10.3. Метод моментов

Для получения оценок неизвестных параметров θ₁,θ₂,...,θ_s распределения генеральной совокупности X используется и метод моментов. Поясним его.

Пусть f_х (х,θ₁,θ₂,...,θ_s) - плотность распределения случай­ной величины X. Определим с помощью этой плотности S каких-либо моментов случайной величины X, например, первые S на­чальных моментов, по формулам

, m =1,2,...,S.

По выборке наблюдений случайной величины найдем зна­чения соответствующих выборочных моментов:

, m =1,2,...,S.

Попарно приравнивая теоретические моменты α_т случай­ной величины X их выборочным значениям , получаем систему s уравнений с неизвестными θ₁,θ₂,...,θ_s:

, m =1,2,...,S.

Решая полученную систему относительно неизвестных θ₁,θ₂,...,θ_s , находим оценки неизвестных параметров.

Аналогично находятся оценки неизвестных параметров по выборке наблюдений дискретной случайной величины.

Пример 42. Методом моментов найти оценки неизвестных параметров а и b для Г - распределения с плотностью

.

Решение. Для нахождения оценок параметров а и b по мето­ду моментов воспользуемся начальным моментом первого поряд­ка (математическим ожиданием) и центральным моментом второ­го порядка (дисперсией):

, .

По выборке х₁,...,х_n из генеральной совокупности, имеющей Г-распределение, находим значения соответствующих выборочных моментов:

, .

Приравнивая соответствующие равенства, получаем сле­дующую систему уравнений:

, . Решая ее, находим , .

10.4. Распределения χ2, Стьюдента и Фишера.

Распределения основных статистик, вычисляемых по выборке из нормально распределенной генеральной совокупности, связаны с распределениями χ² (k), Стьюдента Т(к) и Фишера F(k₁,k₂).

Квантили этих распределений приведены в приложении (таблицы П5, П6, П7). Дадим определения и некоторые свойства этих рас­пределений.

а) Распределением χ² с k степенями свободы называется распределение случайной величины χ² (k), равной сумме квадра­тов k независимых нормально распределенных по закону N(0,1) случайных величин U_i, i = 1,2,...,k, т. е. распределение случайной величины .

Распределение χ² с k степенями свободы там, где это не вызывает недоразумений, будет обозначаться также χ² (k).

Плотность распределения определяется формулой

.

График функции приведен на рис. 12. Среднее и дис­персия распределения χ² (k) равны соответственно: M[χ² (k)] = k, D[χ² (k)] = 2k.

Рис. 12.

Распределение χ² часто используется в статистических рас­пределениях. Рассмотрим следующую теорему.

Теорема 2. Пусть х₁,х₂,...,х_п - выборка из нормально рас­пределенной генеральной совокупности N(m,σ), a и - соответственно выборочное среднее и выборочная дисперсия. Тогда статистики и S² - независимые случайные величины, причем статистика имеет распределение χ² (n-1).

Заметим, что если χ² (k₁) и χ² (k₂) - независимые случай­ные величины, имеющие распределение χ² с k₁ и k₂ степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение χ² с (k₁, k₂) степенями свободы: χ² (k₁)+ χ² (k₂)= χ² (k₁+k₂).

Распределение χ² (k) при больших значениях k k>30 с достаточной для практических расчетов точностью аппроксими­руется нормальным распределением.

Это свойство используется для приближенного выражения квантилей распределения χ² (k) через квантили и_р нор­мального распределения N(0,1). Обычно используют следующие две формулы:

и .

Первая формула, применяемая при к≥30 и р≥0,5, дает относительную погрешность в пределах 1%, а вторая формула применяется для вычисления квантилей малого порядка.

Пример 43. Вычислить квантили , , .

Решение. По таблице приложений (П5) находим . Для вычисления квантили воспользуем­ся первой формулой. Так как и_0,95 = 1,645 (см. таблицу приложе­ние П1), то .

По второй формуле, используя значение и_0,01 = и_0,99 = -2,326 получаем .

б) Распределением Стъюдента с k степенями свободы на­зывается распределение случайной величины Т(k), равной отно­шению двух независимых случайных величин U и , т. е.

,

где U имеет нормальное распределение N(0,1). Распределение Стьюдента с k степенями свободы будет также обозначаться Т(k). Распределение Стьюдента с k степенями свободы имеет плотность f_T(x) (рис. 13):

Рис. 13.

, -∞<x<+∞,

среднее М[Т(к)] = 0 и дисперсию , к > 2.

Плотность распределения Стьюдента симметрична относи­тельно оси ординат, тогда для квантилей t_p(k) имеет место соот­ношение t_p(k) = - t_1-p(k).

При больших k (k>30) для квантилей t_p(k) распределения Стьюдента выполнено приближенное равенство t_p(к) ≈ и_р. Более точная формула имеет вид .

Пример 44. Найти квантили t_0,05(8) и t_0,90(40).

Решение. По таблице приложений (П6) находим t_0,95(8) = l,86; t_0,05(8) = -t_0,95(8) = -l,86. Квантиль t_0,90(40) опреде­лим, используя записанную выше формулу. Так как и_0,90 = 1,28 по таблице приложений (П1), то

Точное значение квантили t_0,90(40) по таблице приложений (П6) равно 1,303.

в) Распределением Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы называется распределение случайной величины F(k₁,k₂), равной отношению двух независимых случайных величин и , т.е .

Распределение Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы обо­значается так: F(k₁,k₂). Распределение Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы имеет плотность f_F(x) (рис. 14):

Рис. 14.

.

среднее , .

Квантили распределения Фишера порядка р и 1 - р связаны между собой так: .

Между случайными величинами, имеющими нормальное распределение, распределения χ² Стьюдента и Фишера, имеют место соотношения : Т²(k) = F(1,k), и .

При k₁ > 1 и k₂ > 1 квантили распределения Фишера можно вычислить, используя приближенную формулу

.

Пример 45. Найти следующие квантили F_0,01(3,5), F_0,90(4,100) и F_0,05(60,120).

Решение. Используя известное соотношение и таблицу при­ложений (П7), получаем .

Далее находим .

Далее находим, используя значение u_0,05 =-u_0,95 =-1,645, .

По таблице приложений (П7) значение квантили F_0,05(60,120) равно .