11. Интервальные оценки

11.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность.

Доверительные интервалы для параметров нормально распреде­ленной

генеральной совокупности.

При статистической обработке результатов наблюдений следует не только найти оценку неизвестного параметра θ, но и охарактеризовать точность этой оценки. С этой целью вводится понятие доверительного интервала.

Доверительным интервалом для параметра θ называется интервал (θ₁, θ₂), содержащий (накрывающий) истинное значение θ с заданной вероятностью р = 1 - α, т.е. Р[θ₁ < θ < θ₂] = 1-α.

Число 1 - α называется доверительной вероятностью, а зна­чение α - уровнем значимости. Статистики θ₁ = θ₁(x₁,...,x_n) и θ₂ = θ₂(x₁,...,x_n), определяемые по выборке x₁,...,x_n из генераль­ной совокупности с неизвестным параметром θ, называются со­ответственно нижней и верхней границами доверительного ин­тервала.

Условие Р[θ₁ < θ < θ₂] = 1-α означает, что в большой серии независимых экспериментов, в каждом из которых получена вы­борка объема n, в среднем (1 - α)·100% из общего числа построенных доверительных интервалов содержат истинное значение параметра θ.

Длина доверительного интервала, характеризующая точ­ность интервального оценивания, зависит от объема выборки n и доверительной вероятности 1 - α: при увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается, а с приближе­нием доверительной вероятности к единице - увеличивается. Вы­бор доверительной вероятности определяется конкретными усло­виями. Обычно используются значения 1 - α, равные 0,90; 0,95; 0,99.

При решении некоторых задач применяются односторонние доверительные интервалы, границы которых определяют из усло­вий: Р[θ < θ₂] = 1-α или Р[θ₁ < θ] = 1-α.

В этом случае интервалы называются соответственно левосторонними и правосторонними доверительными интервалами.

Чтобы найти доверительный интервал для параметра θ, на­до знать закон распределения статистики = (х₁,...,х_п), значе­ние которой является оценкой параметра θ.

Для получения доверительного интервала наименьшей дли­ны при данном объеме выборки п и заданной доверительной веро­ятности 1-α в качестве оценки параметра θ следует брать эффективную либо асимптотически эффективную оценку.

Рассмотрим один из методов построения доверительных интервалов. Предположим, что существует статистика Y = Y( , θ) такая, что:

а) закон распределения Y известен и не зависит от θ;

б) функция Y( , θ) непрерывна и строго монотонна по θ. Пусть (1-α) - заданная доверительная вероятность, а у_а/2 и у_1-a/2 - квантили распределения статистики Y порядков α/2 и 1-α/2 соответственно. Тогда с вероятностью 1-α выполняется неравенство у_а/2 < Y( , θ) < у_1-a/2.

Решая это неравенство относительно θ, найдем границы θ _i и θ ₂ доверительного интервала для θ. Если плотность распреде­ления статистики Y симметрична относительно оси Оу, то доверительный интервал имеет наименьшую длину, а если это распре­деление несимметрично, то длину, близкую к наименьшей.

Пример 46. Пусть х₁,х₂,...,х_n - выборка из нормально рас­пределенной генеральной совокупности. Найти доверительный интервал для математического ожидания т при условии, что дис­персия генеральной совокупности известна и равна σ², а довери­тельная вероятность равна 1-α.

Решение. В качестве оценки математического ожидания т возьмем выборочное среднее . Для нормально распределенной генеральной совокупности выборочное среднее является эффективной оценкой т. Выборочное среднее в данном случае имеет нормальное распределение .

Рассмотрим статистику , имеющую нормальное распределение N(0,1) независимо от значения параметра т. Кро­ме того, U как функция т непрерывна и строго монотонна. Тогда , где и_а/2 и и_1-a/2 - квантили нормального распределения N(0,1).

Решая неравенство относительно т, по­лучим, что с вероятностью 1-α выполняется условие:

.

Так как квантили нормального распределения связаны со­отношением и_а/2=-u_1-a/2, полученный доверительный интервал для т можно записать следующим образом: