Напряжения при косом изгибе.

В силу высказанных ранее причин мы не будем интересоваться касательными напряжениями, возникающими в данном случае. Рассмотрим сечение балки. Оси и - главные центральные оси сечения. Плоскость действия изгибающего момента в сечении не совпадает с плоскостями, в которых лежат главные оси.

След плоскости изгибающего момента на плоскости сечения будем называть силовой линией. Угол между силовой линией и положительным направление оси обозначим . Пусть точка с координатами - произвольная точка сечения. Наша задача – найти напряжение в данной точке, т.е. установить закон изменения напряжений по сечению: .

Разложим изгибающий момент на два момента

и - изгибающие относительно главных центральных осей.

Используя принцип независимости действия сил, определим напряжение, как сумму напряжений от составляющих моментов

и

Как видим, косой изгиб представляет собой комбинацию двух пря-

мых изгибов относительно главных осей. Если использовать выражения для , то полученной формуле можно придать другой вид:

Н апряжения в сечении распределяются по линейному закону (если откладывать в каждой точке вектор напряжений, то множество концов векторов будет плоскостью). Нас прежде всего интересует величина наибольшего по модулю напряжения в сечении.

Поступим следующим образом. Вначале найдем нейтральную линию в сечении, т.е. такую линию, в точках которой напряжения равны нулю. Для этого нужно приравнять выражение (1) или (1а) нулю:

Уравнение (2) однородно, следовательно нейтральная ось проходит через центр тяжести. Можно показать, что нейтральная линия не перпендикулярна к силовой.

На самом деле. Угловой коэффициент нейтральной линии:

, а силовой линии . При ,

т.е. условие перпендикулярности не выполняется. (Что будет при

?) Нанеся на чертеж сечения, нейтральную линию мы можем убедиться что она отклоняется в сторону более “слабой” оси, т.е. оси с меньшим моментом инерции.

В силу характера распределения напряжений, наибольшие по модулю напряжения возникают в точке наиболее удаленной от нейтральной линии. Пусть такой будет точка с координатами (рис.6). Подставив в уравнение для напряжений координаты этой точки, получим выражение для максимальных по модулю напряжений

Пример.

Внецентренное растяжение и сжатие.

Е сли в поперечном сечении- помимо изгибающих моментов (в двух плоскостях) возникают еще и нормальные силы, то данный случай является комбинацией косого изгиба и обыкновенного (центрального) растяжения или сжатия. Напряжение можно определить по формуле:

Подобная ситуация возникает в случае внецентренного растяжения или сжатия, когда равнодействующая сил, действующих на стержень параллельна оси, но совпадает с ней.

Оси и - главные центральные оси сечения.

- координаты точки приложения (следа) силы F.

Внутренние силовые факторы в сечении:

Подставляя в (5) получаем закон распределения нормальных нап-

ряжений при растяжении (сжатии)

Здесь учтено, что (радиусы инерции сечения)

и

В дальнейшем ход рассуждения такой же как и при косом изгибе. Уравнение нейтральной линии получим, приравняв выражение (6) нулю.

Уравнение не однородно, в отличии от случая косого изгиба, нейтральная ось не проходит через центр тяжести.

Придадим уравнению другую форму:

, где - отрезки, отсекаемые нейтральной линией на координатных осях.

Наибольшие по модулю напряжения возникают в точке, наиболее удаленной от нейтральной оси. Пусть такой точкой будет точка

с координатами . Тогда:

Если сечение прямоугольное или вписывается в прямоугольник, то Пример.

ЛЕКЦИЯ VIII

Энергетические теоремы. Интеграл Мора.

Полученные ниже результаты, будут справедливы не только для обычных сосредоточенных сил, но и для любых обобщенных сил.

Обобщенной силой называется любая группа сил. Каждой обобщенной силе соответствует свое обобщенное перемещение. Это соответствие выражается в том, что произведение обобщенной силы на обобщенное перемещение равняется работе. Примеры.

Теорема о работе статической силы,

приложенной к упругой системе.

Работа статической силы, приложенной к упругой системе, равняется половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение перемещения.

П усть - сила, изменяющаяся на сегменте а - перемещение, изменяющееся в пределах . Система линейно упруга и сила связана с перемещением законом Гука , где - перемещение, вызванное силой Тогда

Эта теорема, носящая имя Клайперона, имеет простую геометриче-

скую интерпретацию.

Легко понять, что множитель у работы, равный появляется по той причине, что сила не постоянна, а меняется по линейному закону.