12.6. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез.

Следует заметить, что на множестве значений статистики критерия можно выбрать сколько угодно критических областей V_K для заданного уровня значимости α, однако соответствующие им критерии будут иметь различные вероятности ошибок второго рода.

Наилучшей критической областью (НКО) называют крити­ческую область, которая при заданном уровне значимости α обеспечивает минимальную вероятность ошибки второго рода. Критерий, использующий НКО, имеет максимальную мощность.

При проверке простой гипотезы Н₀ против простой альтер­нативы Н₁ НКО определяется леммой Неймана - Пирсона: НКО критерия заданного уровня значимости α состоит из точек, выборочного пространства (выборок объема п), для которых удовлетворяется неравенство , где с_α - константа, зависящая от заданного уровня значимости, -элементы выборки, а -функция правдоподобия, вычисленная при условии, что верна гипотеза Н_i ,i = 0,1.

Для рассмотренных выше критериев значимости, НКО раз­мещаются на «хвостах» распределений статистик критериев.

Пример 57. Пусть случайная величинах имеет нормальное распределение N(m, σ) с известной дисперсией σ².

а) Найти НКО для проверки гипотезы Н₀:т = т₀ против простой альтернативной гипотезы Н₁:m = m₁, где т₁ > т₀.

б) Найти функцию мощности критерия и вычислить ее зна­чение при значениях т₁ =1 и т₁ = 5, если т₀ = 0, объем выборки п = 25 , дисперсия генеральной совокупности σ² = 25 . Принять уровень значимости α = 0,05 .

Решение. а) Запишем отношение функций правдоподобия:

,

где , . По лемме Неймана - Пирсона НКО содержит только те точки выборочного пространства, для которых удовлетворяется неравенство :

,

причем по условию задачи т₁ - т₀ > 0. Так как отношение правдоподобия является убывающей функцией аргумента , условие леммы удовлетворяется при , где граница критической об­ласти х_к находится по заданному уровню значимости α из соот­ношения .

При условии, что справедлива гипотеза Н₀, имеет нормальное распределение , следовательно,

.

Отсюда следует, что:

.

Таким образом, граница х_к критической области равна , а НКО V_K имеет вид .

б) Найдем функцию мощности полученного критерия:

.

При значениях т₁ = 1 , т₀ = 0 , α = 0,05 , n = 25 , σ² = 25 мощность критерия

.

Если т₁ = 5, то мощность критерия

.

12.7. Критерий χ2 и его применение

а) Проверка гипотезы о виде распределения генеральной со­вокупности.

Пусть х₁,х₂,...,х_n - выборка наблюдений случайной величи­ны X. Проверяется гипотеза Н₀, утверждающая, что χ² имеет функцию распределения F_x(x).

Проверка гипотезы Н₀ при помощи критерия χ² осуществляется по следующей схеме: по выборке наблюдений находят оценки неизвестных параметров предполагаемого закона распределения случайной величины X. Далее, область возможных значе­ний случайной величины X разбивается на r множеств Δ₁, Δ₂,…, Δ_n, например, r интервалов в случае, когда Х- непре­рывная случайная величина, или r групп, состоящих из отдель­ных значений, для дискретной случайной величины X.

Пусть n_k - число элементов выборки, принадлежащих множеству Δ_k, k = 1,2,...,r . Тогда . Используя предполагаемый закон распределения случайной величины X, находят вероятности р_k того, что значение X принадлежит множеству Δ_k, т.е.

р_k = Р[Х  Δ_k], k = 1,2,...,r . Очевидно, что . Полученные результаты можно представить в виде следующей таблицы:

	Число наблюдений				Всего
	Δ1	Δ2	…	Δr
Наблюдаемое	n1	n2	…	nr	п
Ожидаемое	np1	np2	…	npr	п

Выборочное значение статистики критерия χ² вычисляется по формуле .

Гипотеза Н₀ согласуется с результатами наблюдений на уровне значимости α, если

,

где квантиль порядка 1- α распределения χ² с r-l-1 степенями свободы, а l - число неизвестных параметров распределения, оцениваемых по выборке; если же , то гипотеза Н₀ отклоняется.

Замечание. Критерий χ² использует тот факт, что случай­ная величина , k =1,2,...,r, имеет распределение, близкое к нормальному N(0,1). Чтобы это утверждение было достаточно точным, необходимо, чтобы для всех интервалов выполнялось условие пр_к ≥ 5. Если в некоторых интервалах это условие не вы­полняется, то их следует объединить с соседними.

Пример 58. В первых - двух столбцах таблицы 9 приведе­ны данные об отказах аппаратуры за 10000 часов работы. Общее число обследованных экземпляров аппаратуры n=757, при этом наблюдался отказ:

0·427+ 1·235+ 2·72 + 3·21+ 4·1+ 5·1 = 451

Таблица 9

Число отказов, k	Количество слу­чаев, в которых наблюдалось k отказов, пk		Ожидаемое число случаев с k отказами, прk
0	427	0,54881	416
1	235	0,32929	249
2	72	0,09879	75
3	21	0,01976	15
4	1	0,00296	2
5	1	0,00036	0
≥6	0	0,00004	0
Сумма	757	-	-

Проверить гипотезу о том, что число отказов имеет распре­деление Пуассона:

, k=0, 1, …, при α=0,01.

Решение. Оценка параметра λ равна среднему числу отка­зов: . По таблице приложений (П3) с λ = 0,6 находим вероятности р_k и ожидаемое число случаев с k отказами (третий и четвертый столбцы таблицы 10).

Для k = 4,5 и 6 значения пр_k < 5, поэтому объединяем эти строки со строкой для k= 3 . Итак, получаем значения, приведен­ные в таблице 9.

Таблица 10

k	пk	прk
0	427	416	0,291
1	235	249	0,787
2	72	75	0,120
≥3	23	17	2,118
-	-	-

Так как по выборке оценивался один параметр λ, то l = 1, число степеней свободы равно 4-1-1 = 2. По таблице приложе­ний (П5) находим χ²_0,99(2) = 9,21, гипотеза о распределении числа отказов по закону Пуассона принимается.

Пример 59. Проверить гипотезу о нормальном распределе­нии выборки из примера 51. Принять α = 0,1.

Решение. Объем выборки п = 55. Для проверки гипотезы о нормальном распределении нужно найти оценки математического ожидания и дисперсии. Имеем

,

.

Воспользуемся результатами группировки выборки примера 50, расширив первый и последний интервалы. Результаты группиров­ки приведены во втором и третьем столбцах таблицы 11.

Таблица 11

Номер интервала k	Границы интервала Δk	Наблюдаемая частота nk	Вероятность попадания в интервал Δk, pk	Ожидаемая частота, npk	npk	nk - npk
	- ∞ -
1	12	2	0 0228		5,274
2	12-14	4	0,0731			0,725	0,010
3	14-16	8	0,1686	9,273	9,273	-1,273	0,175
4	16-18	12	0,2576	14,168	14,168	-2,168	0,332
5	18-20	16	0,2484	13,662	13,662	-2,338	0,400
6	20-22	10	0,1519		12,633
7	22-	3	0,0778			0,366	0,011
	+ ∞
	Сумма	55	1,0001	55	55	-	0,928

В четвертом столбце таблицы 11 приведены вероятности р_k, вычисляемые по формуле:

,

где а_к и b_к - соответственно нижняя и верхняя границы интерва­лов, а значения функции Ф(х) берутся из таблицы приложений (П1). В пятом столбце приводятся ожидаемые частоты пр_k, а в шестом - значения пр_k после объединения первых двух и послед­них двух интервалов.

Так как после объединения осталось r = 5 интервалов, а по выборке определены оценки двух параметров, т.е. l = 2 , то число степеней свободы равно 5-2-1 = 2.

По таблице приложений (П5) находим χ²_0,90(2) = 4,61. Вы­борочное значение статистики критерия равно χ²_B= 0,928, следо­вательно, гипотеза о нормальном распределении выборки прини­мается.

б) Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин.

Пусть проведено п экспериментов, результаты которых яв­ляются значениями дискретных случайных величин X и Y, кото­рые принимают соответственно значения x₁,x₂,...,x_k и у₁,у₂,...,у_l.

Обозначим п_ij число экспериментов, в которых X = х_i и Y =y_j, i= 1,2,...,k; j = 1,2,...,l. Если Х и Y- непрерывные случайные ве­личины, то область значений каждой из них разбивается на конечное число интервалов. В этом случае п_ij - число эксперимен­тов, в которых случайная величина X попала в i -й интервал, а случайная величина Y-в j-й интервал. Результаты п экспери­ментов можно представить в виде таблицы сопряженности при­знаков размера k x l (таблица 12).

Проверяется гипотеза Н₀, утверждающая, что случайные величины X и Y независимы. Если гипотеза Н₀ верна, то по опре­делению:

.

Пусть и -оценки вероятностей р_i и q_j. Если гипотеза Н₀ верна, то ожидаемое число эксперимен­тов , в которых случайная величина X попала в i-й интервал, а случайная величина Y- в j-й интервал, равно

.

Для проверки гипотезы Н₀ по критерию χ² используют следующую статистику: .

При условии, что гипотеза Н₀ верна, а все ожидаемые частоты ≥4, i = 1,2,...,k; j = 1,2,...,l, указанная статистика имеет распределение χ² с (k^_1)(l-1) степенями свободы.

Гипотеза Н₀ о независимости случайных величин X и Y принимается на уровне значимости α, если выборочное значение этой статистики меньше квантили χ²_1-α((k-1)(l-1)), т.е. если χ²_В< χ²_1-α((k-1)(l-1)).

Если χ²_В≥ χ²_1-α((k-1)(l-1)) гипотеза Н₀ отклоняется. Для вычисления выборочного значения статистики крите­рия удобно использовать формулу

.

Замечания. 1. Если ожидаемые частоты n_ij для некоторых клеток таблицы 12 не удовлетворяют условию ≥ 4, то соответ­ствующие строки и столбцы должны быть объединены с соседни­ми строками и столбцами.

Таблица 12

Y X	y1	y2	…	yl
x1	n11	n12	…	n1l	n1
x2	n21	n22	…	n2l	n2
…	…	…	…	…	…
xk	nk1	nk2	…	nkl	nk
	n1	n2	…	nl	n••=n

2. Если (k-1)(l-1)≥8 и n≥40, то минимальное допусти­мое значение ожидаемых частот может быть равным единице.

Случайные величины X и Y можно рассматривать как два признака, по которым классифицируется выборка объема п; неза­висимость X и Y соответствует независимости этих признаков.

Во многих случаях требуется проверить гипотезу об одно­родности нескольких выборок или, другими словами, гипотезу о том, что эти выборки получены из одной генеральной совокупности. Если проверяется однородность k различных выборок с объе­мами п₁,п₂,...,п_k и эти выборки могут быть записаны в виде таб­лицы сопряженности признаков размера k х l (см. табл. 12), то для проверки используется тот же критерий, что и для проверки неза­висимости двух признаков.

Пример 60. Комплектующие изделия одного наименования поступают с трех предприятий А, В и С. Результаты проверки из­делий следующие:

Результаты проверки	Поставщики			Всего
	А	В	С
Годные	29	38	53	120
Негодные	1	2	7	10
Всего	30	40	60	130

Можно ли считать, что качество изделий не зависит от по­ставщика? Принять α = 0,10.

Решение. Проверим гипотезу о независимости двух призна­ков: качества изделия и места его изготовления. Находим

;

число степеней свободы (2 —1)(3 — 4) = 2. Так как по таблице при­ложений (П5) χ²_0,90(2) = 4,605, то это означает, что качество из­делий не зависит от поставщика.

Заметим, что утверждение о том, что качество изделий не зависит от поставщика, можно трактовать как проверку гипотезы об однородности трех выборок изделий объемом 30, 40 и 60, по­лученных соответственно от поставщиков А, В и С.