б) Либо Земля вращается вокруг Солнца, либо Солнце вращается вокруг Земли.

в) Оперу «Севильский ци- рюльник» написал М. П. Му- соргский или П. И. Чайков- ский.

г) Если Брут и Кассий убили Цезаря, то Спартак был римским императором.

д) Слон голоден тогда и только тогда, когда он давно не ел.

2) Суждение «а & ь* лож­но, а суждение а истинно. Ка­ково истинностное значение ь?

Суждение «e v 6» истин­но, а суждение а ложно. Како-

Значения первого члена дизъюнкции у нас теперь есть, значения второго ее члена тоже есть. Пользуясь таблицей истинности для диз­ъюнкции, находим значения всего выражения:

Построение таблиц истинности для сложных высказываний — за­нятие простое, хотя довольно-таки скучное. Мне представляется, од­нако, что вам полезно было бы с ними повозиться. Во-первых, пото­му, что эти таблицы нам еще понадобятся. Во-вторых, для того чтобы вы хотя бы немного привыкли к этой символике и перестали ее боять­ся. Может быть, когда-то вам придется осваивать компьютер и языки программирования. Первые программы для ЭВМ создавались именно на основе формального языка логики и знакомство с ним облегчит вам усвоение языков программирования, формальное представление релейно-контактных схем и многое другое.

V.3. Отношения между сложными высказываниями

Тот, кто так и не смог преодолеть своего отвращения ко всем этим значкам и крючкам, может смело пропустить несколько следующих страниц. Большой беды от этого не будет. Но сначала попробуйте решить парочку задач:

1. Как разделить 7 яблок поровну между 12 мальчиками, не разрезая при этом ни одного яблока на 12 частей? (Наложенное условие призвано исклю­чить самое простое решение: разрезать каждое яблоко на 12 частей и дать каждому мальчику по одной дольке от каждого яблока или 6 яблок разрезать пополам, а 7-е яблоко разрезать на 12 частей).

1. На одном острове живут два племени — молодцы, которые всегда гово­рят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На остров приезжает путешест­венник, быть может, это был Миклухо-Маклай, и, встретив местного жителя, спрашивает его: «Кто ты, из какого рода-племени?». — «Я молодец!» — гордо отвечает абориген. — «Вот хорошо, — обрадовался путешественник, — будешь моим проводником!» — Гуляют они вдвоем по острову и вдруг видят вдалеке

И ты, Брут!? во истинностное значение Ь?

Суждение «а -> Ъ* истин­но, a b ложно. Каково истинностное значение а?

Если а истинно, то можно ли что-нибудь сказать об истинностном значе­нии следующих выражений:

а & (a v b); (Ь -> а) -* а); -. а -> (-т а & b); a s -, а; -. a v (-. а & Ь)?

3) Постройте таблицы истинности для следующих выражений:

(а & Ь) -» а; -. (а -> (a v b)); (а v b) -» (а & b); (а-> b) -> (b a).

Посмотрите, как это делается. Допустим, нам нужно построить таблицу истинности для выражения i a v i. В него входит лишь два простых суждения, поэтому вариантов различных комбинаций их ис­тинностных значений будет всего 4. Изобразим их:

Наше выражение представляет собой слабую дизъюнкцию, первым членом которой является отрицание простого суждения, а вторым — простое суждение. Пользуясь таблицей истинности для отрицания, сначала найдем значения для -i а:

еще одного аборигена. — «Пойди спроси у него, — говорит путешественник своему проводнику, — из какого он племени?». — Проводник сбегал, вернул­ся и доложил: «Он сказал, что он — молодец!» — -«Ага, — подумал путешест­венник, — теперь я точно знаю, из какого племени ты сам!» А вы догадались?

Итак, для каждого сложного высказывания можно построить таблицу истинности, показываю­щую, какое значение принимает это высказывание при различных наборах истинностных значений входящих в него простых выска­зываний. Учитывая совпадение или расхождение истинностных значений двух сложных выска­зываний, мы можем установить следующие отношения между ними.

Если хотя бы при одном наборе истинностных значений простых высказываний два сложных высказывания оказываются истинными, то такие сложные высказывания называются совместимыми. Напри­мер, высказывания «a v Ы и «а & Ь» совместимы, т.к. в случае, когда а истинно и b истинно, их дизъюнкция и конъюнкция также будут истинными.

Более интересно отношение равнозначности, или эквивалентности: два высказывания эквивалентны, если при любых значениях входя­щих в них простых высказываний они принимают одни и те же ис­тинностные значения. Построив таблицы истинности, мы легко убе­димся в эквивалентности следующих высказываний:

-i -i а = а — двойное отрицание некоторого высказывания эквива­лентно самому этому высказыванию; это соотношение позволяет нам избавляться от двойных отрицаний;

-i (а & b) s -i a v -i b — отрицание конъюнкции эквивалентно дизъюнкции отрицаний;

-i (a v b) s -, а & -i b — отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний;

-i(e->i)sflè-tè — отрицание .импликации эквивалентно конъюнкции первого члена и отрицания второго члена; — эти три со­отношения позволяют нам избавляться от отрицания сложных выска­зываний и «опускать» его на простые высказывания;

Рассматривая эту таблицу, мы замечаем, что в единственном слу­чае, когда истинна конъюнкция «а & Ы, истинна и дизъюнкция «a v 6», поэтому мы можем сказать, что из высказывания «а & Ы логически следует высказывание «avb».

Иногда импликацию рассматривают как выражение логического следования одного высказывания из другого. Для этого есть основа­ние: важнейшее свойство логического следования состоит в том, что следствие должно быть истинно, если истинна посылка; из истины не может следовать ложь, если мы-рассуждаем по правилам логики. Но как раз это свойство и передает импликация: высказывание «а -> Ы становится ложным, когда «а» истинно, а «Ь» ложно. Поэтому, устано­вив, что из конъюнкции «а & 6» логически следует дизъюнкция «a v Ь», мы можем утверждать их импликацию: (а & b) -> (a v b). И эта им­пликация всегда будет истинной.

Покажем теперь, как эти отношения между высказываниями могут быть использованы для решения простых логических задач.

В деле об убийстве имеется двое подозреваемых — Пьер и Жан. Допроси­ли четверых свидетелей. Показание первого свидетеля таково: —Я знаю только, что Пьер не виноват. Второй свидетель сказал: —Я знаю лишь, что Жан не виноват. Третий свидетель:

—Я знаю, что из первых двух показаний по меньшей мере одно истинно. Четвертый:

—Я знаю, что показания третьего свидетеля ложны.

Четвертый свидетель оказался прав. Кто же совершил преступление?

Можно, конечно, подумать и ответить на этот вопрос. Но логика существенно облегчает процесс размышления, поисков и находок. Обозначим высказывание «Пьер виноват» через «а»; высказывание