12.4. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения

При статистическом анализе данных, связанных с повтор­ными независимыми испытаниями (схемой Бернулли), рассматри­вают два типа задач: сравнение вероятности «успеха» р в одном испытании с заданным значением р₀ и сравнение вероятностей «успеха» в двух сериях испытаний.

В первом случае проверяется гипотеза Н₀:р = р₀. Пусть в п испытаниях по схеме Бернулли «успех» произошел х раз. В каче­стве статистики критерия выбирают относительную частоту h = x/n, nh > 5, n (1-h) > 5. При больших значениях n (n>50) и при выполнении условий nh > 5, n(1- h)>5 распределение слу­чайной величины h в достаточной для практических расчетов точ­ностью аппроксимируется нормальным распределением . Отсюда следует, что если гипотеза Н₀ верна, то статистика имеет распределение, близкое к нормальному распределению N(0,1). Критическая область крите­рия при уровне значимости α определяется неравенствами:

z_B > u_1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u_α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u_1-α/2 при альтернативной гипотезе .

Для проверки гипотезы Н₀ :р = р₀ также можно использо­вать доверительные интервалы для параметра р. При этом гипоте­за Н₀ принимается на уровне значимости α, если соответствую­щий односторонний или двусторонний доверительный интервал накрывает значение р₀; иначе гипотеза Н₀ отклоняется.

Рассмотрим решение следующего типового примера.

Пример 54. Предполагается, что большая партия деталей содержит 15 % брака. Для проверки из партии случайным образом отобрано 100 деталей, среди которых оказалось 10 бракованных.

Считая, что число бракованных деталей в партии имеет биноми­альное распределение, и используя двусторонний критерий при α = 0,05, проверить предположение о том, что в партии содер­жится 15 % бракованных деталей.

Решение. Проверяется гипотеза Н₀: р = 0,15 при альтернативной гипотезе Н₁: р ≠ 0,15. Значение . Так как п > 50, nh = 10 и n(1 - h) = 9, то для проверки гипотезы Н₀ мож­но использовать известную статистику. Выборочное значение этой статистики:

.

По таблице приложений (П1) находим u_0,975 = 1,96. Значение |z_B| лежит в области принятия гипотезы Н₀, следовательно, пред­положение о том, что в партии содержится 15 % брака, согласует­ся с результатами наблюдений. Этот же результат получим, ис­пользуя двусторонний доверительный интервал (0,041;0,159) для р при доверительной вероятности 0,95. Так как этот доверитель­ный интервал накрывает значение р = 0,15 , гипотеза Н₀ прини­мается.

13.5. Проверка гипотез о коэффициенте корреляции р.

Пусть r - выборочный коэффициент корреляции, вычислен­ный по выборке объема п из генеральной совокупности, имеющей двумерное нормальное распределение.

Для проверки гипотезы Н₀:ρ = ρ₀, где ρ₀ - заданное зна­чение, используют статистику:

.

Если гипотеза Н₀ верна, то эта статистика имеет распреде­ление, близкое к нормальному N(0,1).

Критическая область критерия при уровне значимости α определяется неравенствами:

z_B > u_1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u_α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u_1-α/2 при альтернативной гипотезе .

В случае, когда нужно определить значимость выборочного значения коэффициента корреляции r, т.е. проверить гипотезу Н₀ : ρ = 0 , можно использовать другой критерий, статистикой которого является r. На уровне значимости α критическая об­ласть этого критерия определяется неравенствами

при альтернативной гипотезе ;

при альтернативной гипотезе ;

при альтернативной гипотезе .

Пример 55. Из генеральной совокупности, имеющей дву­мерное нормальное распределение, получена выборка объема n = 67. Выборочный коэффициент корреляции оказался равным r =-0,159. Можно ли считать, что наблюдаемые переменные от­рицательно коррелированны, если уровень значимости α = 0,05 ?

Решение. Проверим гипотезу Н₀ : ρ = 0 при альтернативной гипотезе . Вычислим выборочное значение статистики критерия. Значение Arthr находим по таблице приложений (П8).

Имеем .

Используя таблицы приложений, находим, что u_0,05 = -1,645. Отсюда делаем вывод о том, что выборочное значе­ние статистики критерия принадлежит области принятия гипотезы Н₀, следовательно, наблюдаемые переменные некоррелированы.

Такой же результат получим, воспользовавшись критерием, статистикой которого является r. Найдем границу критической области при альтернативной гипотезе . Определим кван­тили t_0,05 (65)= t_0,95 (65)≈-1,67 (таблица приложений (П6)). Вы­числим границу критической области:

Выборочное значение r = -0,159 статистики принадлежит области принятия гипотезы Н₀, то гипотеза Н₀ принимается; от­сюда следует, что наблюдаемые переменные некоррелированы.

Пусть r₁ и r ₂ - выборочные коэффициенты корреляции, вы­численные по выборкам объема п₁ и п₂ из генеральных совокуп­ностей, имеющих двумерное нормальное распределение. Для проверки гипотезы используют статистику:

.

При условии, что гипотеза Н₀ верна, рассматриваемая статистика имеет распределение, близкое к нормальному распреде­лению N(0,1). Критическая область критерия при уровне значи­мости α определяется неравенствами:

z_B > u_1-α при альтернативной гипотезе ,

z_B < u_α при альтернативной гипотезе ,

|z_B| > u_1-α/2 при альтернативной гипотезе .

Пример 56. Сравнить коэффициенты корреляции двух нор­мально распределенных генеральных совокупностей по следую­щим выборочным данным: r₁ = 0,77, п₁ = 28, r ₂ = 0,604, п₂ = 33 . Считать α = 0,10.

Решение. Имеем ; . Вычислим выборочное значение данной статистики критерия:

.

Так как и_0,95 ≈1,645, то выборочное значение статистики критерия принадлежит критической области; коэффициенты кор­реляций генеральных совокупностей следует считать различными.