9.7. Выборочные коэффициенты асимметрии, эксцесса. Квантиль.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычис­ляются по формулам , .

Вычисление выборочных коэффициентов асимметрии и экс­цесса для группированной выборки значительно упрощается, если данные предварительно преобразовать. При этом используют сле­дующие формулы:

,

.

Для контроля подсчета сумм , l = 1,2,3,4 вычисляют отдельно правую и левую части тождества . Результаты вычислений следует оформить в виде таблицы.

Перейдем к рассмотрению понятия выборочной квантили. Пусть х⁽¹⁾,...,х⁽ⁿ⁾ - вариационный ряд выборки объема п. Если пр - не целое число, то выборочной квантилью порядка р (0 < р < 1) называется k - ый член вариационного ряда, где k = [пр]+1. Если же пр — целое число, то соответствующая кван­тиль не определена (она может принимать любое значение из интервала [x^(k),х^(k+1)).

Пример 34. Вычислить среднее, дисперсию, коэффициенты асимметрии и эксцесса для следующей группированной выборки:

Границы интервалов	10-12	12-14	14-16	16-18	18-20	20-22	22-24
Частоты	2	4	8	12	16	10	3

Длина интервала группировки b = 2. Значение z_i , встре­чающееся с наибольшей частотой, . Поэтому преобразование имеет вид , где i = 1,2,...,7.

Все вычисления оформим в виде таблицы 3.

Таблица 3

i	zi	ui	ni	ni ui	ui2	ni ui2	ui3	ni ui3	ui4	ni ui4	ui +1	(ui +1)4	ni (ui +1)4
1	11	-4	2	-8	16	32	-64	-128	256	512	-3	81	162
2	13	-3	4	-12	9	36	-27	-108	81	324	-2	16	64
3	15	-2	8	-16	4	32	-8	-64	16	128	-1	1	8
4	17	-1	12	-12	1	12	-1	-12	1	12	0	0	0
5	19	0	16	0	0	0	0	0	0	0	1	1	16
6	21	1	10	10	1	10	1	10	1	10	2	16	160
7	23	2	3	6	4	12	8	24	16	48	3	81	243
	-	-	55	-32	-	134	-	-278	-	1034	-	-	653
			-	-0,582	-	2,436	-	-5,054	-	18,8	-	-	-

Контроль вычислений будет 54 + 4·(-32) + 6·134 + 4·(-278) + 1034 = 653.

Находим искомые характеристики выборочного распреде­ления:

,

, , ,

.