5. Формула полной вероятности

Если известно, что событие А может произойти вместе с од­ним из событий H₁,H₂,...,H_n, образующих полную группу несо­вместных событий, то событие А можно представить как объеди­нение событий АН₁,АН₂,...,АН_п , т.е. А =АН₁ +АН₂ +... + АН_n . Вероятность события А можно определить по формуле, используя теоремы вероятностей суммы несовместных событий и произве­дения зависимых событий:

,

или

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 13. В пяти ящиках находятся одинаковые по разме­рам и весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара (это ящик состава H₁). В двух других ящиках (состава H₂) - по 8 голубых и 2 красных шара. И в пятом ящике (состава H₃) - 8 красных и 2 голубых шара. Наудачу выбирается ящик, и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?

Решение. Событие, состоящее в том, что «извлечен красный шар» обозначим через А. Из условия задачи следует, что , , .

Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик первого состава Н₂, будет определяться так:

Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик второго состава H₂, будет

. Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик третьего состава Н₃, будет .

При n = 3 находим искомую вероятность

.

Пример 14. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятность выпуска бракованных лампочек соответственно равны: q_] = 0,01, q₂ = 0,005 , q₃ = 0,006 . Найти вероятность того, что нау­дачу взятая из партии лампочка окажется стандартной.

Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в том, что «из партии взята стандартная лампочка», H₁ - событие, состоящее в том, что «взятая лампочка изготовлена первым заво­дом», Н₂ - событие, состоящее в том, что «взятая лампочка изго­товлена вторым заводом», Н₃ - событие, состоящее в том, что взятая лампочка изготовлена «третьим заводом». Найдем условные вероятности

Р(А/Н_i), (i= 1,2,3) по формуле Р(А/Н_i) =1-Р( / Н_i), где - событие, противоположное событию А (взята нестандартная лам­почка):

,

,

.

Из условия задачи следует, что Р(Н₁) = 0,2, Р(Н₂) = 0,3, Р(Н₃) = 0,5.

Получим по формуле полной вероятности:

6. Формулы Бейеса

Пусть H₁,H₂,...,H_n - попарно-несовместные события, веро­ятность которых P(H_i)≠0, (i = 1,2,..., п)и событие А H₁ + H₂+... + Н_п, для которого известны условные вероятно­сти Р(А/Н_k), (i = 1,2,...,п). Произведен опыт, в результате кото­рого появилось событие А.Условные вероятности событий

H₁,H₂,...,H_n относительно события А определяются формулами

или

где - формула полной вероятности.

Формулы называют формулами Бейеса.

Замечание. Вероятности Р(H_k) (k= 1,2,..., п) событий H₁,H₂,...,H_n до опыта называются априорными вероятностями (что означает «сперва», т.е. в данном случае до того, как был про­изведен опыт). Вероятности Р(H_k) (k= 1,2,..., п) тех же событий называются апостериорными (что означает «после», т.е. в данном случае после опыта).

Пример 15. В пяти ящиках находятся одинаковые по весу и размерам шары. В двух ящиках - по 6 зеленых и 4 красных шара (по ящик состава H₁). В двух других ящиках (состава H₂) - по 8 зеленых и 2 красных шара. В одном ящике (состава H₃ ) - 2 зеле­ных и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик, и из него извлекается шар. Извлеченный шар оказался голубым. Какова вероятность того, что зеленый шар извлечен из ящика первого состава?

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что и i ящика извлечен голубой шар. Из условия задачи следует, что

; ; .

Вероятность вынуть голубой шар, если известно, что взят ящик состава H₁,H₂,...,H₃ соответственно будут равны:

;

;

.

По формуле полной вероятности находим Р(А) = 0,4 • 0,6 + 0,4 • 0,8 + 0,2 • 0,2 = 0,6 .

По формуле Бейеса найдем искомую вероятность

.

Пример 16. На предприятии изготавливаются изделия оп­ределенного вида на трех поточных линиях. На первой линии про­изводится 30% изделий от общего объема их производства, на второй - 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности линий: 97%, 98%, 96%. Наугад взятое изделие, выпу­щенное предприятием, оказалось бракованным. Определить веро­ятности того, что это изделие изготовлено на первой, второй и третьей линиях.

Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; H₁,H₂,...,H₃ - гипотезы, состоящие в том, что изделие изготовлено соответственно на первой, второй и третьей линиях.

В соответствии с условием задачи имеем:

; ; ; , , .

По формуле полной вероятности получаем:

Р(А) = 0,30 • 0,03 + 0,25 • 0,02 + 0,45 • 0,04 = 0,032.

В соответствии с формулой Бейеса находим искомые веро­ятности:

;

;

.