9.6. Числовые характеристики выборочного распределения.

Пусть х₁,х₂,...,х_п - выборка объема п из генеральной сово­купности с функцией распределения F_x(x) . Рассмотрим выбо­рочное распределение, т. е. распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х₁,х₂,...,х_п с вероятностями, равными 1/п. Числовые характеристики этого выборочного рас­пределения называются выборочными (эмпирическими) число­выми характеристиками. Следует отметить, что выборочные чи­словые характеристики являются характеристиками данной выборки, но не являются характеристиками распределения гене­ральной совокупности. Чтобы подчеркнуть это различие, выбо­рочные характеристики в дальнейшем будем обозначать теми же символами, что и случайные величины, но со значком * наверху. Некоторые выборочные характеристики имеют традиционные обозначения, например, - выборочное среднее.

Пример 31. Найти формулы, определяющие выборочные математическое ожидание и дисперсию для негруппированной выборки объема п.

Решение. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле

.

Так как для выборочного распределения р_j = 1/n, то .

Аналогично будем иметь выборочную дисперсию .

Выборочной модой унимодального (одновершинного) распределения называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Выборочной медианой называется число , которое делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число эле­ментов.

Если объем выборки п — нечетное число (т.е. п = 2l +1), то , то есть является элементом вариационного ряда со средним номером. Если же п = 2l, то .

Пример 32. Определить среднее, моду и медиану для вы­борки 5, 6, 8, 2, 3, 1, 1, 4.

Решение. Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Выборочное среднее . Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1, следовательно, мода . Так как п = 8, то медиана .

Итак, , , .

Для упрощения вычислений выборочных среднего и дис­персии группированной выборки, эту выборку преобразуют так: , i= 1,2,...,k , где - выборочная мода, а b - длина интервала группировки. Эти соотношения показывают, что в выборку z₁ ,z₂,...,z_n внесена систематическая ошибка , а ре­зультат подвергнут преобразованию масштаба с коэффициентом k = 1/b. Полученный в результате набор чисел u₁ ,u₂,...,u_n можно рассматривать как выборку из генеральной совокупности . Тогда выборочные среднее и дисперсия исходных данных связаны со средним и дисперсией преобра­зованных данных следующими соотношениями: , .

Пример 33. Вычислить среднее и дисперсию группирован­ной выборки

Границы интервалов	134-138	138-142	142-146	146-150	150-154	154-158
Частоты	1	3	15	18	14	2

Решение. Длина интервала группировки b = 4, значение се­редины интервала, встречающегося с наибольшей частотой . Преобразование последовательности середин интервалов выполняется по формуле:

, где i = 1,2,...,6.

Таблица 2

i	zi	ui	ni	ni ui	ni ui2	ni (ui +1)2
1	136	-3	1	-3	9	4
2	140	-2	3	-6	12	3
3	144	-1	15	-15	15	0
4	148	0	18	0	0	18
5	152	1	14	14	14	56
6	156	2	2	4	8	18
	-	-	53	-6	58	99

Вычисления сведены в таблицу 2. Последний столбец этой таблицы служит для контроля вычислений при помощи тождества .

Выполняя вычисления, получим 58 + 2 · (-6) + 23 = 99 .

Полученный результат показывает, что вычисления выпол­нены правильно. По формулам, данным выше, находим средние значения U

, .

Далее находим средние данной выборки:

, .