Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

практикум по теории вероятностей УМО.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2025

Размер:

5 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3535

Варианты: 2.26. -2.30.

значения	2.26.		2.27.		2.28.		2.29.		2.30.
k	Х_k	Y_k	Х_k	Y_k	Х_k	Y_k	Х_k	Y_k	Х_k	Y_k
1	21,0	51,2	4,20	5,48	12,5	5,2	13,2	5,54	28,1	15,8
2	20,3	52,4	5,83	4,97	16,7	7,3	11,4	5,62	29,0	16,2
3	19,6	52,7	5,94	6,68	16,2	8,4	13,1	4,00	30,5	16,5
4	20,0	51,2	6,92	4,97	15,4	9,0	12,0	5,62	28,7	17,0
5	20,5	50,6	4,29	5,74	17,7	7,5	12,5	4,73	31,2	15,5
6	20,6	49,8	4,27	6,35	15,1	7,7	14,4	5,65	30,5	14,2
7	19,4	49,0	6,07	4,03	15,2	6,4	12,5	5,46	27,4	20,8
8	21,5	49,3	4,13	4,29	14,8	5,8	13,3	6,12	26,9	15,0
9	19,4	50,7	5,22	6,38	13,9	8,2	13,1	6,94	28,1	17,0
10	20,1	51,4	6,49	5,94	15,4	8,9	13,0	5,92	31,6	16,2
11	19,6	52,9	6,54	5,74	16,2	7,4	14,0	5,08	30,5	16,6
12	20,0	49,6	5,43	6,76	13,2	6,5	13,4	5,12	26,2	12,5
13	20,9	49,4	6,12	6,12	15,8	6,9	12,8	5,24	27,8	12,7
14	20,6	52,6	5,41	6,7	15,3	7,2	11,4	5,64	31,5	14,0
15	.19,4	51,9	5,26	6,7	17,8	8,6	12,7	5,56
16	20,4	52,4	4,83	6,82	16,6	7,1	12,9	5,06
17	20,2	50,1	4,95	6,36			13,9	6,04
18	21,2	52,8	6,20	4,66			13,5	5,76
19	19,6	50,0					15,0	5,28
20	18,5	53,0

Задача 3. Нормальное распределение. Доверительные интервалы для математического ожидания

Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n.

Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ = 0,95 .

	σ		n
3.1.	10	18,21	16
3.2.	9	18,31	49
3.3.	1	20,11	64
3.4.	2	20,01	36
3.5.	4	18,81	81
3.6.	5	18,71	25
3.7.	6	19,91	49
3.8.	12	20,02	36
3.9.	3	18,51	25
3.10	7	18,41	54
3.11.	1	15,22	100
3.12.	6	12,71	25
3.13.	7	13,41	49
3.14.	10	14,32	16
3.15.	9	12,42	36
3.16.	15	11,41	25
3.17.	6	12,83	36
3.18.	2	20,74	49
3.19.	5	16,28	16
3.20.	10	17,24	21
3.21.	11	16,52	36
3.22.	7	15,61	64
3.23.	8	23,18	25
3.24.	9	25,01	49
3.25.	12	23,12	100
3.26.	5	24,01	25
3.27.	3	26,14	64
3.28.	2	15,03	16
3.29.	1	15,34	25
3.30.	14	25,01	36

Задача 4. Биномиальное распределение. Оценка р* неизвестного параметра р

Случайная величина X имеет биномиальный закон распределения , неизвестным является параметр р. Найти по реализации выборки (Х₁,Х₂,...,Х_n) значение оценки р* неизвестного параметра р.

Указание. Для получения точечных оценок использовать указанный метод: варианты 1 - 15 - метод моментов; 16 - 30 — метод максимального правдоподобия.

4.1.	52	48	49	49	52	50	47	48	65
4.2.	117	131	128	118	125	135	123	119	150
4.3.	32	37	33	3.5	27	36	35	34	50
4.4.	101	98	113	117	98	93	105	103	140
4.5.	27	34	26	33	33	36	28	30	50
4.6.	81	97	75	79	85	81	78	73	100
4.7.	19	13	10	11	20	22	15	14	30
4.8.	73	75	69	74	73	77	68	70	110
4.9.	43	39	41	45	36	42	41	37	70
4.10.	5	12	8	15	4	3	7	6	25
4.11.	25	41	36	34	31	40	15	22	60
4.12.	40	31	65	56	71	54	36	47	100
4.13.	36	70	63	58	93	81	25	38	по
4.14.	18	16	23	14	11	15	27	10	40
4.15.	35	28	16	45	22	14	39	27	60
4.16.	25	35	39	41	32	34	28	27	50
4.17.	67	73	85	63	56	94	55	66	130
4.18.	35	41	30	36	38	42	35	32	80
4.19.	167	152	155	161	166	157	158	162	300
4.20.	25	34	12	36	18	33	16	17	50
4.21.	18	37	45	33	27	36	19	40	70
4.22.	98	79	83	85	91	81	86	84	100
4.23.	45	78	83	66	62	71	73	50	90
4.24.	14	13	17	15	20	25	13	22	45
4.25.	35	53	43	35	34	44	37	30	60
4.26.	35	45	74	77	85	86	89	62	150
4.27.	11	15	17	20	15	13	17	11	30
4.28.	33	12	15	17	25	20	28	17	40
4.29.	21	11	28	12	13	15	22	19	50
4.30.	83	94	74	77	85	89	80	81	100

Задача 5. Двумерная случайная величина. Диаграмма рассеивания

Найти коэффициенты корреляции между данными признаками, построить диаграммы рассеивания, определить и нанести на диаграмму прямые регрессии Y на Х и Х на Y по данным выборкам:

5.1

5.2.	X	10	9	11	5
	Y	6	2	5	4

5.3.	X	105	90	74	100
	Y	71	43	29	90

5.4.	X	83	101	95	87	73
	Y	56	44	63	51	49

5.5.	X	12	20	17	8
	Y	3	11	6	2

5.6.	X	10	13	22	9	4
	Y	5	9	7	1	2

5.7.	X	77	85	56	60
	Y	20	13	10	15

5.8.	X	33	57	61	49	55
	Y	6	15	20	25	13

5.9.	X	105	117	120	101
	Y	78	82	64	60

5.10.	X	68	73	81	79	61
	Y	19	10	15	21	30

5.11.	X	58	45	39	27
	Y	9	13	20	15

5.12.	X	31	26	34	28
	Y	11	18	9	5

5.13.	X	8	6	10	7	13
	Y	1	3	2	5	9

5.14.	X	22	38	41	48
	Y	11	16	25	27

5.15.	X	87	78	69	75	82
	Y	26	31	44	33	40

5.16.	X	76	73	65	89
	Y	16	10	12	23

5.17.	X	123	144	136	129	116
	Y	21	57	48	33	40

5.18.	X	19	35	24	41
	Y	8	5	4	10

5.19.	X	109	118	121	100	95
	Y	73	59	67	41	51

5.20.	X	103	110	108	99
	Y	67	70	55	48

5.21.	X	89	73	61	93	82
	Y	28	37	14	30	19

5.22.	X	18	11	23	9
	Y	8	1	13	4

5.23.	X	22	49	68	36	54
	Y	8	18	24	13	21

5.24.	X	111	102	123	131
	Y	69	58	82	75

5.25.	X	96	73	87	91	65
	Y	21	13	18	26	15

5.26.	X	31	42	39	54	47
	Y	19	23	13	20	9

5.27.	X	11	7	13	4
	Y	6	3	8	1

5.28.	X	70	83	79	64	58
	Y	27	18	10	15	9

5.29.	X	18	29	48	36	42
	Y	2	16	27	14	25

5.30.	X	107	115	101	123
	Y	87	93	66	79

Задача 6. Вычисление квантилей

Используя таблицы квантилей и свойства распределений χ² , Стьюдента и Фишера, найти указанные квантили:

Варианты: 6.1. - 6.10.

6.1.	χ²_0,05(7)	χ²_0,99(150)
6.2.	χ²_0,05(9)	χ²_0,99(105)
6.3.	χ²_0,05(5)	χ²_0,99(120)
6.4.	χ²_0,05(8)	χ²_0,99(114)
6.5.	χ²_0,05(10)	χ²_0,99(133)
6.6.	χ²_0,05(6)	χ²_0,99(145)
6.7.	χ²_0,05(4)	χ²_0,99(102)
6.8.	χ²_0,05(5)	χ²_0,99(118)
6.9.	χ²_0,05(8)	χ²_0,99(127)
6.10.	χ²_0,05(9)	χ²_0,99(109)

Варианты: 6.11.-6.20. Варианты: 6.21. - 6.30.

6.21.	F_0,05(2,5)	F_0,99(100,5)	F_0,0₁(60,90)
6.22.	F_0,05(3,7)	F_0,99(93,6)	F_0,0₁(50,70)
6.23.	F_0,05(4,9)	F_0,99(110,8)	F_0,0₁(59,80)
6.24.	F_0,05(2,7)	F_0,99(101,6)	F_0,0₁(63,95)
6.25.	F_0,05(3,5)	F_0,99(94,5)	F_0,0₁(60,70)
6.26.	F_0,05(1,8)	F_0,99(100,2)	F_0,0₁(58,91)
6.27.	F_0,05(4,8)	F_0,99(106,3)	F_0,0₁(65,80)
6.28.	F_0,05(5,9)	F_0,99(107,2)	F_0,0₁(70,99)
6.29.	F_0,05(4,5)	F_0,99(109,4)	F_0,0₁(55,86)
6.30.	F_0,05(3,6)	F_0,99(100,7)	F_0,0₁(66,75)

6.11.	t_0,0₁(11)	t_0,0₅(110)
6.12.	t_0,0₁(17)	t_0,0₅(95)
6.13.	t_0,0₁(20)	t_0,0₅(86)
6.14.	t_0,0₁(12)	t_0,0₅(105)
6.15.	t_0,0₁(15)	t_0,0₅(116)
6.16.	t_0,0₁(17)	t_0,0₅(99)
6.17.	t_0,0₁(13)	t_0,0₅(103)
6.18.	t_0,0₁(19)	t_0,0₅(112)
6.19.	t_0,0₁(14)	t_0,0₅(90)
6.20.	t_0,0₁(18)	t_0,0₅(124)

Задача 7. Нормально распределенная случайная величина. Доверительные интервалы для математического ожидания

Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданием а и известной дисперсией σ². По выборке (х₁,х₂,...,х_n) объема п вычислено выборное

среднее . Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения а, отвечающей заданной доверительной вероятности γ .

	а^*	п	σ²	γ
7.1.	110	150	100	0,95
7.2.	110	130	100	0,99
7.3.	110	110	100	0,98
7.4.	110	90	100	0,90
7.5.	120	150	144	0,95
7.6.	120	130	144	0,98
7.7.	120	110	144	099
7.8.	120	90	144	0,90
7.9.	110	150	100	0,95
7.10.	110	130	100	0,90
7.11.	110	110	100	0,98
7.12.	110	90	100	0,99
7.13.	120	150	144	0,98
7.14.	120	130	144	0,95
7.15.	120	110	144	0,99
7.16.	120	90	144	0,95
7.17.	110	150	100	0,90
7.18.	110	130	100	0,90
7.19.	110	110	100	0,95
7.20.	110	90	100	0,98
7.21.	120	150	144	0,95
7.22.	120	130	144	0,99
7.23.	120	110	144	0,95
7.24.	120	90	144	0,90
7.25.	110	150	100	0,98
7.26.	110	130	100	0,95
7.27.	110	110	100	0,98
7.28.	110	90	100	0,90
7.29.	120	150	144	0,99
7.30.	120	130	144	0,95

Задача 8. Биномиальное распределение. Доверительный интервал для вероятности р

В серии из n выстрелов по мишени наблюдалось m попаданий. Найти доверительный интервал для вероятности p попадания в мишень при доверительной вероятности γ = 0,95 .

	n	m		n	m
8.1.	30	10	8.16.	31	14
8.2.	30	11	8.17.	32	15
8.3.	30	12	8.18.	33	16
8.4.	30	13	8.19.	34	17
8.5.	30	14	8.20.	35	18
8.6.	30	15	8.21.	36	19
8.7.	30	16	8.22.	37	20
8.8.	30	17	8.23.	38	21
8.9.	30	18	8.24.	39	22
8.10.	30	19	8.25.	40	23
8.11.	31	8	8.26.	36	19
8.12.	32	8	8.27.	37	20
8.13.	33	8	8.28.	38	21
8.14.	34	8	8.29.	39	22
8.15.	35	8	8.30.	40	23

Задача 9. Биномиальное распределение. Определение по заданной доверительной границе серии опытов

В серии из n опытов событие А не наступило ни разу. Определить число опытов n, при котором верхняя доверительная граница для вероятности Р(А) равна заданному числу р₁. Доверительную вероятность принять равной 0,9.

	р₁		р₁
9.1.	0,01	9.16.	0,018
9.2.	0,02	9.17.	0,019
9.3.	0,03	9.18.	0,02
9.4.	0,04	9.19.	0,021
9.5.	0,05	9.20.	0,022
9.6.	0,06	9.21.	0,023
9.7.	0,07	9.22.	0,024
9.8.	0,08	9.23.	0,025
9.9.	0,09	9.24.	0,026
9.10.	0,011	9.25.	0,027
9.11.	0,012	9.26.	0,028
9.12.	0,013	9.27.	0,029
9.13.	0,014	9.28.	0,03
9.14.	0,015	9.29.	0,031
9.15.	0,016	9.30.	0,014

Задача 10. Равномерное распределение. Проверка гипотезы

В результате взвешиваний п мальков получено эмпирическое распределение, записанное в таблице (в первой строке указан интервал веса в граммах, во второй - частота, т.е. количество мальков, вес которых попадает в указанный интервал). Надо при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что вес мальков X распределен равномерно.

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.1.	20,0-20,5	81	10.2.	30,0-31,0	73
	20,5-21,0	76		31,0-32,0	59
	21,0-21,5	50		32,0-33,0	82
	21,5-22,0	74		33,0-34,0	91
	22,0-22,5	70		34,0-35,0	58
	22,5-23,0	63		35,0-36,0	70
	23,0-23,5	61		36,0-37,0	72
	23,5-24,0	60		37,0-38,0	65
	24,0-24,5	55		38,0-39,0	87
	24,5-25,0	60		39,0-40,0	93

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.3.	12,1-13,1	63	10.4.	15,0-16,0	48
	13,1-14,1	81		16,0-17,0	54
	14,1-15,1	83		17,0-18,0	60
	15,1-16,1	70		18,0-19,0	52
	16,1-17,1	75		19,0-20,0	41
	16,1-17,1	75		20,0-21,0	36
	17,1-18,1	58		22,0-23,0	40
	18,1-19,1	71		23,0-24,0	38
	19,1-20,1	92		24,0-25,0	39
	20,1-21,1	68		25,0-26,0	42
	21,1-22,1	74

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.5	7,3-7,5	48	10.6	10,5-10,7	28
	7,5-7,7	37		10,7-10,9	43
	7,7-7,9	42		10,9-11,1	34
	7,9-8,1	35		11,1-11,3	42
	8,1-8,3	38		11,3-11,5	36
	8,3-8,5	29		11,5-11,7	39
	8,5-8,7	33		11,7-11,9	45
	8,7-8,9	21		11,9-12,1	49
	8,9-9,1	35		12,1-12,3	40
	9,1-9,3	32		12,3-12,5	44

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.7	9,8-10,1	63	10.8	11,6-12,0	78
	10,1-10,4	67		12,0-12,4	80
	10,4-10,7	59		12,4-12,8	62
	10,7-11,0	47		12,8-13,2	91
	11,0-11,3	65		13,2-13,6	104
	11,3-11,6	57		13,6-14,0	95
	11,6-11,9	72		14,0-14,4	90
	11,9-12,2	70

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.9	8,7-9,0	97	10.10	13,2-13,7	110
	9,0-9,3	105		13,7-14,2	102
	9,3-9,6	101		14,2-14,7	97
	9,6-9,9	98		14,7-15,2	95
	9,9-10,2	89		15,2-15,7	100
	10,2-10,5	73		15,7-16,2	105
	10,5-10,8	87		16,2-16,7	91

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.11	21,3-21,7	64	10.12	12,4-12,9	88
	21,7-22,1	68		12,9-13,4	95
	22,1-22,5	72		13,4-13,9	79
	22,5-22,9	58		13,9-14,4	90
	22,9-23,3	61		14,4-14,9	100
	23,3-23,7	75		14,9-15,4	93
	23,7-24,1	56		15,4-15,9	85
	24,1-24,5	46		15,9-16,4	70

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.13	6,7-7,0	93	10.14	11,0-11,5	11
	7,0-7,3	100		11,5-12,0	79
	7,3-7,6	96		12,0-12,5	104
	7,6-7,9	125		12,5-13,0	80
	7,9-8,2	80		13,0-13,5	88
	8,2-8,5	97		13,5-14,0	97
	8,5-8,8	102		14,0-14,5	85
	8,8-9,1	107		14,5-15,0	90

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.15	9,2-9,6	102	10.16	8,0 - 8,6	122
	9,6-10,0	87		8,6 - 9,2	88
	10,0-10,4	66		9,2-9,8	143
	10,4-10,8	83		9,8-10,4	97
	10,8-11,2	81		10,4-11,0	48
	11,2-11,6	79		11,0-11,6	32
	11,6-12,0	62		11,6-12,2	120
	12,0-12,4	90

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.17	2,7-3,1	115	10.18	14,2-15,0	93
	3,1-3,5	112		15,0-15,8	86
	3,5-3,9	98		15,8-16,6	87
	3,9-4,3	123		16,6-17,4	94
	4,3-4,7	132		17,4-18,2	102
	4,7-5,1	140		18,2-19,0	103
				19,0-19,8	105

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.19	16,8-17,0	142	10.20	9,1-9,8	124
	17,0-17,2	149		9,8-10,5	148
	17,2-17,4	128		10,5- 11,2	116
	17,4-17,6	171		11,2-11,9	132
	17,6- 17,8	150		11,9-12,6	145
				12,6-13,3	155

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.21	12,5-12,8	101	10.22	22,4 - 22,9	93
	12,8-13,1	103		22,9-23,4	95
	13,1-13,4	98		23,4-23,9	87
	13,4-13,7	102		23,9 - 24,4	104
	13,7-14,0	104		24,4-25,9	85
	14,0- 14,3	99		25,9 - 26,4	116
	14,3-14,6	103

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.23	17,3-17,6	95	10.24	15,1-15,6	113
	17,6-17,9	100		15,6-16,1	114
	17,9-18,2	93		16,1-16,6	117
	18,2-18,5	97		16,6-17,1	116
	18,5-18,8	105		17,1-17,6	118
				17,6-18,1	112
				18,1-18,6	110

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.25	13,7-13,9	97	10.26	16,4-17,0	98
	13,9- 14,1	93		17,0-17,6	100
	14,1 - 14,3	91		17,6-18,2	102
	14,3-14,5	99		18,2-18,8	94
	14,5-14,7	95		18,8-19,4	96
	14,7-14,9	96		19,4-20,0	103
	14,9-15,1	93		20,0-20,6	97
	15,1-15,3	96

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.27	10,0-10,7	91	10.28	18,3-18,7	137
	10,7-11,4	89		18,7-19,1	133
	11,4-12,1	92		19,1-19,5	134
	12,1-12,8	88		19,5-19,9	136
	12,8-13,5	94		19,9-20,3	138
	13,5-14,2	86		20,3-20,7	132
	14,2-14,9	87
	14,9-15,6	93

	x_i	n_i		x_i	n_i
10.29	14,3 - 14,8	82	10.30	5,4-6,0	80
	14,8-15,3	83		6,0 - 6,6	79
	15,3-15,8	85		6,6-7,2	78
	15,8-36,3	87		7,2 - 7,8	75
	16,3-16,8	89		7,8 - 8,4	83
	16,8-17,3	81		8,4-9,0	81
	17,3-17,8	77		9,0-9,6	77
				9,6-10,2	82

Задача 11. Распределение Пуассона. Проверка гипотезы

В результате эксперимента, состоящего из п испытаний, в каждом из которых регистрировалось число x_i появлений некоторого события, получено следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество x_i появлений события, во второй строке – частота n_i , т.е. число испытаний, в котором наблюдалось x_i появление события). При уровне значимости 0,05 проверьте гипотезу в том, что случайная величина X – число появлений события – распределена по закону Пуассона.

Указание. Малочисленные частоты групп следует объединять.

11.1.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	505	336	125	24	8	2

11.2.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	128	102	87	62	9	7	5

11.3.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	186	169	76	43	16	6	3	1

11.4.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	129	110	86	20	4	1

11.5.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	214	197	100	63	12	9	5

11.6.	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	338	293	63	4	2

11.7.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	379	290	99	28	3	1

11.8.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	219	203	139	69	15	3	2

11.9.	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	240	196	93	16	5

11.10.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	196	173	89	75	42	14	9	2

11.11.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	176	136	98	69	17	3	1

11.12.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	158	139	113	75	54	36	20	5

11.13.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	186	204	87	48	52	20	3

11.14.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	147	116	68	10	6	3

11.15.	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	109	65	22	3	1

11.16.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	210	127	48	25	6	3	1

11.17.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	187	105	46	23	4	3
11.18.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	74	26	12	10	6	4	3	1

11.19.	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	163	65	35	4	2

11.20.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	203	115	50	20	10	3	1

11.21.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	96	30	14	10	3	1

11.22.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	107	45	18	13	10	6	4	3

11.23.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	170	93	41	30	5	3

11.24.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	50	15	13	11	10	5	3	1

11.25.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	131	63	17	15	9	4	2

11.26.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	50	17	15	10	3	1

11.27.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	65	17	14	13	8	6	3	2

11.28.	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	70	21	19	12	10	6	3	1

11.29.	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	150	73	25	22	4	2

11.30.	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	101	40	15	11	7	3	1

Задача 12. Биноминальное распределение. Проверка гипотезы

Отдел технического контроля проверил n партий изделий, в каждой из которой по N изделий, и получил следующее эмпирическое распределение дискретной случайной величины X – числа нестандартных изделий (в первой строке указано число x_i нестандартных изделий в одной партии; во второй строке – частота n_i , т.е. количество партий, содержащих x_i нестандартных изделий). При уровне значимости 0,01 проверьте гипотезу о том, что случайная величина X распределена по биноминальному закону.

12.1	N=10
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	2	3	10	22	26	20	12	5

12.2	N=9
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	72	77	34	14	2	1

12.3	N=8
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	62	41	28	12	4	3

12.4	N=7
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	16	37	24	13	5	4	1

12.5	N=4
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	9	28	23	20	15	3	2

12.6	N=5
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	56	40	24	17	10	2	1

12.7	N=10
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	18	37	23	18	3	1

12.8	N=8
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	62	57	48	16	8	6	2	1

12.9	N=3
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	23	38	37	22	20	12	5	3

12.10	N=5
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	53	96	34	9	5	2	1

12.11	N=5
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	26	41	33	15	3	2

12.12	N=7
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	29	54	37	33	28	11	5	3

12.13	N=12
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	7	23	57	39	13	7	4

12.14	N=8
	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	45	33	9	2	1

12.15	N=10
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	25	36	18	17	3	1

12.16	N=6
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	18	27	35	16	6	3

12.17	N=8
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	25	13	7	17	20	14	5

12.18	N=11
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	19	8	11	15	12	6	3	1

12.19	N=10
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	9	7	11	9	8	4	1

12.20	N=9
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	17	9	16	8	12	14	7	5

12.21	N=6
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	20	29	16	33	38	18

12.22	N=5
	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	10	18	16	24	8

12.23	N=7
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	13	27	18	13	5	7

12.24	N=10
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	17	22	25	19	10	12	3	1

12.25	N=7
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	11	17	8	16	19	12	7

12.26	N=5
	x_i	0	1	2	3	4
	n_i	43	39	55	44	50

12.27	N=8
	x_i	0	1	2	3	4	5	6
	n_i	19	23	20	27	15	35	28

12.28	N=9
	x_i	0	1	2	3	4	5	6	7
	n_i	14	10	8	13	15	10	16	11

12.29	N=7
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	10	13	8	16	17	15

12.30	N=8
	x_i	0	1	2	3	4	5
	n_i	8	11	10	13	16	7

Задача 13. Проверка статистических гипотез о равенстве средних u дисперсий двух нормальных совокупностей

Проверить статистическую гипотезу о равенстве средних и дисперсий двух нормальных совокупностей, если заданы параметры случайных векторов X и Y по некоторым временным характеристикам n₁ и n₂ . Придерживайтесь следующей схемы действий:

1) создайте векторы x=morm(n₁,a,σ) +0,1runit(n₁,0,a/2); y=morm(n₂,a,σ) +0,2runit(n₂,0,a/2);

2) вычислите средние и дисперсии этих выборочных совокупностей;

3) вычислите эмпирические значения критерия F для сравнения дисперсий и критерия Т для сравнения средних;

4) из таблицы F – распределения Фишера при заданном уровне значимости β=0,05 найдите критическое значение критерия F;

5) сделайте вывод о значимости различия между дисперсиями двух выборочны совокупностей;

6) если различие дисперсий несущественно, найдите критическое значение критерия T из таблицы t – распределения Стьюдента при уровне значимости β=0,05;

7) сделайте вывод о различии средних двух выборочных совокупностей:

13.1	3,84	0,96	10	12
13.2	40,26	2,34	12	8
13.3	1,05	0,29	10	9
13.4	0,82	0,13	12	9
13.5	0,65	0,12	12	12
13.6	11,69	1,58	8	10
13.7	5,46	0,96	12	10
13.8	25,10	4,61	1	9
13.9	18,98	3,56	10	12
13.10	17,15	3,73	12	12
13.11	1,72	0,32	10	11
13.12	40,53	2,71	8	12
13.13	3,96	1,01	12	10
13.14	0,78	0,16	11	9
13.15	12,28	1,46	9	12
13.16	2,54	0,87	11	14
13.17	28,45	4,63	12	10
13.18	17,41	1,77	9	12
13.19	12,56	2,83	6	9
13.20	1,98	0,48	11	14
13.21	4,86	1,24	7	9
13.22	6,79	0,59	8	11
13.23	13,46	3,08	10	13
13.24	32,48	5,17	9	12
13.25	5,74	0,79	7	10
13.26	14,85	1,98	12	10
13.27	29,63	3,87	9	6
13.28	47,09	4,07	10	11
13.29	57,04	3,54	11	9
13.30	16,20	1,24	8	7

Задача 14. Нормальное распределение. Эмпирические и теоретические частоты

При уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, если известны эмпирические и теоретические частоты.

14.1	Эмпирические частоты	5	12	36	75	108	101	30	15
	Теоретические частоты	3	14	40	81	97	96	42	12

14.2	Эмпирические частоты	6	12	29	112	68	73
	Теоретические частоты	9	17	31	95	53	80

14.3	Эмпирические частоты	15	28	69	100	99	48	9
	Теоретические частоты	21	19	71	92	105	60	11

14.4	Эмпирические частоты	8	12	24	36	87	68	99
	Теоретические частоты	6	15	30	29	71	62	103

14.5	Эмпирические частоты	23	29	43	68	95	8
	Теоретические частоты	17	25	50	71	10	12

14.6	Эмпирические частоты	11	21	37	45	73	39
	Теоретические частоты	8	16	42	49	80	51

14.7	Эмпирические частоты	8	15	25	43	67	48	104
	Теоретические частоты	6	11	19	37	75	51	99

14.8	Эмпирические частоты	13	24	44	56	74	85	103	69
	Теоретические частоты	8	16	42	49	80	51	105	72

14.9	Эмпирические частоты	15	29	46	73	88	96
	Теоретические частоты	19	32	50	80	93	100

14.10	Эмпирические частоты	5	14	28	49	56	79	87
	Теоретические частоты	8	19	31	39	64	73	80

14.11	Эмпирические частоты	6	12	39	46	58	63	76
	Теоретические частоты	10	18	32	39	62	66	80

14.12	Эмпирические частоты	10	20	36	48	85	89	101	112
	Теоретические частоты	12	24	31	52	90	96	105	115

14.13	Эмпирические частоты	7	15	26	49	53	75
	Теоретические частоты	11	13	31	46	60	73

14.14	Эмпирические частоты	4	17	28	39	47	59	95
	Теоретические частоты	9	20	31	34	40	63	89

14.15	Эмпирические частоты	3	15	25	46	64	79	105	112
	Теоретические частоты	7	18	28	41	70	82	98	129

14.16	Эмпирические частоты	8	15	28	48	41	59	73	65
	Теоретические частоты	11	10	32	51	46	62	75	59

14.17	Эмпирические частоты	15	23	37	42	67	87	115
	Теоретические частоты	22	31	53	66	75	98	79

14.18	Эмпирические частоты	43	37	29	19	54	65
	Теоретические частоты	57	32	21	33	67	51

14.19	Эмпирические частоты	7	16	37	41	58	71	78	103
	Теоретические частоты	13	22	31	46	64	67	101	99

14.20	Эмпирические частоты	21	35	48	63	77	81	96
	Теоретические частоты	34	30	52	76	91	65	88

14.21	Эмпирические частоты	11	17	26	41	68	84	59
	Теоретические частоты	28	9	31	50	72	91	41

14.22	Эмпирические частоты	7	16	30	42	49	61
	Теоретические частоты	12	11	41	57	39	73

14.23	Эмпирические частоты	34	40	53	61	79	85	102	28
	Теоретические частоты	48	51	67	55	82	94	115	19

14.24	Эмпирические частоты	6	13	31	53	63	84	97
	Теоретические частоты	18	20	42	55	59	90	103

14.25	Эмпирические частоты	16	32	48	51	78	82
	Теоретические частоты	24	28	56	71	91	77

14.26	Эмпирические частоты	41	62	70	85	88	54	61	90
	Теоретические частоты	58	71	86	90	79	67	53	101

14.27	Эмпирические частоты	17	23	38	51	65	73	77
	Теоретические частоты	28	33	45	62	85	82	59

14.28	Эмпирические частоты	11	26	34	18	43	51
	Теоретические частоты	8	22	41	25	53	47

14.29	Эмпирические частоты	21	39	40	54	81	77	39	42
	Теоретические частоты	15	46	36	60	76	81	43	57

14.30	Эмпирические частоты	9	11	31	45	53	29
	Теоретические частоты	5	31	22	67	70	41

Задача 15. Критерии согласия

В задачах 15.1 – 15.10 приведены данные о фактических объемах вылова судаков (в тоннах) во время весенней путины n рыболовецкими бригадами. Согласуются ли эти результаты с предположением о том, что вылов судаков этими бригадами должен быть одинаковым? Считать α=0,01.

15.1	n=5
	Бригада	1	2	3	4	5
	Объем (факт)	20	70	40	50	60

15.2	n=4
	Бригада	1	2	3	4
	Объем (факт)	40	60	100	120

15.3	n=6
	Бригада	1	2	3	4	5	6
	Объем (факт)	75	60	20	90	70	120

15.4	n=5
	Бригада	1	2	3	4	5
	Объем (факт)	100	48	63	95	180

15.5	n=7
	Бригада	1	2	3	4	5	6	7
	Объем (факт)	80	40	90	120	20	85	75

15.6	n=6
	Бригада	1	2	3	4	5	6
	Объем (факт)	97	64	92	85	72	90

15.7	n=8
	Бригада	1	2	3	4	5	6	7	8
	Объем (факт)	40	35	46	28	39	48	40	34

15.8	n=10
	Бригада	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Объем (факт)	47	51	37	45	34	45	25	37	51	48

15.9	n=7
	Бригада	1	2	3	4	5	6	7
	Объем (факт)	34	30	37	42	28	38	41

15.10	n=5
	Бригада	1	2	3	4	5
	Объем (факт)	75	63	57	69	76

В задачах 15.11 – 15.20 приведены данные о работе в некотором цехе n станков (регистрировалось число станков вышедших из строя), проведено m наблюдений, результаты указаны. Проверить гипотезу H₀ о том, что число выбывших из строя станков имеет распределение Пуассона. Считать α=0,05.

15.11	n=10
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Число наблюдений	41	22	16	12	45	58	4	2	0	0	0

15.12	n=7
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7
	Число наблюдений	32	45	13	24	16	0	10	0

15.13	n=6
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6
	Число наблюдений	43	21	14	22	60	22	38

15.14	n=8
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	Число наблюдений	15	25	41	17	10	19	9	11	13

15.15	n=5
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5
	Число наблюдений	28	21	73	27	19	32

15.16	n=10
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Число наблюдений	35	15	17	23	14	8	20	0	6	0	2

15.17	n=7
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7
	Число наблюдений	31	37	16	43	17	20	19	25

15.18	n=9
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Число наблюдений	53	27	63	58	15	44	0	29	59	12

15.19	n=6
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6
	Число наблюдений	43	27	31	15	20	30	18

15.20	n=7
	Число выбывших станков	0	1	2	3	4	5	6	7
	Число наблюдений	31	16	45	28	0	10	0	38

В задачах 15.21 – 15.30 для приведенных группированных выборок, считая уровень значимости α=0,1, проверить гипотезу H₀ о том, что они получены из нормально распределенной генеральной совокупности.

15.21	Величина входного сопротивления 160 электронных ламп (Ом)
	Границы интервалов	2,0-2,7	2,7-3,4	3,4-4,1	4,1-4,8	4,8-5,5	5,5-6,2	6,2-6,9
	Частота	5	6	46	55	29	15	4

15.22	Величина контрольного замера 70 деталей, изготовленных на одном станке (мм)
	Границы интервалов	4,5-5,0	5,0-5,5	5,5-6,0	6,0-6,5	6,5-7,0	7,0-7,5
	Частота	5	15	23	19	6	2

15.23	Величина 160 отклонений диаметров цапф передней оси от номинального размера (мм)
	Границы интервалов	23	26	29	32	35	38	41	44	47	50
	Частота	2	5	13	25	22	34	28	17	13	1

15.24	Величина контрольного веса 125 мальков рыб частиковых пород (г)
	Границы интервалов	1,2-1,6	1,6-2,0	2,0-2,4	2,4-2,8	2,8-3,2	3,2-3,6	3,6-4,0
	Частота	3	6	17	24	47	23	5

15.25	Величина 138 отклонений диаметров вала от номинального значения (мкм)
	Границы интервалов	-0,06	-0,02	0,00	0,02	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12
	Частота	3	8	20	27	36	19	17	14	4

15.26	Величина входного сопротивления 120 электронных ламп (Ом)
	Границы интервалов	4,0-4,3	4,3-4,6	4,6-4,9	4,9-5,2	5,2-5,5	5,5-5,8
	Частота	4	5	53	34	18	6

15.27	Величина контрольного замера 150 деталей, изготовленных на одном станке (мм)
	Границы интервалов	3,1-3,2	3,2-3,3	3,3-3,4	3,4-3,5	3,5-3,6
	Частота	6	29	57	49	9

15.28	Величина 215 отклонений диаметров цапф передней оси от номинального размера (мм)
	Границы интервалов	40-42	42-44	44-46	46-48	48-50	50-52
	Частота	3	48	57	61	43	2

15.29	Величина контрольного веса 296 мальков рыб частиковых пород (г)
	Границы интервалов	2,2-2,7	2,7-3,0	3,0-3,3	3,3-3,6	3,6-3,9	3,9-4,2	4,2-4,5
	Частота	6	49	78	84	50	25	4

15.30	Величина 152отклонений диаметров вала от номинального значения (мкм)
	Границы интервалов	-0,06	-0,03	0,00	0,03	0,06	0,09	0,12	0,15
	Частота	5	27	39	35	28	10	5	3

Задача 16. Случайная бесповторная выборка. Обработка результатов

В задачах 16.1 – 16.15 по схеме случайной бесповторной выборки из общего числа N элементов (устройств) отобраны n элементов и проверены по времени безотказной работы (в часах). Результаты проверки приведены в таблице. Следует найти:

1) вероятность того, что среднее время безотказной работы всех N элементов (устройств) отличается от среднего времени безотказной работы в выборке не более чем на 0,34 (по абсолютной величине);

2) границы, в которых с вероятностью 0,9975 заключено среднее время безотказной работы элементов всей партии;

3) объем выборки, для которой доверительные границы с предельной ошибкой Δ=0,43 имели бы место с доверительной вероятностью p=0,9961.

16.1	N=500, n=200
	Время безотказной работы, час	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25	25-30	Итого
	Количество элементов (устройств)	45	132	15	4	3	1	n=200

16.2	N=600, n=100
	Время безотказной работы, час	0-2	2-4	4-6	6-8	8-10	Итого
	Количество элементов (устройств)	29	46	18	5	2	n=100

16.3	N=400, n=130
	Время безотказной работы, час	0-15	15-30	30-45	45-60	Итого
	Количество элементов (устройств)	38	75	14	3	n=130

16.4	N=450, n=120
	Время безотказной работы, час	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	Итого
	Количество элементов (устройств)	67	26	16	8	3	n=120

16.5	N=700, n=230
	Время безотказной работы, час	0-3	3-6	6-9	9-12	12-15	15-18	Итого
	Количество элементов (устройств)	60	103	47	145	5	1	n=230

16.6	N=800, n=180
	Время безотказной работы, час	0-20	20-40	40-60	60-80	80-100	Итого
	Количество элементов (устройств)	41	99	28	10	2	n=180

16.7	N=500, n=170
	Время безотказной работы, час	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20	20-24	Итого
	Количество элементов (устройств)	40	88	26	11	4	1	n=170

16.8	N=300, n=100
	Время безотказной работы, час	0-7	7-14	14-21	21-28	Итого
	Количество элементов (устройств)	32	54	12	2	n=100

16.9	N=900, n=210
	Время безотказной работы, час	0-13	13-26	26-39	39-52	52-65	65-78	Итого
	Количество элементов (устройств)	50	101	39	17	2	1	n=210

16.10	N=750, n=190
	Время безотказной работы, час	0-8	8-16	16-24	24-32	32-40	Итого
	Количество элементов (устройств)	48	115	15	9	3	n=190

16.11	N=250, n=95
	Время безотказной работы, час	0-25	25-50	50-75	75-100	Итого
	Количество элементов (устройств)	26	52	14	3	n=95

16.12	N=380, n=128
	Время безотказной работы, час	0-9	9-18	18-27	27-36	36-45	Итого
	Количество элементов (устройств)	44	55	21	7	1	n=128

16.13	N=450, n=155
	Время безотказной работы, час	0-30	30-60	60-90	90-120	120-150	150-180	Итого
	Количество элементов (устройств)	36	78	23	11	5	2	n=155

16.14	N=600, n=200
	Время безотказной работы, час	0-19	19-38	38-57	57-76	Итого
	Количество элементов (устройств)	70	113	14	3	n=200

16.15	N=800, n=250
	Время безотказной работы, час	0-40	40-80	60-120	120-160	160-200	200-240	Итого
	Количество элементов (устройств)	84	106	39	16	4	1	n=250

В задачах 16.16 – 16.30 по схеме случайной бесповторной выборки из общего числа N элементов (устройств) отобраны n элементов и проверены по времени безотказной работы (в часах). Результаты проверки приведены в таблице. Следует найти:

1) доверительные границы, в которых с вероятностью p=0,9545 во всей партии находится доля элементов (устройств) по времени безотказной работы, не меньшим 0,48;

2) каким должен быть объем выборки, чтобы с той же вероятностью 0,9545 можно было гарантировать доверительные границы с предельной ошибкой 0,05?

16.16	N=300, n=80
	Время безотказной работы, час	0-6	6-12	12-18	18-24	Итого
	Количество элементов (устройств)	56	20	3	1	n=80

16.17	N=480, n=140
	Время безотказной работы, час	0-14	14-28	28-42	42-56	56-70	Итого
	Количество элементов (устройств)	40	63	25	10	2	n=140

16.18	N=520, n=106
	Время безотказной работы, час	0-35	35-70	70-105	105-140	Итого
	Количество элементов (устройств)	31	64	8	3	n=106

16.19	N=900, n=259
	Время безотказной работы, час	0-45	45-90	90-135	135-180	180-225	225-270	Итого
	Количество элементов (устройств)	111	86	42	14	5	1	n=259

16.20	N=400, n=108
	Время безотказной работы, час	0-60	60-120	120-180	180-240	240-300	Итого
	Количество элементов (устройств)	29	51	17	9	2	n=108

16.21	N=350, n=85
	Время безотказной работы, час	0-21	21-42	42-63	63-84	Итого
	Количество элементов (устройств)	43	23	15	4	n=85

16.22	N=410, n=105
	Время безотказной работы, час	0-50	50-100	100-150	150-200	200-250	Итого
	Количество элементов (устройств)	21	64	14	5	1	n=105

16.23	N=920, n=220
	Время безотказной работы, час	0-11	11-22	22-33	33-44	44-55	55-66	Итого
	Количество элементов (устройств)	54	96	39	18	10	3	n=220

16.24	N=860, n=150
	Время безотказной работы, час	0-17	17-34	34-51	51-68	68-85	Итого
	Количество элементов (устройств)	100	33	10	5	2	n=150

16.25	N=820, n=200
	Время безотказной работы, час	0-55	55-110	110-165	165-220	220-275	275-330	Итого
	Количество элементов (устройств)	55	116	18	7	3	1	n=200

16.26	N=350, n=75
	Время безотказной работы, час	0-28	28-56	56-84	84-112	Итого
	Количество элементов (устройств)	53	15	4	3	n=75

16.27	N=620, n=110
	Время безотказной работы, час	0-36	36-72	72-108	108-144	144-180	Итого
	Количество элементов (устройств)	25	62	19	3	1	n=110

16.28	N=400, n=88
	Время безотказной работы, час	0-12	12-24	24-36	36-48	Итого
	Количество элементов (устройств)	17	61	9	1	n=88

16.29	N=540, n=76
	Время безотказной работы, час	0-16	16-32	32-48	48-64	Итого
	Количество элементов (устройств)	44	19	11	2	n=76

16.30	N=720, n=125
	Время безотказной работы, час	0-23	23-46	46-69	69-92	92-115	Итого
	Количество элементов (устройств)	28	75	16	4	2	n=125

Задача 17. Обработка результатов бесповторной выборки

Из числа отобранных по схеме бесповторной выборки N элементов (устройств) n оказались дефектными. Следует:

1) определить с доверительной вероятностью 0,9545 границы процента недефектных элементов во всей партии элементов;

2) найти доверительную вероятность, с которой можно гарантировать втрое меньшую предельную ошибку, чем найденную в пункте 1;

3) найти такой объем выборки, что указанную в пункте 2 предельную ошибку гарантировать с вероятностью 0,99.

Значение выборочной доли принять по данным предварительной выборки в N элементов.

17.1	N=300	n=15
17.2	N=500	n=12
17.3	N=534	n=28
17.4	N=420	n=21
17.5	N=381	n=11
17.6	N=360	n=17
17.7	N=470	n=16
17.8	N=480	n=13
17.9	N=428	n=25
17.10	N=324	n=26
17.11	N=315	n=28
17.12	N=569	n=10
17.13	N=563	n=19
17.14	N=520	n=13
17.15	N=350	n=24
17.16	N=373	n=29
17.17	N=437	n=14
17.18	N=415	n=30
17.19	N=406	n=21
17.20	N=380	n=11
17.21	N=551	n=25
17.22	N=505	n=27
17.23	N=388	n=15
17.24	N=586	n=18
17.25	N=400	n=29
17.26	N=493	n=22
17.27	N=342	n=26
17.28	N=590	n=30
17.29	N=495	n=17
17.30	N=371	n=24

Задача 18. Корреляционная зависимость. Линейные уравнения регрессии

По данной корреляционной таблице следует найти линейные уравнения регрессии Y на X и X на Y, вычертить полученные соответствующие прямые в одно системе координат; сделать вывод о корреляционной зависимости.

18.1	X Y							n_Y
		15	20	25	30	35	40
	25	3	4					7
	35		6	3				9
	45			6	35	2		43
	55			12	8	6		26
	65				4	7	4	15
	n_X	3	10	21	47	15	4	n=100

18.2	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	20	5	1					6
	30		6	2				8
	40			5	40	5		50
	50			2	8	7		17
	60				4	7	8	19
	n_X	5	7	9	52	19	8	n=100

18.3	X Y							n_Y
		4	9	14	9	24	29
	30	3	3					6
	40		5	4				9
	50			40	2	8		50
	60			5	10	6		21
	70				4	7	3	14
	n_X	3	8	49	16	21	3	n=100

18.4	X Y							n_Y
		5	10	15	20	25	30
	30	2	6					8
	40		5	3				8
	50			7	40	2		49
	60			4	9	6		19
	70				4	7	5	16
	n_X	2	11	14	53	15	5	n=100

18.5	X Y							n_Y
		4	8	12	16	18	20
	5	4		4				8
	10		2	8				10
	15		8	6	20			34
	20		4		4	6	12	26
	25					12	10	22
	n_X	4	14	18	24	18	22	n=100

18.6	X Y							n_Y
		11	16	21	26	31	36
	6	4	2					6
	10	6	8	6				20
	14			10	22	16		48
	18				4		12	16
	22					8	2	10
	n_X	10	10	16	26	24	14	n=100

18.7	X Y							n_Y
		5	10	15	20	25	30
	45	2	4					6
	55		3	5				8
	65			5	35	5		45
	75			2	8	17		27
	85				4	7	3	14
	n_X	2	7	12	47	29	3	n=100

18.8	X Y							n_Y
		2	7	12	17	22	27
	100	1	5					6
	120		5	3				8
	140			3	40	12		55
	160			2	10	5		17
	180				3	4	7	14
	n_X	1	10	8	53	21	7	n=100

18.9	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	40	2	4					6
	50		3	7				10
	60			5	30	10		45
	70			7	10	8		25
	80				5	6	3	14
	n_X	2	7	19	45	24	3	n=100

18.10	X Y							n_Y
		12	17	22	27	32	37
	25	2	4					6
	35		6	3				9
	45			6	35	4		45
	55			2	8	6		16
	65				14	7	3	24
	n_X	2	10	11	57	17	3	n=100

18.11	X Y							n_Y
		15	20	25	30	35	40
	15	4	1					5
	25		6	4				10
	35			2	50	2		54
	45			1	9	7		17
	55				4	3	7	14
	n_X	4	7	7	73	12	7	n=100

18.12	X Y							n_Y
		5	10	15	20	25	30
	10	3	5					8
	20		4	4				8
	30			7	35	8		50
	40			2	10	8		20
	50				5	6	3	14
	n_X	3	9	13	50	22	3	n=100

18.13	X Y							n_Y
		17	22	27	32	37	42
	125					2	2	4
	140				8	6		14
	155		4	17	14			35
	170		8	28				36
	185	3	8					11
	n_X	3	20	45	22	8	2	n=100

18.14	X Y							n_Y
		16	20	24	28	32	36
	80					13	2	15
	95					9	4	13
	110		16	24	12			52
	125	6	8					14
	140	4	2					6
	n_X	10	26	24	12	22	6	n=100

18.15	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	120		2					2
	140	2	4	12				18
	160		6	4	25			35
	180			2	16	14		32
	200					6	7	13
	n_X	2	12	18	41	20	7	n=100

18.16	X Y							n_Y
		3	7	11	15	19	23
	15	5	2					7
	25		5	2				7
	35			7	39	4		50
	45			1	7	9		17
	55				5	5	9	19
	n_X	5	7	10	51	18	9	n=100

18.17	X Y							n_Y
		16	19	22	25	28	31
	48	4		2	2			8
	52		6	3	1			10
	56		8	6	20			34
	60		3		15	2	6	26
	64			12		8	2	22
	n_X	4	17	23	38	10	8	n=100

18.18	X Y							n_Y
		45	49	53	57	61	65
	180	3	3					6
	190		5	4				9
	200			40	2	8		50
	210			5	10	6		21
	220				4	7	3	14
	n_X	3	8	49	16	21	3	n=100

18.19	X Y							n_Y
		81	87	93	99	105	111
	8				10	2	3	15
	13					9	2	11
	18		18	20	14			52
	23	6	8	2				16
	28	2	4					6
	n_X	8	30	22	24	11	5	n=100

18.20	X Y							n_Y
		60	65	70	75	80	85
	43					3	1	4
	53				9	5		14
	63		1	15	19			35
	73		12	24				36
	83	2	7	2				11
	n_X	2	20	41	28	8	1	n=100

18.21	X Y							n_Y
		5	10	15	20	25	30
	40	3	4					7
	45		4	10				14
	50			5	20	6		31
	55			15	10	4		29
	60				5	7	7	19
	n_X	3	8	30	35	17	7	n=100

18.22	X Y							n_Y
		6	9	14	19	24	29
	7	2	3					5
	17		4	10				14
	27			6	30	5		41
	37			9	5	6		20
	47				11	5	4	20
	n_X	2	7	25	46	16	4	n=100

18.23	X Y							n_Y
		35	40	45	50	55	60
	40	1	6					7
	45		4	8				12
	50			9	10	7		26
	55			18	15	4		37
	60				5	5	8	18
	n_X	1	10	35	30	16	8	n=100

18.24	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	19	4	10					14
	29		10	8				18
	39			7	10	2		19
	49			15	10	3		28
	59				15	1	5	21
	n_X	4	20	30	35	6	5	n=100

18.25	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	60	6	3					9
	65		12	20				32
	70			34	12			46
	75				3	2		5
	80					2	6	8
	n_X	6	15	54	15	4	6	n=100

18.26	X Y							n_Y
		5	10	15	20	25	30
	25	3	7					10
	35		14	21				35
	45			17	13			30
	55				11	1		12
	65					12	1	13
	n_X	3	21	38	24	13	1	n=100

18.27	X Y							n_Y
		1	6	11	16	21	26
	35	8						8
	37	3	2	12				17
	39		16	9				25
	41				13	8		21
	43				20	5	4	29
	n_X	11	18	21	33	13	4	n=100

18.28	X Y							n_Y
		12	17	22	27	32	37
	25	3	4					7
	30	4	13	7				24
	35			24	13			37
	40			20	8			28
	45					2	2	4
	n_X	7	17	51	21	2	2	n=100

18.29	X Y							n_Y
		10	15	20	25	30	35
	20	2	5					7
	25		7	2				9
	30			5	36	2		41
	35			11	9	6		26
	40				3	8	4	15
	n_X	2	12	18	48	16	4	n=100

18.30	X Y							n_Y
		5	9	13	17	21	25
	15	4	2					6
	18		7	1				8
	21			6	39	5		50
	24			2	7	8		17
	27				5	6	8	19
	n_X	4	9	9	51	19	8	n=100

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

1. Классификация случайных событий. Статистическое и классическое определения вероятности. Непосредственный подсчет вероятности события.

2. Алгебра событий.

3. Геометрическая вероятность. Примеры.

4. Несовместные и совместные события. Теоремы сложения вероятностей (вывод).

5. Зависимые и независимые события. Понятие условной вероятности события. Теоремы умножения вероятностей (вывод).

6. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (вывод).

7. Формулы полной вероятности и Байеса (вывод).

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли и ее вывод. Наивероятнейшее число появлений события.

9. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее применимости. Пример нахождения вероятности Р_т с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа.

10. Локальная функция Лапласа и ее свойства.

11. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости. Пример нахождения вероятности с помощью формулы Пуассона.

12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Пример нахождения вероятности с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

13. Интегральная функция Лапласа и ее свойства.

14. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (вывод).

15. Понятие случайной величины. Прерывная (дискретная) случайная величина. Примеры дискретных случайных величин.

16. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с доказательством).

17. Математические операции над дискретными случайными величинами и примеры построения законов распределения для СХ, СХ², Χ ± Υ, X · Υ по заданным распределениям независимых случайных величиной Υ.

18. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства (вывод).

19. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график.

20. Непрерывные случайные величины. Функция плотности вероятности.

21. Связь между функцией распределения и функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины.

22. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

23. Биномиальное распределение случайной величины, ее числовые характеристики.

24. Распределение Пуассона.

25. Простейший поток событий.

26. Равномерное распределение случайной величины и ее числовые характеристики.

27. Показательное распределение случайной величины и ее числовые характеристики.

28. Нормальный закон распределения случайной величины и ее числовые характеристики.

29. Функция плотности распределения нормально распределенной случайной величины и исследование.

30. Функциональное преобразование случайных величин.

31. Композиция законов распределения случайных величин.

32. Вывод формул для определения вероятностей: Р(х₁<Х<х₂) и р(|Х-а|≤Δ), где X— нормально распределенная случайная величина, а – ее математическое ожидание.

33. Принцип практической уверенности. Понятие о законе больших чисел, его значение.

34. Лемма Чебышева (вывод).

35. Неравенство Чебышева (вывод).

36. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин (вывод).

37. Теорема Чебышева.

38. Теорема Бернулли.

39. Предмет, метод и задачи математической статистики. Источники статистической информации, группировка и сводка материалов статистических наблюдений. Абсолютная и относительная величины.

40. Выборочные аналоги закона распределения и числовых характеристик случайной величины. Генеральная совокупность и выборка.

41. Вариационный ряд, его разновидности. Упрощенный способ расчета числовых характеристик такого ряда.

42. Основные принципы выборочного метода исследования. Способы образования выборочной совокупности.

43. Параметры генеральной совокупности (ρ,χ₀,σ₀)и их выборочные оценки.

44. Ошибки репрезентативности и предельная ошибка выборки. Связь с доверительной вероятностью. Доверительный интервал и доверительные границы. Точность и надежность выборочных оценок.

45. Формула для вычисления доверительной вероятности при оценке доли признака. Средняя квадратическая ошибка выборки для повторной и бесповторной выборок при оценке доли признака.

46. Выборочная оценка генеральной средней. Несмещенность и состоятельность выборочной средней. Смещенность выборочной дисперсии (без вывода).

47. Формула вычисления доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок при оценке генеральной средней. Доверительный интервал.

48. Определение необходимого объема повторной и бесповторной выборок.

49. Понятие о точечной оценке числовой характеристики случайной величины, свойства точечной оценки и методы ее получения.

50. Опытный и теоретический ряды распределения. Понятие о статистической гипотезе и критериях согласия.

51. Понятие статистической гипотезы. Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. Ошибки первого и второго рода.

52. Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение критерия.

53. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения.

54. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий.

55. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

56. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности события.

57. Проверка гипотезы о равенстве вероятностей.

58. Проверка гипотезы о модели закона распределения.

59. Критерии согласия Пирсона, Колмогорова.

60. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Различия между ними. Основные задачи корреляционного анализа.

61. Линейная корреляция. Вывод системы нормальных уравнений для определения параметров прямых регрессии. Формулы для расчета коэффициента регрессии.

62. Коэффициент корреляции, его основные свойства. Оценка достоверности коэффициента корреляции.

Список рекомендуемой литературы

1. Афанасьев В.В. Теория вероятностей в вопросах и задачах: Учебное пособие. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д. Ушинского, 2004.

2. Баврин И.И.Высшая математика: учебник для студ. естественно-научных специальностей педагогических вузов.- 3-е изд., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия», 2003

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей: учебное пособие для студентов втузов. М.: .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1969

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.пособие для вузов / В.Е. Гмурман.- 10-е изд., стереотип.-М.: Высшая школа, 1998.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.пособие для вузов / В.Е. Гмурман.- 10-е изд., стереотип.-М.: Высшая школа,2004

6. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel: Учебное пособие для вузов (Изд. 3-е, доп. И перераб.)/Серия «Высшее образование». - Ростов н/Д: Феникс, 2005.

7. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Справочное пособие к решению задач: теория вероятностей. -Мн.: ТетраСистемс, 1999

8. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высшая школа, 1982. - Ч. 2.

9. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов. М.: Статистика, 1970

10. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 2-ое изд., перераб. и доп. -М.: ЮНИТИ ДАН А,2004

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т.2 (любой год издания).

12. Сборник задач по математике для втузов. Ч.З. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для втузов/Под ред. А.В. Ефимова.- 2-ое изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990

13. Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики (типовые расчеты): Учебное пособие для вузов.- 2-е изд., перераб. - М.: Высшая школа, 1999.

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 3535

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025139 Кб3Практика позит пси антиплогиатор.docx
#
15.08.20191 Мб34практика эльвира.docx
#
20.09.2019937 Кб6Практика_для_бакалавров_статистика.doc
#
01.07.2025706 Кб0ПРАКТИКА.doc
#
01.07.2025254 Кб1практика.docx
#
01.05.20255 Мб2практикум по теории вероятностей УМО.doc
#
01.07.202599 Кб0Практикум по ЦБиПМП.doc
#
01.05.20254 Мб1Практикум по__Power_Point.doc
#
14.08.2019110 Кб15Практич.занятия 19 век..doc
#
01.04.202548 Кб1практичекие информатика.docx
#
01.05.2025874 Кб1ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА по нал.doc