- •Практикум по теории вероятностей и математической статистике
- •Содержание
- •1. Теория вероятностей и математическая статистика
- •1. Краткие сведения из комбинаторики
- •2. Классическое определение вероятности события
- •3. Геометрические вероятности события
- •4. Основные теоремы теории вероятностей
- •5. Формула полной вероятности
- •6. Формулы Бейеса
- •7. Повторение испытаний
- •Основные формулы
- •8. Случайные величины: дискретные и непрерывные
- •Основные формулы для вычисления числовых характеристик
- •I. Примеры некоторых распределений дискретных случайных величин
- •II. Примеры некоторых распределений непрерывных случайных величин
- •9. Элементы математической статистики. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •9.1. Основные задачи математической статистики
- •9.2. Выборка, способы её представления.
- •9.3. Функция распределения.
- •9.4. Гистограмма и полигон.
- •9.6. Числовые характеристики выборочного распределения.
- •9.7. Выборочные коэффициенты асимметрии, эксцесса. Квантиль.
- •9.8. Двумерный случайный вектор, его статистическое описание
- •9.9. Корреляционная таблица
- •10 .Статистическое оценивание характеристик распределения генеральной совокупности по выборке
- •10.1. Точечные оценки и их свойства. Метод подстановки.
- •10.2. Метод максимального правдоподобия
- •10.3. Метод моментов
- •10.4. Распределения χ2, Стьюдента и Фишера.
- •11. Интервальные оценки
- •11.1. Доверительные интервалы и доверительная вероятность.
- •11.2. Доверительные интервалы для вероятности успеха в схеме Бернулли
- •11.3. Доверительные интервалы для коэффициента корреляции ρ.
- •11.4. Примеры доверительных интервалов.
- •12. Проверка статистических гипотез
- •12.1. Основные понятия. Проверка гипотез о параметрах
- •12.2. Ошибки первого и второго рода
- •12.3. Критерии значимости для проверки гипотез
- •12.4. Проверка гипотез о параметре р биномиального распределения
- •12.6. Определение наилучшей критической области для проверки простых гипотез.
- •12.7. Критерий χ2 и его применение
- •12.8. Методика вычисления теоретических частот нормального распределения
- •12.9. Модель применения критериев
- •13. Рекомендации представления результатов статистической обработки для различных критериев и методов анализа «Метода проверки гипотез или статистических критериев»
- •14. Элементы теории корреляции
- •15. Дополнительные задачи по математической статистике
- •II. Задания для типовых расчетов
- •2.1. Элементы теории вероятностей
- •2.2. Элементы математической статистики и теории корреляции
- •Варианты: 2.1. -2.5.
- •Варианты: 2.6. -2.10.
- •Варианты: 2.11. -2.15.
- •Варианты: 2.16. -2.20.
- •Варианты: 2.21. -2.25.
- •Варианты: 2.26. -2.30.
2.2. Элементы математической статистики и теории корреляции
Задача 1. Обработка вариационного ряда. Гистограмма. Полигон
Задана совокупность вариационных (статистических) рядов. Каждый студент по правилу указанному преподавателем группы (потока) должен выписать для себя один вариационный ряд, взяв строку интервалов под номером m и строку частот под номером n.
m |
Интервалы |
|||||||||||
1 |
50 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
62 |
64 |
66 |
68 |
70 |
72 |
52 |
54 |
56 |
58 |
60 |
62 |
64 |
66 |
68 |
70 |
72 |
74 |
|
2 |
85 |
90 |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
140 |
90 |
95 |
100 |
105 |
110 |
115 |
120 |
125 |
130 |
135 |
140 |
145 |
|
3 |
250 |
253 |
256 |
259 |
262 |
265 |
268 |
271 |
274 |
277 |
280 |
283 |
253 |
256 |
259 |
262 |
265 |
268 |
271 |
274 |
277 |
280 |
283 |
286 |
|
4 |
15,0 |
15,5 |
16,0 |
16,5 |
17,0 |
17,5 |
18,0 |
18,5 |
19,0 |
19,5 |
20,0 |
20,5 |
15,5 |
16,0 |
16,5 |
17,0 |
17,5 |
18,0 |
18,5 |
19,0 |
19,5 |
20,0 |
20,5 |
21,0 |
|
5 |
2,5 |
5,5 |
8,5 |
11,5 |
14,5 |
17,5 |
20,5 |
23,5 |
26,5 |
29,5 |
32,5 |
35,5 |
5,5 |
8,5 |
11,5 |
14,5 |
17,5 |
20,5 |
23,5 |
26,5 |
29,5 |
32,5 |
35,5 |
38,5 |
|
6 |
7,15 |
7,20 |
7,25 |
7,30 |
7,35 |
7,40 |
7,45 |
7,50 |
7,55 |
7,60 |
7,65 |
7,70 |
7,20 |
7,25 |
7,30 |
7,35 |
7,40 |
7,45 |
7,50 |
7,55 |
7,60 |
7,65 |
7,70 |
7,75 |
|
7 |
350 |
355 |
360 |
365 |
370 |
375 |
380 |
385 |
390 |
395 |
400 |
405 |
355 |
360 |
365 |
370 |
375 |
380 |
385 |
390 |
395 |
400 |
405 |
410 |
|
8 |
12 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
42 |
47 |
52 |
57 |
62 |
67 |
17 |
22 |
27 |
32 |
37 |
42 |
47 |
52 |
57 |
62 |
67 |
72 |
|
9 |
0,45 |
0,60 |
0,75 |
0,90 |
1,05 |
1,20 |
1,35 |
1,50 |
1,65 |
1,80 |
1,95 |
2,10 |
0,60 |
0,75 |
0,90 |
1,05 |
1,20 |
1,35 |
1,50 |
1,65 |
1,80 |
1,95 |
2,10 |
2,25 |
|
10 |
0 |
60 |
120 |
180 |
240 |
300 |
360 |
420 |
480 |
540 |
600 |
660 |
60 |
120 |
180 |
240 |
300 |
360 |
420 |
480 |
540 |
600 |
660 |
720 |
|
n |
Частоты |
|||||||||||
1 |
5 |
12 |
21 |
32 |
37 |
43 |
39 |
19 |
15 |
8 |
5 |
4 |
2 |
4 |
15 |
24 |
28 |
45 |
43 |
49 |
30 |
12 |
5 |
3 |
2 |
3 |
1 |
3 |
9 |
12 |
20 |
28 |
39 |
41 |
15 |
2 |
3 |
7 |
4 |
7 |
22 |
47 |
74 |
105 |
82 |
58 |
30 |
18 |
9 |
5 |
3 |
5 |
4 |
18 |
42 |
84 |
113 |
95 |
64 |
47 |
22 |
4 |
3 |
4 |
6 |
2 |
5 |
8 |
17 |
27 |
35 |
37 |
18 |
13 |
7 |
6 |
5 |
7 |
3 |
28 |
58 |
89 |
112 |
134 |
164 |
135 |
116 |
80 |
7 |
4 |
8 |
9 |
20 |
28 |
35 |
60 |
85 |
82 |
80 |
52 |
30 |
4 |
4 |
9 |
4 |
29 |
30 |
32 |
60 |
81 |
78 |
51 |
37 |
12 |
2 |
1 |
10 |
2 |
8 |
15 |
21 |
37 |
49 |
45 |
39 |
18 |
8 |
4 |
4 |
1. Найти: а) моду и медиану; б) среднее выборочное; в) статистическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.
2. Построить гистограмму распределения.
3. Найти теоретические частоты при гипотезе, что случайная величина распределена нормально.
4. Построить полигон распределения и теоретическую кривую распределения.
5. Применить критерии Пирсона и Колмогорова для проверки гипотезы о нормальности распределения.
6. Построить доверительный интервал для среднего при доверительной вероятности 0,98.
Задача 2. Двумерная случайная величина
По экспериментальной таблице значений Хk и Yk следует:
1) составить эмпирические функции распределения случайных величин Х и Y;
2) найти оценки (несмещённые) случайных величин X и Y: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение;
3) найти оценку коэффициента корреляции;
4) сделать заключение о связи случайных величин X и Y.