11.4. Примеры доверительных интервалов.

1. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной случайной величины при известной дисперсии σ² имеет вид .

Здесь величина определяется по заданной доверительной вероятности γ по таблице значений , в которой .

2. Доверительный интервал для математического ожидания а нормальной случайной величины при неизвестной дисперсии σ ² имеет вид ,

где оценка вычисляется по формуле , а величина определяется по заданной доверительной вероятно­сти γ объему выборки n с помощью таблицы значений .

3. Доверительный интервал для дисперсии σ ² нормальной случайной величины имеет вид

,

где п - объем выборки; - оценка величины σ, определяемая формулой ; и - корни уравнений , , в которых подынтегральная функция Р_п-х (х) является плотностью распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Уравнения и при заданной доверительной вероятности γ решаются, используя таб­лицы приложений. При определении входами этой таблицы

служат v = п -1 и , при определении - v = п -1 и .

4. Пусть п - число независимых испытаний, т - число на­ступлений события А, р - вероятность наступления события А в каждом отдельном испытании.

Рассмотрим случай, когда п достаточно велико, а значение р не слишком близко к нулю или к единице так, что можно восполь­зоваться асимптотикой Муавра-Лапласа. Доверительный интервал для р имеет вид р₁< р< р₂, где , ,

и_γ - определяется по заданной доверительной вероятности γ с помощью таблицы - приложений значений квантилей. Рассмот­рим случай т = 0. Тогда нижняя доверительная граница равна нулю, верхняя . Если т = п, то нижняя и верхняя дове­рительные границы равны соответственно и единице.

12. Проверка статистических гипотез

12.1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах

нормально распределенной генеральной совокупности.

Во многих случаях результаты наблюдений используются для проверки предположений (гипотез) относительно тех или иных свойств распределения генеральной совокупности.

Пусть X - наблюдаемая дискретная или непрерывная слу­чайная величина. Статистической гипотезой H называется пред­положение относительно параметров или вида распределения слу­чайной величины X. Статистическая гипотеза Н называется про­стой, если она однозначно определяет распределение случайной величины X; в противном случае гипотеза Н называется сложной. Так, простой гипотезой является предположение о том, что слу­чайная величина X распределена по нормальному закону N(n,0).

если же высказывается предположение, что случайная величина X имеет нормальное распределение N(m,1) , где а≤m≤b, то это сложная гипотеза. Примером сложной гипотезы является также предположение о том, что непрерывная случайная величина X с вероятностью 1/3 принимает значение из интервала (l,5); в этом случае распределение случайной величины X может быть любым из класса непрерывных распределений.

Бывает, что распределение случайной величины X известно, и по выборке наблюдений необходимо проверить предположения о значении параметров этого распределения. Такие гипотезы на­зываются параметрическими. Рассмотрим проверку параметриче­ских гипотез.

Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой и обо­значается Н₀. Наряду с гипотезой Н₀ рассматривают одну из аль­тернативных (конкурирующих) гипотез Н₁. Так, если проверяется гипотеза о равенстве параметра θ некоторому заданному значе­нию θ₀, т. е. Н₀: θ = θ₀, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть одну из следующих гипотез: Н₁ ⁽¹⁾ : θ > θ₀; Н₁⁽²⁾: θ < θ₀; Н₁ ⁽³⁾: θ ≠ θ₀; Н₁⁽⁴⁾: θ = θ₀, где θ₁ - заданное значение, θ₁ ≠ θ₀. Выбор альтернативной гипотезы определяется конкретной формулировкой задачи.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием K. Так как реше­ние принимается на основе выборки наблюдений случайной величины X, необходимо выбрать подходящую статистику, называе­мую в этом случае статистикой Z критерия K. При проверке простой параметрической гипотезы Н₀: θ = θ₀ в качестве стати­стики критерия выбирают ту же статистику, что и для оценки па­раметра θ, т.е. .

Проверка статистической гипотезы основывается на прин­ципе, в соответствии с которым маловероятные события считают­ся невозможными, а события, имеющие большую вероятность, считаются достоверными. Этот принцип реализуют так: перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность а, называемая уровнем значимости; пусть V — множество значений статистики Z, a - такое подмножество, что при условии истинности гипотезы Н₀ вероятность попадания статистики кри­терия в V_k равна α, т.е. P[Z  V_k/H₀]= α .

Обозначим z_B выборочное значение статистики Z, вычис­ленное по выборке наблюдений. Критерий формулируется сле­дующим образом: отклонить гипотезу H₀, если z_k  V_k; принять

гипотезу H₀, если z_BV\V_k . Критерий, основанный на исполь­зовании заранее заданного уровня значимости, называют крите­рием значимости. Множество V_k всех значений статистики критерия Z, при которых принимается решение отклонить гипотезу H₀, называется критической областью; область V\V_k называется областью принятия гипотезы H₀.

Уровень значимости α определяет «размер» критической области V_k. Положение критической области на множестве значений статистики Z зависит от формулировки альтернативной гипотезы Н₁. Например, если проверяется гипотеза Н₁: θ = θ₀, а альтернативная гипотеза Н₁, формулируется как Н₁: θ > θ₀ (θ < θ₀), то критическая область размещается на пра­вом (левом) «хвосте» распределения статистики Z, т. е. имеет вид неравенства Z > z_1-α (Z< z_α), где z_1-α и z_α - квантили распреде­ления статистики Z при условии, что верна гипотеза H₀. В этом случае критерий называется односторонним, соответственно пра­восторонним и левосторонним.

Рис. 15.

Если альтернативная гипотеза формулируется как Н₁: θ ≠ θ₀, то критическая область размещается на обоих «хво­стах» распределения Z, т.е. определяется совокупностью нера­венств Z <z_α/2 и Z > z_1-α/2; в этом случае критерий называется двусторонним.

На рисунке 15 показано расположение критической области V_k для различных альтернативных гипотез. Здесь f_z(z/H₀) -плотность распределения статистики Z критерия при условии, что верна гипотеза H₀,V\V_k- область принятия гипотезы, P[ZV\V_k] = 1-α.

Проверка параметрической статистической гипотезы при помощи критерия значимости состоит из следующих этапов:

1) сформулировать проверяемую (H₀) и альтернативную (Н₁) гипотезы;

2) назначить уровень значимости α;

3) выбрать статистику Z критерия для проверки гипотезы H₀;

4) определить выборочное распределение статистики Z при условии, что верна гипотеза H₀;

5) в зависимости от формулировки альтернативной гипо­тезы определить критическую область V_k одним из неравенств Z <z_α и Z > z_1-α; или совокупностью неравенств Z <z_α/2 и Z > z_1-α/2;

6) получить выборку наблюдений и вычислить выбороч­ное значение z_B статистики критерия;

7) принять статистическое решение:

если z_B  V_K , то отклонить гипотезу Н₀ как не согласую­щуюся с результатами наблюдений;

если z_B V\V_K , то принять гипотезу Н₀, т. е. считать, что гипотеза Н₀ не противоречит результатам наблюдений.

Замечание. Как правило на этапах 4) - 7) используют стати­стику, квантили которой табулированы: статистику с нормальным распределением N(0,1) , статистику Стьюдента, статистику или статистику Фишера. Однако интерпретацию решения и вы­числение вероятностей ошибок, допускаемых при проверке гипо­тез, удобно проводить для статистики, являющейся непосредст­венной оценкой параметра θ, т. е. статистики .

Пример 50. По паспортным данным автомобильного двига­теля расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л. В резуль­тате изменения конструкции двигателя ожидается, что расход то­плива уменьшится. Для проверки проводятся испытания 25 слу­чайно отобранных автомобилей с модернизированным двигате­лем, причем выборочное среднее расходов топлива на 100 км пробега по результатам испытаний составило = 9,3 л. Предпола­гается, что выборка расходов топлива получена из нормально распределенной генеральной совокупности со средним т и дис­персией σ ² = 4 л² . Используя критерий значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что изменение конструкции двигателя не повлияло на расход топлива.

Решение. Проверяется гипотеза о среднем (m) нормально распределенной генеральной совокупности. Проверку гипотезы проведем по этапам:

1) проверяемая гипотеза Н₀:т = 10, альтернативная ги­потеза Н₁: т < 10;

2) выберем уровень значимости α = 0,05;

3) в качестве статистики критерия используем оценку ма­тематического ожидания - выборочное среднее ;

4) так как выборка получена из нормально распределен­ной генеральной совокупности, выборочное среднее также имеет нормальное распределение с дисперсией . При условии, что верна гипотеза Н₀, математическое ожидание этого распре­деления равно 10. Нормированная статистика критерия имеет нормальное распределение N(0,1).

5) альтернативная гипотеза Н₁: т < 10 предполагает уменьшение расхода топлива, следовательно, нужно использовать односторонний критерий. Критическая область определяется не­равенством U <и_а. По таблице приложений П1 находим u_0,05=-u_0,95=-1,645;

6) выборочное значение нормированной статистики критерия равно .

7) статистическое решение: так как выборочное значение статистки критерия принадлежит критической области, гипотеза Н₀ отклоняется: следует считать, что изменение конструкции двигателя привело к уменьшению расхода топлива.

Граница критической области для исходной статистики X критерия может быть получена из соотношения , откуда получаем = 9,342, т. е. критическая область для статистики X определяется неравенством < 9,342 .