δ.
|
a |
σ |
α |
β |
δ |
12.1. |
10 |
4 |
8 |
20 |
8 |
12.2. |
7 |
3 |
3 |
13 |
6 |
12.3. |
8 |
2 |
4 |
14 |
6 |
12.4. |
9 |
5 |
5 |
15 |
8 |
12.5. |
10 |
4 |
6 |
16 |
10 |
12.6. |
11 |
3 |
7 |
17 |
6 |
12.7. |
12 |
5 |
8 |
18 |
10 |
12.8. |
13 |
3 |
9 |
19 |
4 |
12.9. |
14 |
4 |
10 |
20 |
10 |
12.10. |
15 |
5 |
11 |
21 |
6 |
12.11. |
10 |
4 |
2 |
13 |
8 |
12.12. |
9 |
5 |
5 |
14 |
7 |
12.13. |
8 |
1 |
4 |
9 |
3 |
12.14. |
7 |
2 |
3 |
10 |
4 |
12.15. |
6 |
3 |
3 |
11 |
7 |
12.16. |
5 |
1 |
1 |
12 |
2 |
12.17. |
4 |
5 |
2 |
11 |
3 |
12.18. |
3 |
2 |
3 |
10 |
5 |
12.19. |
2 |
2 |
1 |
5 |
2 |
12.20. |
3 |
2 |
2 |
6 |
1 |
12.21. |
4 |
3 |
3 |
7 |
3 |
12.22. |
5 |
3 |
4 |
8 |
2 |
12.23. |
6 |
3 |
5 |
9 |
4 |
12.24. |
4 |
1 |
1 |
5 |
2 |
12.25. |
4 |
2 |
2 |
6 |
3 |
12.26. |
5 |
2 |
3 |
7 |
2 |
12.27. |
6 |
3 |
5 |
9 |
3 |
12.28. |
10 |
4 |
2 |
13 |
8 |
12.29. |
9 |
5 |
5 |
14 |
7 |
12.30. |
8 |
1 |
4 |
9 |
3 |