9.9. Корреляционная таблица

.

Двумерную выборку большого объема представляют в виде корреляционной таблицы. С этой целью группируют реализации величин X и Y по интервалам длины b_х и b_y, а в клетки таблицы

записывают число пар исходной выборки (т. е. частоты) для каж­дой комбинации интервалов. Эту процедуру можно также выпол­нить непосредственно по диаграмме рассеивания, нанося на нее сетку горизонтальных и вертикальных прямых, взятых с постоян­ными шагами b_х и b_y. Наблюдения, которые попали на верхнюю и правую границы рассматриваемого прямоугольника, относятся соответственно к соседним верхнему и правому прямоугольни­кам. В дальнейших вычислениях используются середины интер­валов и соответствующие частоты. Обозначим середины интерва­лов через , i=1,2,...,k и , j=1,2,...,l, а соответствующие частоты через n_ij; очевидно, .

Полагаем , .

Для упрощения вычислений вместо середин интервалов и введем числа , i=1,2,...,k, , j=1,2,...,l, где и - середины наиболее часто встречаю­щихся интервалов.

Определение выборочных числовых характеристик распре­деления по корреляционной таблице выполняется в следующей последовательности. Сначала вычисляют суммы

, , , , .

Затем определяют следующие суммы:

, , .

Выборочные средние, дисперсии и коэффициент корреляции находят по формулам , , , , .

Коэффициенты и линейной регрессии Y на X и X на Y вычисляют по формулам , . Коэффициенты и находят по соответствующим формулам.

Пример 37. Используя группировку выборки, заданной таб­лицей 4 в примере 35, вычислить выборочные средние, диспер­сии, коэффициент корреляции, а также выборочные коэффициен­ты линейной регрессии Х на Y и Y на Х.

Решение. Выберем b_x=1, b_y=2. Прямоугольная сетка, со­ответствующая этим значениям, нанесена на диаграмму рассеива­ния (рис. 11). Непосредственно по диаграмме строим корреляци­онную таблицу (таблица 5). Находим , и вычисля­ем значения u_i и v_j по формулам , i=1,2,...,9, , j=1,2,...,7.

Вычисляем следующие суммы:

, , , , . По формулам находим , , . Далее получаем , , , , . Находим выборочные коэффициенты регрессии: , , , .

Окончательно получим, что уравнение линейной регрессии Y на X имеет вид у = -5,74 + 1,12x, а уравнение линейной регрессии X на Y имеет вид x = 7,72 + 0,58y.

Расхождение полученных результатов с результатами выше рассмотренных примеров обусловлено группировкой.

Таблица 5.

Корреляционная таблица для диаграммы рассеивания к примеру 37.

Границы и средины интервалов для y	vj	Границы и середины интервалов для x									nj	njvj	njvj2
		8-9 8,5	9-10 9,5	10-11 10,5	11-12 11,5	12-13 12,5	13-14 13,5	14-15 14,5	15-16 15,5	16-17 16,5
		ui
		-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
0-2 1	-4	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	-4	16
2-4 3	-3	1	0	1	0	0	0	0	0	0	2	-6	18
4-6 5	-2	0	2	1	1	1	0	0	0	0	5	-10	20
6-8 7	-1	0	1	2	1	4	2	0	0	0	10	-10	10
8-10 9	0	0	0	0	5	3	3	2	0	0	13	0	0
10-12 11	1	0	0	0	1	0	2	3	0	1	7	7	7
12-14 13	2	0	0	0	0	0	0	1	1	2	4	8	16
ni		2	3	4	8	8	7	6	1	3	∑=42	∑=-15	∑=87
nivi		-6	-6	-4	0	8	14	18	4	15	∑=43
nivi2		18	12	4	0	8	28	54	16	75	∑=215